matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/snv_cpcs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/static/ssta_ssta.ma".
  16 include "basic_2/computation/ygt.ma".
  17 include "basic_2/dynamic/snv_ltpss_dx.ma".
  18 include "basic_2/dynamic/snv_sstas.ma".
  19
  20 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
  21
  22 (* Inductive premises for the preservation results **************************)
  23 (*
  24 definition IH_snv_dxprs: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  25                          λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  26                          ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  27 *)
  28 definition IH_ssta_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  29                              λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  30                              ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  31                              ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 →
  32                              ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
  33
  34 definition IH_snv_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  35                             λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  36                             ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  37
  38 definition IH_snv_ssta: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  39                         λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  40                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l + 1] U1 → ⦃h, L1⦄ ⊩ U1 :[g].
  41
  42 fact ssta_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  43                         ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  44                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  45                         ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 →
  46                         ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
  47 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #U1 #l #HTU1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  48 elim (IH … HTU1 … HL12 … HT1T) // -T1 #U #HTU #HU1
  49 elim (ssta_tpss_conf … HTU … HTT2) -T #U2 #HTU2 #HU2
  50 lapply (ltpr_cpr_trans … HL12 U U2 ?) -HL12 /2 width=3/ -HU2 #HU2
  51 lapply (cpcs_cprs_strap1 … HU1 … HU2) -U /2 width=3/
  52 qed-.
  53
  54 fact snv_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  55                        ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  56                        ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  57 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  58 lapply (IH … HL12 … HT1T) -HL12 // -T1 #HT0
  59 lapply (snv_tpss_conf … HT0 … HTT2) -T //
  60 qed-.
  61
  62 fact snv_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  63                    (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  64                    ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  65                    ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ⦃h, L1⦄ ⊩ T2 :[g].
  66 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #T2 #H
  67 @(cprs_ind … H) -T2 // -HT1
  68 /4 width=6 by snv_ltpr_cpr_aux, ygt_cprs_trans/
  69 qed-.
  70
  71 fact ssta_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  72                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  73                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  74                     ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  75                     ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 → ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 →
  76                     ∃∃U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
  77 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #l #HTU1 #T2 #H
  78 @(cprs_ind … H) -T2 [ /2 width=3/ ]
  79 #T #T2 #HT1T #HTT2 * #U #HTU #HU1
  80 elim (ssta_ltpr_cpr_aux … HTU … HTT2) //
  81 [2: /3 width=7 by snv_cprs_aux, ygt_cprs_trans/
  82 |3: /3 width=3 by ygt_cprs_trans/
  83 ] -L0 -T0 -T1 -T #U2 #HTU2 #HU2
  84 lapply (cpcs_trans … HU1 … HU2) -U /2 width=3/
  85 qed-.
  86
  87 fact ssta_cpcs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  88                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  89                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  90                     ∀L,T1,T2. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T1⦄ → h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T2⦄ →
  91                     ⦃h, L⦄ ⊩ T1 :[g] → ⦃h, L⦄ ⊩ T2 :[g] →
  92                     ∀U1,l1. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g, l1] U1 →
  93                     ∀U2,l2. ⦃h, L⦄ ⊢ T2 •[g, l2] U2 →
  94                     L ⊢ T1 ⬌* T2 →
  95                     l1 = l2 ∧ L ⊢ U1 ⬌* U2.
  96 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L #T1 #T2 #HLT01 #HLT02 #HT1 #HT2 #U1 #l1 #HTU1 #U2 #l2 #HTU2 #H
  97 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #T #H1 #H2
  98 elim (ssta_cprs_aux … HLT01 HT1 … HTU1 … H1) -T1 /2 width=1/ #W1 #H1 #HUW1
  99 elim (ssta_cprs_aux … HLT02 HT2 … HTU2 … H2) -T2 /2 width=1/ #W2 #H2 #HUW2 -L0 -T0
 100 elim (ssta_mono … H1 … H2) -h -T #H1 #H2 destruct
 101 lapply (cpcs_canc_dx … HUW1 … HUW2) -W2 /2 width=1/
 102 qed-.
 103
 104 fact snv_sstas_aux: ∀h,g,L0,T0.
 105                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 106                     ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 107                     ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 → ⦃h, L1⦄ ⊩ U1 :[g].
 108 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #U1 #H
 109 @(sstas_ind … H) -U1 // -HT1 /3 width=5 by ygt_sstas_trans/
 110 qed-.
 111
 112 fact sstas_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 113                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 114                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 115                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 116                      ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 117                      ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 →
 118                      ∃∃U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
 119 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #T2 #HT12 #U1 #H
 120 @(sstas_ind … H) -U1 [ /3 width=3/ ]
 121 #U1 #W1 #l1 #HTU1 #HUW1 * #U2 #HTU2 #HU12
 122 lapply (snv_cprs_aux … IH2 … HT1 … HT12) // #HT2
 123 elim (snv_sstas_fwd_correct … HTU2) // #W2 #l2 #HUW2
 124 elim (ssta_cpcs_aux … IH2 IH1 … HUW1 … HUW2 … HU12) -IH2 -IH1 -HUW1 -HU12
 125 [2,3: /3 width=7 by snv_sstas_aux, ygt_cprs_trans/
 126 |4,5: /3 width=3 by ygt_sstas_trans, ygt_cprs_trans/
 127 ] -L0 -T0 -T1 -HT2 #H #HW12 destruct /3 width=4/
 128 qed-.
 129
 130 fact dxprs_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 131                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 132                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 133                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 134                      ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 135                      ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] U1 →
 136                      ∃∃U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •*➡*[g] U2 & L1 ⊢ U1 ➡* U2.
 137 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #T2 #HT12 #U1 * #W1 #HTW1 #HWU1
 138 elim (sstas_cprs_aux … IH3 IH2 IH1 … H01 … HT12 … HTW1) // -L0 -T0 -T1 #W2 #HTW2 #HW12
 139 lapply (cpcs_cprs_conf … HWU1 … HW12) -W1 #H
 140 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H /3 width=3/
 141 qed-.
 142
 143 fact sstas_ltpr_aux: ∀h,g,L0,T0.
 144                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 145                      (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 146                      ∀L1,T. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T :[g] →
 147                      ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T •*[g] U1 →
 148                      ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T •*[g] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
 149 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T #H01 #HT #L2 #HL12 #U1 #H
 150 @(sstas_ind … H) -U1 [ /4 width=3/ ]
 151 #W1 #U1 #l1 #HTW1 #HWU1 * #W2 #HTW2 #HW12
 152 lapply (snv_sstas_aux … IH2 … HTW1) // -IH2 -HT #HW1
 153
 154 (*
 155 elim (IH1 … HWU1 … HL12 W1) // -IH1 -HW1 -HWU1 -HL12
 156 [2: /2 width=3 by ygt_sstas_trans/ ] #U2
 157 *)
 158 (*
 159 fact sstas_dxprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 160                       (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ssta h g L1 T1) →
 161                       (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 162                       (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 163                       ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
 164                       ∀U1. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*[g] U1 → ∀T2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] T2 →
 165                       ∃∃U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •*[g] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
 166 #h #g #L0 #T0 #IH3 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #HTU1 #T2 * #T #HT1T #HTT2
 167 *)