]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/cpr/lenv_px.etc
- basic_2: induction for preservation results now uses supclosure
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_2 / etc / cpr / lenv_px.etc
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "basic_2/grammar/lenv_append.ma".
16
17 (* POINTWISE EXTENSION OF A CONTEXT-FREE REALTION FOR TERMS *****************)
18
19 inductive lpx (R:relation term): relation lenv ≝
20 | lpx_stom: lpx R (⋆) (⋆)
21 | lpx_pair: ∀I,K1,K2,V1,V2.
22             lpx R K1 K2 → R V1 V2 → lpx R (K1. ⓑ{I} V1) (K2. ⓑ{I} V2)
23 .
24
25 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
26
27 fact lpx_inv_atom1_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
28 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
29 [ //
30 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
31 ]
32 qed-.
33
34 lemma lpx_inv_atom1: ∀R,L2. lpx R (⋆) L2 → L2 = ⋆.
35 /2 width=4 by lpx_inv_atom1_aux/ qed-.
36
37 fact lpx_inv_pair1_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → ∀I,K1,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
38                         ∃∃K2,V2. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L2 = K2. ⓑ{I} V2.
39 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
40 [ #J #K1 #V1 #H destruct
41 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #HK12 #HV12 #J #L #W #H destruct /2 width=5/
42 ]
43 qed-.
44
45 lemma lpx_inv_pair1: ∀R,I,K1,V1,L2. lpx R (K1. ⓑ{I} V1) L2 →
46                      ∃∃K2,V2. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L2 = K2. ⓑ{I} V2.
47 /2 width=3 by lpx_inv_pair1_aux/ qed-.
48
49 fact lpx_inv_atom2_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
50 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
51 [ //
52 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
53 ]
54 qed-.
55
56 lemma lpx_inv_atom2: ∀R,L1. lpx R L1 (⋆) → L1 = ⋆.
57 /2 width=4 by lpx_inv_atom2_aux/ qed-.
58
59 fact lpx_inv_pair2_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → ∀I,K2,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
60                         ∃∃K1,V1. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L1 = K1. ⓑ{I} V1.
61 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
62 [ #J #K2 #V2 #H destruct
63 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #HK12 #HV12 #J #K #W #H destruct /2 width=5/
64 ]
65 qed-.
66
67 lemma lpx_inv_pair2: ∀R,I,L1,K2,V2. lpx R L1 (K2. ⓑ{I} V2) →
68                      ∃∃K1,V1. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L1 = K1. ⓑ{I} V1.
69 /2 width=3 by lpx_inv_pair2_aux/ qed-.
70
71 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
72
73 lemma lpx_fwd_length: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → |L1| = |L2|.
74 #R #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 normalize //
75 qed-.
76
77 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
78
79 lemma lpx_inv_append1: ∀R,L1,K1,L. lpx R (K1 @@ L1) L →
80                        ∃∃K2,L2. lpx R K1 K2 & lpx R L1 L2 & L = K2 @@ L2.
81 #R #L1 elim L1 -L1 normalize
82 [ #K1 #K2 #HK12
83   @(ex3_2_intro … K2 (⋆)) // (**) (* explicit constructor, /2 width=5/ does not work *)
84 | #L1 #I #V1 #IH #K1 #X #H
85   elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #L #V2 #H1 #HV12 #H destruct
86   elim (IH … H1) -IH -H1 #K2 #L2 #HK12 #HL12 #H destruct
87   @(ex3_2_intro … HK12) [2: /2 width=2/ | skip | // ] (* explicit constructor, /3 width=5/ does not work *)
88 ]
89 qed-.
90
91 lemma lpx_inv_append2: ∀R,L2,K2,L. lpx R L (K2 @@ L2) →
92                        ∃∃K1,L1. lpx R K1 K2 & lpx R L1 L2 & L = K1 @@ L1.
