matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/cpr/tps.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 notation "hvbox( L ⊢ break term 46 T1 break ▶ [ term 46 d , break term 46 e ] break term 46 T2 )"
  16    non associative with precedence 45
  17    for @{ 'PSubst $L $T1 $d $e $T2 }.
  18
  19 include "basic_2/substitution/ldrop_append.ma".
  20
  21 (* PARALLEL SUBSTITUTION ON TERMS *******************************************)
  22
  23 inductive tps: nat → nat → lenv → relation term ≝
  24 | tps_atom : ∀L,I,d,e. tps d e L (⓪{I}) (⓪{I})
  25 | tps_subst: ∀L,K,V,W,i,d,e. d ≤ i → i < d + e →
  26              ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → ⇧[0, i + 1] V ≡ W → tps d e L (#i) W
  27 | tps_bind : ∀L,a,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  28              tps d e L V1 V2 → tps (d + 1) e (L. ⓑ{I} V2) T1 T2 →
  29              tps d e L (ⓑ{a,I} V1. T1) (ⓑ{a,I} V2. T2)
  30 | tps_flat : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  31              tps d e L V1 V2 → tps d e L T1 T2 →
  32              tps d e L (ⓕ{I} V1. T1) (ⓕ{I} V2. T2)
  33 .
  34
  35 interpretation "parallel substritution (term)"
  36    'PSubst L T1 d e T2 = (tps d e L T1 T2).
  37
  38 (* Basic properties *********************************************************)
  39
  40 lemma tps_lsubr_trans: ∀L1,T1,T2,d,e. L1 ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 →
  41                        ∀L2. L2 ⊑ [d, e] L1 → L2 ⊢ T1 ▶ [d, e] T2.
  42 #L1 #T1 #T2 #d #e #H elim H -L1 -T1 -T2 -d -e
  43 [ //
  44 | #L1 #K1 #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK1 #HVW #L2 #HL12
  45   elim (ldrop_lsubr_ldrop2_abbr … HL12 … HLK1 ? ?) -HL12 -HLK1 // /2 width=4/
  46 | /4 width=1/
  47 | /3 width=1/
  48 ]
  49 qed.
  50
  51 lemma tps_refl: ∀T,L,d,e. L ⊢ T ▶ [d, e] T.
  52 #T elim T -T //
  53 #I elim I -I /2 width=1/
  54 qed.
  55
  56 (* Basic_1: was: subst1_ex *)
  57 lemma tps_full: ∀K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K. ⓓV) →
  58                 ∃∃T2,T. L ⊢ T1 ▶ [d, 1] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
  59 #K #V #T1 elim T1 -T1
  60 [ * #i #L #d #HLK /2 width=4/
  61   elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid /3 width=4/
  62   destruct
  63   elim (lift_total V 0 (i+1)) #W #HVW
  64   elim (lift_split … HVW i i ? ? ?) // /3 width=4/
  65 | * [ #a ] #I #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #d #HLK
  66   elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
  67   [ elim (IHU1 (L. ⓑ{I} W2) (d+1) ?) -IHU1 /2 width=1/ -HLK /3 width=9/
  68   | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK /3 width=8/
  69   ]
  70 ]
  71 qed.
  72
  73 lemma tps_weak: ∀L,T1,T2,d1,e1. L ⊢ T1 ▶ [d1, e1] T2 →
  74                 ∀d2,e2. d2 ≤ d1 → d1 + e1 ≤ d2 + e2 →
  75                 L ⊢ T1 ▶ [d2, e2] T2.
  76 #L #T1 #T2 #d1 #e1 #H elim H -L -T1 -T2 -d1 -e1
  77 [ //
  78 | #L #K #V #W #i #d1 #e1 #Hid1 #Hide1 #HLK #HVW #d2 #e2 #Hd12 #Hde12
  79   lapply (transitive_le … Hd12 … Hid1) -Hd12 -Hid1 #Hid2
  80   lapply (lt_to_le_to_lt … Hide1 … Hde12) -Hide1 /2 width=4/
  81 | /4 width=3/
  82 | /4 width=1/
  83 ]
  84 qed.
  85
  86 lemma tps_weak_top: ∀L,T1,T2,d,e.
  87                     L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → L ⊢ T1 ▶ [d, |L| - d] T2.
  88 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
  89 [ //
  90 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #_ #HLK #HVW
  91   lapply (ldrop_fwd_ldrop2_length … HLK) #Hi
  92   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi Hi) /3 width=4/
  93 | normalize /2 width=1/
  94 | /2 width=1/
  95 ]
  96 qed.
  97
  98 lemma tps_weak_full: ∀L,T1,T2,d,e.
  99                      L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → L ⊢ T1 ▶ [0, |L|] T2.
 100 #L #T1 #T2 #d #e #HT12
 101 lapply (tps_weak … HT12 0 (d + e) ? ?) -HT12 // #HT12
 102 lapply (tps_weak_top … HT12) //
 103 qed.
