matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/cpr/tps_lift.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/substitution/ldrop_ldrop.ma".
  16 include "basic_2/substitution/tps.ma".
  17
  18 (* PARTIAL SUBSTITUTION ON TERMS ********************************************)
  19
  20 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  21
  22 fact tps_inv_S2_aux: ∀L,T1,T2,d,e1. L ⊢ T1 ▶ [d, e1] T2 → ∀e2. e1 = e2 + 1 →
  23                      ∀K,V. ⇩[0, d] L ≡ K. ⓛV → L ⊢ T1 ▶ [d + 1, e2] T2.
  24 #L #T1 #T2 #d #e1 #H elim H -L -T1 -T2 -d -e1
  25 [ //
  26 | #L #K0 #V0 #W #i #d #e1 #Hdi #Hide1 #HLK0 #HV0 #e2 #He12 #K #V #HLK destruct
  27   elim (lt_or_ge i (d+1)) #HiSd
  28   [ -Hide1 -HV0
  29     lapply (le_to_le_to_eq … Hdi ?) /2 width=1/ #H destruct
  30     lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK) #H destruct
  31   | -V -Hdi /2 width=4/
  32   ]
  33 | /4 width=3/
  34 | /3 width=3/
  35 ]
  36 qed.
  37
  38 lemma tps_inv_S2: ∀L,T1,T2,d,e. L ⊢ T1 ▶ [d, e + 1] T2 →
  39                   ∀K,V. ⇩[0, d] L ≡ K. ⓛV → L ⊢ T1 ▶ [d + 1, e] T2.
  40 /2 width=3/ qed-.
  41
  42 lemma tps_inv_refl_SO2: ∀L,T1,T2,d. L ⊢ T1 ▶ [d, 1] T2 →
  43                         ∀K,V. ⇩[0, d] L ≡ K. ⓛV → T1 = T2.
  44 #L #T1 #T2 #d #HT12 #K #V #HLK
  45 lapply (tps_inv_S2 … T1 T2 … 0 … HLK) -K // -HT12 #HT12
  46 lapply (tps_inv_refl_O2 … HT12) -HT12 //
  47 qed-.
  48
  49 (* Relocation properties ****************************************************)
  50
  51 (* Basic_1: was: subst1_lift_lt *)
  52 lemma tps_lift_le: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 ▶ [dt, et] T2 →
  53                    ∀L,U1,U2,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K →
  54                    ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → ⇧[d, e] T2 ≡ U2 →
  55                    dt + et ≤ d →
  56                    L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2.
  57 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -K -T1 -T2 -dt -et
  58 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
  59   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 -H2 //
  60 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hdetd
  61   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) -Hdetd #Hid
  62   lapply (lift_inv_lref1_lt … H … Hid) -H #H destruct
  63   elim (lift_trans_ge … HVW … HWU2 ?) -W // <minus_plus #W #HVW #HWU2
  64   elim (ldrop_trans_le … HLK … HKV ?) -K /2 width=2/ #X #HLK #H
  65   elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H /2 width=1/ -Hid #K #Y #_ #HVY
  66   >(lift_mono … HVY … HVW) -Y -HVW #H destruct /2 width=4/
  67 | #K #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  68   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  69   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct
  70   @tps_bind [ /2 width=6/ | @IHT12 /2 width=6/ ] (**) (* /3 width=6/ is too slow, arith3 needed to avoid crash *)
  71 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
  72   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
  73   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct /3 width=6/
  74 ]
  75 qed.