93 #R #L2 elim L2 -L2 normalize
94 [ #K2 #K1 #HK12
95   @(ex3_2_intro … K1 (⋆)) // (**) (* explicit constructor, /2 width=5/ does not work *)
96 | #L2 #I #V2 #IH #K2 #X #H
97   elim (lpx_inv_pair2 … H) -H #L #V1 #H1 #HV12 #H destruct
98   elim (IH … H1) -IH -H1 #K1 #L1 #HK12 #HL12 #H destruct
99   @(ex3_2_intro … HK12) [2: /2 width=2/ | skip | // ] (* explicit constructor, /3 width=5/ does not work *)
100 ]
101 qed-.
102
103 (* Basic properties *********************************************************)
104
105 lemma lpx_refl: ∀R. reflexive ? R → reflexive … (lpx R).
106 #R #HR #L elim L -L // /2 width=1/
107 qed.
108
109 lemma lpx_sym: ∀R. symmetric ? R → symmetric … (lpx R).
110 #R #HR #L1 #L2 #H elim H -H // /3 width=1/
111 qed.
112
113 lemma lpx_trans: ∀R. Transitive ? R → Transitive … (lpx R).
114 #R #HR #L1 #L #H elim H -L //
115 #I #K1 #K #V1 #V #_ #HV1 #IHK1 #X #H
116 elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK2 #HV2 #H destruct /3 width=3/
117 qed.
118
119 lemma lpx_conf: ∀R. confluent ? R → confluent … (lpx R).
120 #R #HR #L0 #L1 #H elim H -L1
121 [ #X #H >(lpx_inv_atom1 … H) -X /2 width=3/
122 | #I #K0 #K1 #V0 #V1 #_ #HV01 #IHK01 #X #H
123   elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK02 #HV02 #H destruct
124   elim (IHK01 … HK02) -K0 #K #HK1 #HK2
125   elim (HR … HV01 … HV02) -HR -V0 /3 width=5/
126 ]
127 qed.
128
129 lemma lpx_TC_inj: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
130 #R #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 // /3 width=1/
131 qed.
132
133 lemma lpx_TC_step: ∀R,L1,L. lpx (TC … R) L1 L →
134                    ∀L2. lpx R L L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
135 #R #L1 #L #H elim H -L /2 width=1/
136 #I #K1 #K #V1 #V #_ #HV1 #IHK1 #X #H
137 elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK2 #HV2 #H destruct /3 width=3/
138 qed.
139
140 lemma TC_lpx_pair_dx: ∀R. reflexive ? R →
141                       ∀I,K,V1,V2. TC … R V1 V2 →
142                       TC … (lpx R) (K.ⓑ{I}V1) (K.ⓑ{I}V2).
143 #R #HR #I #K #V1 #V2 #H elim H -V2
144 /4 width=5 by lpx_refl, lpx_pair, inj, step/ (**) (* too slow without trace *)
145 qed.
146
147 lemma TC_lpx_pair_sn: ∀R. reflexive ? R →
148                       ∀I,V,K1,K2. TC … (lpx R) K1 K2 →
149                       TC … (lpx R) (K1.ⓑ{I}V) (K2.ⓑ{I}V).
150 #R #HR #I #V #K1 #K2 #H elim H -K2
151 /4 width=5 by lpx_refl, lpx_pair, inj, step/ (**) (* too slow without trace *)
152 qed.
153
154 lemma lpx_TC: ∀R,L1,L2. TC … (lpx R) L1 L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
155 #R #L1 #L2 #H elim H -L2 /2 width=1/ /2 width=3/
156 qed.
157
158 lemma lpx_inv_TC: ∀R. reflexive ? R →
159                   ∀L1,L2. lpx (TC … R) L1 L2 → TC … (lpx R) L1 L2.
160 #R #HR #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 /3 width=1/ /3 width=3/
161 qed.
162
163 lemma lpx_append: ∀R,K1,K2. lpx R K1 K2 → ∀L1,L2. lpx R L1 L2 →
164                   lpx R (L1 @@ K1) (L2 @@ K2).
165 #R #K1 #K2 #H elim H -K1 -K2 // /3 width=1/
166 qed.