 104
 105 lemma tps_split_up: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → ∀i. d ≤ i → i ≤ d + e →
 106                     ∃∃T. L ⊢ T1 ▶ [d, i - d] T & L ⊢ T ▶ [i, d + e - i] T2.
 107 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
 108 [ /2 width=3/
 109 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #j #Hdj #Hjde
 110   elim (lt_or_ge i j)
 111   [ -Hide -Hjde
 112     >(plus_minus_m_m j d) in ⊢ (% → ?); // -Hdj /3 width=4/
 113   | -Hdi -Hdj #Hij
 114     lapply (plus_minus_m_m … Hjde) -Hjde /3 width=8/
 115   ]
 116 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 117   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // #V #HV1 #HV2
 118   elim (IHT12 (i + 1) ? ?) -IHT12 /2 width=1/
 119   -Hdi -Hide >arith_c1x #T #HT1 #HT2
 120   lapply (tps_lsubr_trans … HT1 (L. ⓑ{I} V) ?) -HT1 /3 width=5/
 121 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 122   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // elim (IHT12 i ? ?) -IHT12 //
 123   -Hdi -Hide /3 width=5/
 124 ]
 125 qed.
 126
 127 lemma tps_split_down: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 →
 128                       ∀i. d ≤ i → i ≤ d + e →
 129                       ∃∃T. L ⊢ T1 ▶ [i, d + e - i] T &
 130                            L ⊢ T ▶ [d, i - d] T2.
 131 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
 132 [ /2 width=3/
 133 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #j #Hdj #Hjde
 134   elim (lt_or_ge i j)
 135   [ -Hide -Hjde >(plus_minus_m_m j d) in ⊢ (% → ?); // -Hdj /3 width=8/
 136   | -Hdi -Hdj
 137     >(plus_minus_m_m (d+e) j) in Hide; // -Hjde /3 width=4/
 138   ]
 139 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 140   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // #V #HV1 #HV2
 141   elim (IHT12 (i + 1) ? ?) -IHT12 /2 width=1/
 142   -Hdi -Hide >arith_c1x #T #HT1 #HT2
 143   lapply (tps_lsubr_trans … HT1 (L. ⓑ{I} V) ?) -HT1 /3 width=5/
 144 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #i #Hdi #Hide
 145   elim (IHV12 i ? ?) -IHV12 // elim (IHT12 i ? ?) -IHT12 //
 146   -Hdi -Hide /3 width=5/
 147 ]
 148 qed.
 149
 150 lemma tps_append: ∀K,T1,T2,d,e. K ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 →
 151                   ∀L. L @@ K ⊢ T1 ▶ [d, e] T2.
 152 #K #T1 #T2 #d #e #H elim H -K -T1 -T2 -d -e // /2 width=1/
 153 #K #K0 #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #HK0 #HVW #L
 154 lapply (ldrop_fwd_ldrop2_length … HK0) #H
 155 @(tps_subst … (L@@K0) … HVW) // (**) (* /3/ does not work *)
 156 @(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/
 157 qed.
 158
 159 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 160
 161 fact tps_inv_atom1_aux: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → ∀I. T1 = ⓪{I} →
 162                         T2 = ⓪{I} ∨
 163                         ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
 164                                  ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 165                                  ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
 166                                  I = LRef i.
 167 #L #T1 #T2 #d #e * -L -T1 -T2 -d -e
 168 [ #L #I #d #e #J #H destruct /2 width=1/
 169 | #L #K #V #T2 #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVT2 #I #H destruct /3 width=8/
 170 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
 171 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #J #H destruct
 172 ]
 173 qed.
 174
 175 lemma tps_inv_atom1: ∀L,T2,I,d,e. L ⊢ ⓪{I} ▶ [d, e] T2 →
 176                      T2 = ⓪{I} ∨
 177                      ∃∃K,V,i. d ≤ i & i < d + e &
 178                               ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 179                               ⇧[O, i + 1] V ≡ T2 &
 180                               I = LRef i.
 181 /2 width=3/ qed-.
 182
 183
 184 (* Basic_1: was: subst1_gen_sort *)
 185 lemma tps_inv_sort1: ∀L,T2,k,d,e. L ⊢ ⋆k ▶ [d, e] T2 → T2 = ⋆k.
 186 #L #T2 #k #d #e #H
 187 elim (tps_inv_atom1 … H) -H //
 188 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 189 qed-.
 190
 191 (* Basic_1: was: subst1_gen_lref *)
 192 lemma tps_inv_lref1: ∀L,T2,i,d,e. L ⊢ #i ▶ [d, e] T2 →
 193                      T2 = #i ∨
 194                      ∃∃K,V. d ≤ i & i < d + e &
 195                             ⇩[O, i] L ≡ K. ⓓV &
 196                             ⇧[O, i + 1] V ≡ T2.
 197 #L #T2 #i #d #e #H
 198 elim (tps_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/
 199 * #K #V #j #Hdj #Hjde #HLK #HVT2 #H destruct /3 width=4/
 200 qed-.
