matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_1A/s/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "basic_1A/s/defs.ma".
  18
  19 lemma s_S:
  20  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k (S i)) (S (s k i))))
  21 \def
  22  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(eq nat (s k0 (S
  23 i)) (S (s k0 i))))) (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S (s
  24 (Bind b) i))))) (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(refl_equal nat (S (s (Flat
  25 f) i))))) k).
  26
  27 lemma s_plus:
  28  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (s k (plus i j))
  29 (plus (s k i) j))))
  30 \def
  31  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  32 nat).(eq nat (s k0 (plus i j)) (plus (s k0 i) j))))) (\lambda (b: B).(\lambda
  33 (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (plus (s (Bind b) i) j)))))
  34 (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (plus (s
  35 (Flat f) i) j))))) k).
  36
  37 lemma s_plus_sym:
  38  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (s k (plus i j))
  39 (plus i (s k j)))))
  40 \def
  41  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  42 nat).(eq nat (s k0 (plus i j)) (plus i (s k0 j)))))) (\lambda (_: B).(\lambda
  43 (i: nat).(\lambda (j: nat).(eq_ind_r nat (plus i (S j)) (\lambda (n: nat).(eq
  44 nat n (plus i (S j)))) (refl_equal nat (plus i (S j))) (S (plus i j))
  45 (plus_n_Sm i j))))) (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j:
  46 nat).(refl_equal nat (plus i (s (Flat f) j)))))) k).
  47
  48 lemma s_minus:
  49  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le j i) \to (eq nat (s
  50 k (minus i j)) (minus (s k i) j)))))
  51 \def
  52  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  53 nat).((le j i) \to (eq nat (s k0 (minus i j)) (minus (s k0 i) j))))))
  54 (\lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le j
  55 i)).(eq_ind_r nat (minus (S i) j) (\lambda (n: nat).(eq nat n (minus (S i)
  56 j))) (refl_equal nat (minus (S i) j)) (S (minus i j)) (minus_Sn_m i j H))))))
  57 (\lambda (f: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (_: (le j
  58 i)).(refl_equal nat (minus (s (Flat f) i) j)))))) k).
  59
  60 lemma minus_s_s:
  61  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).(eq nat (minus (s k i) (s
  62 k j)) (minus i j))))
  63 \def
  64  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  65 nat).(eq nat (minus (s k0 i) (s k0 j)) (minus i j))))) (\lambda (_:
  66 B).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (minus i j)))))
  67 (\lambda (_: F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(refl_equal nat (minus i
  68 j))))) k).
  69
  70 lemma s_le:
  71  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((le i j) \to (le (s k i)
  72 (s k j)))))
  73 \def
  74  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  75 nat).((le i j) \to (le (s k0 i) (s k0 j)))))) (\lambda (_: B).(\lambda (i:
  76 nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le i j)).(le_n_S i j H))))) (\lambda (_:
  77 F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (le i j)).H)))) k).
  78
  79 lemma s_lt:
  80  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((lt i j) \to (lt (s k i)
  81 (s k j)))))
  82 \def
  83  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(\forall (j:
  84 nat).((lt i j) \to (lt (s k0 i) (s k0 j)))))) (\lambda (_: B).(\lambda (i:
  85 nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt i j)).(lt_n_S i j H))))) (\lambda (_:
  86 F).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (H: (lt i j)).H)))) k).
  87
  88 lemma s_inc:
  89  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(le i (s k i)))
  90 \def
  91  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (i: nat).(le i (s k0 i))))
  92 (\lambda (b: B).(\lambda (i: nat).(le_S_n i (s (Bind b) i) (le_S_n (S i) (S
  93 (s (Bind b) i)) (le_S_n (S (S i)) (S (S (s (Bind b) i))) (le_S (S (S (S i)))
  94 (S (S (s (Bind b) i))) (le_n (S (S (s (Bind b) i)))))))))) (\lambda (f:
  95 F).(\lambda (i: nat).(le_n (s (Flat f) i)))) k).
  96
  97 lemma s_arith0:
  98  \forall (k: K).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (s k i) (s k O)) i))
  99 \def
 100  \lambda (k: K).(\lambda (i: nat).(eq_ind_r nat (minus i O) (\lambda (n:
 101 nat).(eq nat n i)) (eq_ind nat i (\lambda (n: nat).(eq nat n i)) (refl_equal
 102 nat i) (minus i O) (minus_n_O i)) (minus (s k i) (s k O)) (minus_s_s k i O))).
 103
 104 lemma s_arith1:
 105  \forall (b: B).(\forall (i: nat).(eq nat (minus (s (Bind b) i) (S O)) i))
 106 \def
 107  \lambda (_: B).(\lambda (i: nat).(eq_ind nat i (\lambda (n: nat).(eq nat n
 108 i)) (refl_equal nat i) (minus i O) (minus_n_O i))).
 109