  76
  77 lemma tps_lift_be: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 ▶ [dt, et] T2 →
  78                    ∀L,U1,U2,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K →
  79                    ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → ⇧[d, e] T2 ≡ U2 →
  80                    dt ≤ d → d ≤ dt + et →
  81                    L ⊢ U1 ▶ [dt, et + e] U2.
  82 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -K -T1 -T2 -dt -et
  83 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_ #_
  84   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 -H2 //
  85 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hdtd #_
  86   elim (lift_inv_lref1 … H) -H * #Hid #H destruct
  87   [ -Hdtd
  88     lapply (lt_to_le_to_lt … (dt+et+e) Hidet ?) // -Hidet #Hidete
  89     elim (lift_trans_ge … HVW … HWU2 ?) -W // <minus_plus #W #HVW #HWU2
  90     elim (ldrop_trans_le … HLK … HKV ?) -K /2 width=2/ #X #HLK #H
  91     elim (ldrop_inv_skip2 … H ?) -H /2 width=1/ -Hid #K #Y #_ #HVY
  92     >(lift_mono … HVY … HVW) -V #H destruct /2 width=4/
  93   | -Hdti
  94     lapply (transitive_le … Hdtd Hid) -Hdtd #Hdti
  95     lapply (lift_trans_be … HVW … HWU2 ? ?) -W // /2 width=1/ >plus_plus_comm_23 #HVU2
  96     lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -K // -Hid /3 width=4/
  97   ]
  98 | #K #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdtd #Hddet
  99   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 100   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct
 101   @tps_bind [ /2 width=6/ | @IHT12 [3,4: // | skip |5,6: /2 width=1/ | /2 width=1/ ]
 102             ] (**) (* /3 width=6/ is too slow, simplification like tps_lift_le is too slow *)
 103 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hdetd
 104   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 105   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct /3 width=6/
 106 ]
 107 qed.
 108
 109 (* Basic_1: was: subst1_lift_ge *)
 110 lemma tps_lift_ge: ∀K,T1,T2,dt,et. K ⊢ T1 ▶ [dt, et] T2 →
 111                    ∀L,U1,U2,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K →
 112                    ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → ⇧[d, e] T2 ≡ U2 →
 113                    d ≤ dt →
 114                    L ⊢ U1 ▶ [dt + e, et] U2.
 115 #K #T1 #T2 #dt #et #H elim H -K -T1 -T2 -dt -et
 116 [ #K #I #dt #et #L #U1 #U2 #d #e #_ #H1 #H2 #_
 117   >(lift_mono … H1 … H2) -H1 -H2 //
 118 | #K #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HKV #HVW #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H #HWU2 #Hddt
 119   lapply (transitive_le … Hddt … Hdti) -Hddt #Hid
 120   lapply (lift_inv_lref1_ge … H … Hid) -H #H destruct
 121   lapply (lift_trans_be … HVW … HWU2 ? ?) -W // /2 width=1/ >plus_plus_comm_23 #HVU2
 122   lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK … HKV ?) -K // -Hid /3 width=4/
 123 | #K #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
 124   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 125   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct
 126   @tps_bind [ /2 width=5/ | /3 width=5/ ] (**) (* explicit constructor *)
 127 | #K #I #V1 #V2 #T1 #T2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHT12 #L #U1 #U2 #d #e #HLK #H1 #H2 #Hddt
 128   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #VV1 #TT1 #HVV1 #HTT1 #H1
 129   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #VV2 #TT2 #HVV2 #HTT2 #H2 destruct /3 width=5/
 130 ]
 131 qed.
 132
 133 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_lt *)
 134 lemma tps_inv_lift1_le: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 135                         ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 136                         dt + et ≤ d →
 137                         ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [dt, et] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 138 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -L -U1 -U2 -dt -et
 139 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 140   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 141   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct /3 width=3/
 142   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 143   ]
 144 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdetd
 145   lapply (lt_to_le_to_lt … Hidet … Hdetd) -Hdetd #Hid
 146   lapply (lift_inv_lref2_lt … H … Hid) -H #H destruct
 147   elim (ldrop_conf_lt … HLK … HLKV ?) -L // #L #U #HKL #_ #HUV
 148   elim (lift_trans_le … HUV … HVW ?) -V // >minus_plus <plus_minus_m_m // -Hid /3 width=4/
 149 | #L #a #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 150   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 151   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -V1 // #W2 #HW12 #HWV2
 152   elim (IHU12 … HTU1 ?) -IHU12 -HTU1 [3: /2 width=1/ |4: @ldrop_skip // |2: skip ] -HLK -Hdetd (**) (* /3 width=5/ is too slow *)
 153   /3 width=5/
 154 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 155   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 156   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -V1 //
 157   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -U1 -HLK // /3 width=5/
 158 ]
 159 qed.
