1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basic_2/notation/relations/nativevalid_5.ma".
16 include "basic_2/computation/cpds.ma".
17 include "basic_2/equivalence/cpcs.ma".
19 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
21 definition scast: ∀h. sd h → nat → relation4 genv lenv term term ≝
22 λh,g,l,G,L,V,W. ∀V0,W0,l0.
23 l0 ≤ l → ⦃G, L⦄ ⊢ V •*[h, g, l0+1] V0 → ⦃G, L⦄ ⊢ W •*[h, g, l0] W0 → ⦃G, L⦄ ⊢ V0 ⬌* W0.
26 inductive snv (h:sh) (g:sd h): relation3 genv lenv term ≝
27 | snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
28 | snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
29 | snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
30 | snv_appl: ∀a,G,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g G L V → snv h g G L T →
31 ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
32 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U → snv h g G L (ⓐV.T)
33 | snv_cast: ∀G,L,W,T,U,l. snv h g G L W → snv h g G L T →
34 ⦃G, L⦄ ⊢ T ▪[h, g] l+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] U → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g G L (ⓝW.T)
37 interpretation "stratified native validity (term)"
38 'NativeValid h g G L T = (snv h g G L T).
40 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
42 fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
43 ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
44 #h #g #G #L #X * -G -L -X
45 [ #G #L #k #i #H destruct
46 | #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
47 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
48 | #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
49 | #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
53 lemma snv_inv_lref: ∀h,g,G,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
54 ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
55 /2 width=3 by snv_inv_lref_aux/ qed-.
57 fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
58 #h #g #G #L #X * -G -L -X
59 [ #G #L #k #p #H destruct
60 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
61 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
62 | #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
63 | #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
67 lemma snv_inv_gref: ∀h,g,G,L,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ¡[h, g] → ⊥.
68 /2 width=8 by snv_inv_gref_aux/ qed-.
70 fact snv_inv_bind_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
71 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
72 #h #g #G #L #X * -G -L -X
73 [ #G #L #k #a #I #V #T #H destruct
74 | #I0 #G #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
75 | #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
76 | #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_#_ #_ #a #I #V #T #H destruct
77 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
81 lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
82 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
83 /2 width=4 by snv_inv_bind_aux/ qed-.
85 fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
86 ∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
87 ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
88 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
89 #h #g #G #L #X * -L -X
90 [ #G #L #k #V #T #H destruct
91 | #I #G #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
92 | #a #I #G #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
93 | #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #Hl #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
94 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
98 lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
99 ∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
100 ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
101 ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
102 /2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
104 fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
105 ∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
106 ⦃G, L⦄ ⊢ T ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] U & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
107 #h #g #G #L #X * -G -L -X
108 [ #G #L #k #W #T #H destruct
109 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
110 | #a #I #G #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
111 | #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
112 | #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #Hl #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
116 lemma snv_inv_cast: ∀h,g,G,L,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T ¡[h, g] →
117 ∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
118 ⦃G, L⦄ ⊢ T ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] U & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
119 /2 width=3 by snv_inv_cast_aux/ qed-.