 201
 202 lemma tps_inv_gref1: ∀L,T2,p,d,e. L ⊢ §p ▶ [d, e] T2 → T2 = §p.
 203 #L #T2 #p #d #e #H
 204 elim (tps_inv_atom1 … H) -H //
 205 * #K #V #i #_ #_ #_ #_ #H destruct
 206 qed-.
 207
 208 fact tps_inv_bind1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 ▶ [d, e] U2 →
 209                         ∀a,I,V1,T1. U1 = ⓑ{a,I} V1. T1 →
 210                         ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 &
 211                                  L. ⓑ{I} V2 ⊢ T1 ▶ [d + 1, e] T2 &
 212                                  U2 = ⓑ{a,I} V2. T2.
 213 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
 214 [ #L #k #d #e #a #I #V1 #T1 #H destruct
 215 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #a #I #V1 #T1 #H destruct
 216 | #L #b #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #a #I #V #T #H destruct /2 width=5/
 217 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
 218 ]
 219 qed.
 220
 221 lemma tps_inv_bind1: ∀d,e,L,a,I,V1,T1,U2. L ⊢ ⓑ{a,I} V1. T1 ▶ [d, e] U2 →
 222                      ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 &
 223                               L. ⓑ{I} V2 ⊢ T1 ▶ [d + 1, e] T2 &
 224                               U2 = ⓑ{a,I} V2. T2.
 225 /2 width=3/ qed-.
 226
 227 fact tps_inv_flat1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 ▶ [d, e] U2 →
 228                         ∀I,V1,T1. U1 = ⓕ{I} V1. T1 →
 229                         ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 &
 230                                  U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
 231 #d #e #L #U1 #U2 * -d -e -L -U1 -U2
 232 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
 233 | #L #K #V #W #i #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
 234 | #L #a #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #I #V #T #H destruct
 235 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #I #V #T #H destruct /2 width=5/
 236 ]
 237 qed.
 238
 239 lemma tps_inv_flat1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ ⓕ{I} V1. T1 ▶ [d, e] U2 →
 240                      ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 ▶ [d, e] V2 & L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 &
 241                               U2 =  ⓕ{I} V2. T2.
 242 /2 width=3/ qed-.
 243
 244 fact tps_inv_refl_O2_aux: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → e = 0 → T1 = T2.
 245 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e
 246 [ //
 247 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #H destruct
 248   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … Hide) -Hdi -Hide <plus_n_O #Hdd
 249   elim (lt_refl_false … Hdd)
 250 | /3 width=1/
 251 | /3 width=1/
 252 ]
 253 qed.
 254
 255 lemma tps_inv_refl_O2: ∀L,T1,T2,d. L ⊢ T1 ▶ [d, 0] T2 → T1 = T2.
 256 /2 width=6/ qed-.
 257
 258 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
 259
 260 lemma tps_fwd_tw: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e] T2 → ♯{T1} ≤ ♯{T2}.
 261 #L #T1 #T2 #d #e #H elim H -L -T1 -T2 -d -e normalize
 262 /3 by monotonic_le_plus_l, le_plus/ (**) (* just /3 width=1/ is too slow *)
 263 qed-.
 264
 265 lemma tps_fwd_shift1: ∀L1,L,T1,T,d,e. L ⊢ L1 @@ T1 ▶[d, e] T →
 266                       ∃∃L2,T2. |L1| = |L2| & T = L2 @@ T2.
 267 #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
 268 [ #L #T1 #T #d #e #HT1
 269   @(ex2_2_intro … (⋆)) // (**) (* explicit constructor *)
 270 | #I #L1 #V1 #IH #L #T1 #X #d #e
 271   >shift_append_assoc normalize #H
 272   elim (tps_inv_bind1 … H) -H
 273   #V0 #T0 #_ #HT10 #H destruct
 274   elim (IH … HT10) -IH -HT10 #L2 #T2 #HL12 #H destruct
 275   >append_length >HL12 -HL12
 276   @(ex2_2_intro … (⋆.ⓑ{I}V0@@L2) T2) [ >append_length ] // /2 width=3/ (**) (* explicit constructor *)
 277 ]
 278 qed-.
 279
 280 (* Basic_1: removed theorems 25:
 281             subst0_gen_sort subst0_gen_lref subst0_gen_head subst0_gen_lift_lt
 282             subst0_gen_lift_false subst0_gen_lift_ge subst0_refl subst0_trans
 283             subst0_lift_lt subst0_lift_ge subst0_lift_ge_S subst0_lift_ge_s
 284             subst0_subst0 subst0_subst0_back subst0_weight_le subst0_weight_lt
 285             subst0_confluence_neq subst0_confluence_eq subst0_tlt_head
 286             subst0_confluence_lift subst0_tlt
 287             subst1_head subst1_gen_head subst1_lift_S subst1_confluence_lift
 288 *)