matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/dynamic/snv_cpcs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/static/ssta_ssta.ma".
  16 include "basic_2/computation/ygt.ma".
  17 include "basic_2/equivalence/fpcs_cpcs.ma".
  18 include "basic_2/dynamic/snv_ltpss_dx.ma".
  19
  20 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
  21
  22 (* Inductive premises for the preservation results **************************)
  23 (*
  24 definition IH_ssta_cprs: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  25                          λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  26                          ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  27                          ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡* T2 →
  28                          ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & ⦃L1, U1⦄ ⬌* ⦃L2, U2⦄.
  29
  30 definition IH_snv_dxprs: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  31                          λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  32                          ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T1 •*➡*[g] T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  33
  34 fact ssta_cpcs_aux: ∀h,g,L,T1,T2. IH_ssta_cprs h g L T1 → IH_ssta_cprs h g L T2 →
  35                     ⦃h, L⦄ ⊩ T1 :[g] → ⦃h, L⦄ ⊩ T2 :[g] →
  36                     ∀U1,l1. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g, l1] U1 →
  37                     ∀U2,l2. ⦃h, L⦄ ⊢ T2 •[g, l2] U2 →
  38                     L ⊢ T1 ⬌* T2 →
  39                     l1 = l2 ∧ L ⊢ U1 ⬌* U2.
  40 #h #g #L #T1 #T2 #IH1 #IH2 #HT1 #HT2 #U1 #l1 #HTU1 #U2 #l2 #HTU2 #H
  41 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #T #H1 #H2
  42 elim (IH1 … HT1 … HTU1 … H1) -T1 // #W1 #H1 #HUW1
  43 elim (IH2 … HT2 … HTU2 … H2) -T2 // #W2 #H2 #HUW2
  44 elim (ssta_mono … H1 … H2) -T #H1 #H2 destruct
  45 lapply (fpcs_canc_dx … HUW1 … HUW2) -W2 #HU12
  46 lapply (fpcs_inv_cpcs … HU12) -HU12 /2 width=1/
  47 qed-.
  48 *)
  49 definition IH_ssta_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  50                              λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  51                              ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  52                              ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 →
  53                              ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & ⦃L1, U1⦄ ⬌* ⦃L2, U2⦄.
  54
  55 definition IH_snv_ltpr_tpr: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  56                             λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  57                             ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  58
  59 definition IH_snv_ssta: ∀h:sh. sd h → relation2 lenv term ≝
  60                         λh,g,L1,T1. ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  61                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l + 1] U1 → ⦃h, L1⦄ ⊩ U1 :[g].
  62
  63 fact ssta_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  64                         ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  65                         ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 →
  66                         ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 →
  67                         ∃∃U2. ⦃h, L2⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & ⦃L1, U1⦄ ⬌* ⦃L2, U2⦄.
  68 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #U1 #l #HTU1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  69 elim (IH … HTU1 … HL12 … HT1T) // -HL12 -T1 #U #HTU #HU1
  70 elim (ssta_tpss_conf … HTU … HTT2) -T #U2 #HTU2 #HU2
  71 lapply (fpcs_fpr_strap1 … HU1 L2 U2 ?) -HU1 /2 width=3/ /3 width=3/
  72 qed-.
  73
  74 fact snv_ltpr_cpr_aux: ∀h,g,L1,T1. IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1 →
  75                        ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  76                        ∀L2. L1 ➡ L2 → ∀T2. L2 ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃h, L2⦄ ⊩ T2 :[g].
  77 #h #g #L1 #T1 #IH #HT1 #L2 #HL12 #T2 * #T #HT1T #HTT2
  78 lapply (IH … HL12 … HT1T) -HL12 // -T1 #HT0
  79 lapply (snv_tpss_conf … HT0 … HTT2) -T //
  80 qed-.
  81
  82 fact snv_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  83                    (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  84                    ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  85                    ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 → ⦃h, L1⦄ ⊩ T2 :[g].
  86 #h #g #L0 #T0 #IH #L1 #T1 #HLT0 #HT1 #T2 #H
  87 @(cprs_ind … H) -T2 // -HT1
  88 /4 width=6 by snv_ltpr_cpr_aux, ygt_cprs_trans/
  89 qed-.
  90
  91 fact ssta_cprs_aux: ∀h,g,L0,T0.
  92                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  93                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
  94                     ∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → ⦃h, L1⦄ ⊩ T1 :[g] →
  95                     ∀U1,l. ⦃h, L1⦄ ⊢ T1 •[g, l] U1 → ∀T2. L1 ⊢ T1 ➡* T2 →
  96                     ∃∃U2. ⦃h, L1⦄ ⊢ T2 •[g, l] U2 & L1 ⊢ U1 ⬌* U2.
  97 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L1 #T1 #H01 #HT1 #U1 #l #HTU1 #T2 #H
  98 @(cprs_ind … H) -T2 [ /2 width=3/ ]
  99 #T #T2 #HT1T #HTT2 * #U #HTU #HU1
 100 elim (ssta_ltpr_cpr_aux … HTU … HTT2) //
 101 [2: /3 width=7 by snv_cprs_aux, ygt_cprs_trans/
 102 |3: /3 width=3 by ygt_cprs_trans/
 103 ] -L0 -T0 -T1 -T #U2 #HTU2 #HU2
 104 lapply (fpcs_inv_cpcs … HU2) -HU2 #HU2
 105 lapply (cpcs_trans … HU1 … HU2) -U /2 width=3/
 106 qed-.
 107
 108 fact ssta_cpcs_aux: ∀h,g,L0,T0.
 109                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_snv_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 110                     (∀L1,T1. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L1, T1⦄ → IH_ssta_ltpr_tpr h g L1 T1) →
 111                     ∀L,T1,T2. h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T1⦄ → h ⊢ ⦃L0, T0⦄ >[g] ⦃L, T2⦄ →
 112                     ⦃h, L⦄ ⊩ T1 :[g] → ⦃h, L⦄ ⊩ T2 :[g] →
 113                     ∀U1,l1. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 •[g, l1] U1 →
 114                     ∀U2,l2. ⦃h, L⦄ ⊢ T2 •[g, l2] U2 →
 115                     L ⊢ T1 ⬌* T2 →
 116                     l1 = l2 ∧ L ⊢ U1 ⬌* U2.
 117 #h #g #L0 #T0 #IH2 #IH1 #L #T1 #T2 #HLT01 #HLT02 #HT1 #HT2 #U1 #l1 #HTU1 #U2 #l2 #HTU2 #H
 118 elim (cpcs_inv_cprs … H) -H #T #H1 #H2
 119 elim (ssta_cprs_aux … HLT01 HT1 … HTU1 … H1) -T1 /2 width=1/ #W1 #H1 #HUW1
 120 elim (ssta_cprs_aux … HLT02 HT2 … HTU2 … H2) -T2 /2 width=1/ #W2 #H2 #HUW2 -L0 -T0
 121 elim (ssta_mono … H1 … H2) -h -T #H1 #H2 destruct
 122 lapply (cpcs_canc_dx … HUW1 … HUW2) -W2 /2 width=1/
 123 qed-.