matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/cpr/lenv_px.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/grammar/lenv_append.ma".
  16
  17 (* POINTWISE EXTENSION OF A CONTEXT-FREE REALTION FOR TERMS *****************)
  18
  19 inductive lpx (R:relation term): relation lenv ≝
  20 | lpx_stom: lpx R (⋆) (⋆)
  21 | lpx_pair: ∀I,K1,K2,V1,V2.
  22             lpx R K1 K2 → R V1 V2 → lpx R (K1. ⓑ{I} V1) (K2. ⓑ{I} V2)
  23 .
  24
  25 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  26
  27 fact lpx_inv_atom1_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
  28 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
  29 [ //
  30 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
  31 ]
  32 qed-.
  33
  34 lemma lpx_inv_atom1: ∀R,L2. lpx R (⋆) L2 → L2 = ⋆.
  35 /2 width=4 by lpx_inv_atom1_aux/ qed-.
  36
  37 fact lpx_inv_pair1_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → ∀I,K1,V1. L1 = K1. ⓑ{I} V1 →
  38                         ∃∃K2,V2. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L2 = K2. ⓑ{I} V2.
  39 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
  40 [ #J #K1 #V1 #H destruct
  41 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #HK12 #HV12 #J #L #W #H destruct /2 width=5/
  42 ]
  43 qed-.
  44
  45 lemma lpx_inv_pair1: ∀R,I,K1,V1,L2. lpx R (K1. ⓑ{I} V1) L2 →
  46                      ∃∃K2,V2. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L2 = K2. ⓑ{I} V2.
  47 /2 width=3 by lpx_inv_pair1_aux/ qed-.
  48
  49 fact lpx_inv_atom2_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
  50 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
  51 [ //
  52 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
  53 ]
  54 qed-.
  55
  56 lemma lpx_inv_atom2: ∀R,L1. lpx R L1 (⋆) → L1 = ⋆.
  57 /2 width=4 by lpx_inv_atom2_aux/ qed-.
  58
  59 fact lpx_inv_pair2_aux: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → ∀I,K2,V2. L2 = K2. ⓑ{I} V2 →
  60                         ∃∃K1,V1. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L1 = K1. ⓑ{I} V1.
  61 #R #L1 #L2 * -L1 -L2
  62 [ #J #K2 #V2 #H destruct
  63 | #I #K1 #K2 #V1 #V2 #HK12 #HV12 #J #K #W #H destruct /2 width=5/
  64 ]
  65 qed-.
  66
  67 lemma lpx_inv_pair2: ∀R,I,L1,K2,V2. lpx R L1 (K2. ⓑ{I} V2) →
  68                      ∃∃K1,V1. lpx R K1 K2 & R V1 V2 & L1 = K1. ⓑ{I} V1.
  69 /2 width=3 by lpx_inv_pair2_aux/ qed-.
  70
  71 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  72
  73 lemma lpx_fwd_length: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → |L1| = |L2|.
  74 #R #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 normalize //
  75 qed-.
  76
  77 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  78
  79 lemma lpx_inv_append1: ∀R,L1,K1,L. lpx R (K1 @@ L1) L →
  80                        ∃∃K2,L2. lpx R K1 K2 & lpx R L1 L2 & L = K2 @@ L2.
  81 #R #L1 elim L1 -L1 normalize
  82 [ #K1 #K2 #HK12
  83   @(ex3_2_intro … K2 (⋆)) // (**) (* explicit constructor, /2 width=5/ does not work *)
  84 | #L1 #I #V1 #IH #K1 #X #H
  85   elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #L #V2 #H1 #HV12 #H destruct
  86   elim (IH … H1) -IH -H1 #K2 #L2 #HK12 #HL12 #H destruct
  87   @(ex3_2_intro … HK12) [2: /2 width=2/ | skip | // ] (* explicit constructor, /3 width=5/ does not work *)
  88 ]
  89 qed-.
  90
  91 lemma lpx_inv_append2: ∀R,L2,K2,L. lpx R L (K2 @@ L2) →
  92                        ∃∃K1,L1. lpx R K1 K2 & lpx R L1 L2 & L = K1 @@ L1.
  93 #R #L2 elim L2 -L2 normalize
  94 [ #K2 #K1 #HK12
  95   @(ex3_2_intro … K1 (⋆)) // (**) (* explicit constructor, /2 width=5/ does not work *)
  96 | #L2 #I #V2 #IH #K2 #X #H
  97   elim (lpx_inv_pair2 … H) -H #L #V1 #H1 #HV12 #H destruct
  98   elim (IH … H1) -IH -H1 #K1 #L1 #HK12 #HL12 #H destruct
  99   @(ex3_2_intro … HK12) [2: /2 width=2/ | skip | // ] (* explicit constructor, /3 width=5/ does not work *)
 100 ]
 101 qed-.
 102
 103 (* Basic properties *********************************************************)
 104
 105 lemma lpx_refl: ∀R. reflexive ? R → reflexive … (lpx R).
 106 #R #HR #L elim L -L // /2 width=1/
 107 qed.
 108
 109 lemma lpx_sym: ∀R. symmetric ? R → symmetric … (lpx R).
 110 #R #HR #L1 #L2 #H elim H -H // /3 width=1/
 111 qed.
 112
 113 lemma lpx_trans: ∀R. Transitive ? R → Transitive … (lpx R).
 114 #R #HR #L1 #L #H elim H -L //
 115 #I #K1 #K #V1 #V #_ #HV1 #IHK1 #X #H
 116 elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK2 #HV2 #H destruct /3 width=3/
 117 qed.
 118
 119 lemma lpx_conf: ∀R. confluent ? R → confluent … (lpx R).
 120 #R #HR #L0 #L1 #H elim H -L1
 121 [ #X #H >(lpx_inv_atom1 … H) -X /2 width=3/
 122 | #I #K0 #K1 #V0 #V1 #_ #HV01 #IHK01 #X #H
 123   elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK02 #HV02 #H destruct
 124   elim (IHK01 … HK02) -K0 #K #HK1 #HK2
 125   elim (HR … HV01 … HV02) -HR -V0 /3 width=5/
 126 ]
 127 qed.
 128
 129 lemma lpx_TC_inj: ∀R,L1,L2. lpx R L1 L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
 130 #R #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 // /3 width=1/
 131 qed.
 132
 133 lemma lpx_TC_step: ∀R,L1,L. lpx (TC … R) L1 L →
 134                    ∀L2. lpx R L L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
 135 #R #L1 #L #H elim H -L /2 width=1/
 136 #I #K1 #K #V1 #V #_ #HV1 #IHK1 #X #H
 137 elim (lpx_inv_pair1 … H) -H #K2 #V2 #HK2 #HV2 #H destruct /3 width=3/
 138 qed.
 139
 140 lemma TC_lpx_pair_dx: ∀R. reflexive ? R →
 141                       ∀I,K,V1,V2. TC … R V1 V2 →
 142                       TC … (lpx R) (K.ⓑ{I}V1) (K.ⓑ{I}V2).
 143 #R #HR #I #K #V1 #V2 #H elim H -V2
 144 /4 width=5 by lpx_refl, lpx_pair, inj, step/ (**) (* too slow without trace *)
 145 qed.
 146
 147 lemma TC_lpx_pair_sn: ∀R. reflexive ? R →
 148                       ∀I,V,K1,K2. TC … (lpx R) K1 K2 →
 149                       TC … (lpx R) (K1.ⓑ{I}V) (K2.ⓑ{I}V).
 150 #R #HR #I #V #K1 #K2 #H elim H -K2
 151 /4 width=5 by lpx_refl, lpx_pair, inj, step/ (**) (* too slow without trace *)
 152 qed.
 153
 154 lemma lpx_TC: ∀R,L1,L2. TC … (lpx R) L1 L2 → lpx (TC … R) L1 L2.
 155 #R #L1 #L2 #H elim H -L2 /2 width=1/ /2 width=3/
 156 qed.
 157
 158 lemma lpx_inv_TC: ∀R. reflexive ? R →
 159                   ∀L1,L2. lpx (TC … R) L1 L2 → TC … (lpx R) L1 L2.
 160 #R #HR #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 /3 width=1/ /3 width=3/
 161 qed.
 162
 163 lemma lpx_append: ∀R,K1,K2. lpx R K1 K2 → ∀L1,L2. lpx R L1 L2 →
 164                   lpx R (L1 @@ K1) (L2 @@ K2).
 165 #R #K1 #K2 #H elim H -K1 -K2 // /3 width=1/
 166 qed.