 160
 161 lemma tps_inv_lift1_be: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 162                         ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 163                         dt ≤ d → d + e ≤ dt + et →
 164                         ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [dt, et - e] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 165 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -L -U1 -U2 -dt -et
 166 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 167   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 168   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct /3 width=3/
 169   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 170   ]
 171 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdtd #Hdedet
 172   lapply (le_fwd_plus_plus_ge … Hdtd … Hdedet) #Heet
 173   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct
 174   [ -Hdtd -Hidet
 175     lapply (lt_to_le_to_lt … (dt + (et - e)) Hid ?) [ <le_plus_minus /2 width=1/ ] -Hdedet #Hidete
 176     elim (ldrop_conf_lt … HLK … HLKV ?) -L // #L #U #HKL #_ #HUV
 177     elim (lift_trans_le … HUV … HVW ?) -V // >minus_plus <plus_minus_m_m // -Hid /3 width=4/
 178   | -Hdti -Hdedet
 179     lapply (transitive_le … (i - e) Hdtd ?) /2 width=1/ -Hdtd #Hdtie
 180     elim (le_inv_plus_l … Hid) #Hdie #Hei
 181     lapply (ldrop_conf_ge … HLK … HLKV ?) -L // #HKV
 182     elim (lift_split … HVW d (i - e + 1) ? ? ?) -HVW [4: // |3: /2 width=1/ |2: /3 width=1/ ] -Hid -Hdie
 183     #V1 #HV1 >plus_minus // <minus_minus // /2 width=1/ <minus_n_n <plus_n_O #H
 184     @ex2_intro [3: @H | skip | @tps_subst [3,5,6: // |1,2: skip | >commutative_plus >plus_minus // /2 width=1/ ] ] (**) (* explicit constructor, uses monotonic_lt_minus_l *)
 185   ]
 186 | #L #a #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdtd #Hdedet
 187   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 188   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ? ?) -V1 // #W2 #HW12 #HWV2
 189   elim (IHU12 … HTU1 ? ?) -U1 [5: @ldrop_skip // |2: skip |3: >plus_plus_comm_23 >(plus_plus_comm_23 dt) /2 width=1/ |4: /2 width=1/ ] (**) (* 29s without the rewrites *)
 190   /3 width=5/
 191 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdtd #Hdedet
 192   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 193   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ? ?) -V1 //
 194   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ? ?) -U1 -HLK // /3 width=5/
 195 ]
 196 qed.
 197
 198 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_ge *)
 199 lemma tps_inv_lift1_ge: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 200                         ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 201                         d + e ≤ dt →
 202                         ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [dt - e, et] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 203 #L #U1 #U2 #dt #et #H elim H -L -U1 -U2 -dt -et
 204 [ #L * #i #dt #et #K #d #e #_ #T1 #H #_
 205   [ lapply (lift_inv_sort2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 206   | elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #Hid #H destruct /3 width=3/
 207   | lapply (lift_inv_gref2 … H) -H #H destruct /2 width=3/
 208   ]
 209 | #L #KV #V #W #i #dt #et #Hdti #Hidet #HLKV #HVW #K #d #e #HLK #T1 #H #Hdedt
 210   lapply (transitive_le … Hdedt … Hdti) #Hdei
 211   elim (le_inv_plus_l … Hdedt) -Hdedt #_ #Hedt
 212   elim (le_inv_plus_l … Hdei) #Hdie #Hei
 213   lapply (lift_inv_lref2_ge … H … Hdei) -H #H destruct
 214   lapply (ldrop_conf_ge … HLK … HLKV ?) -L // #HKV
 215   elim (lift_split … HVW d (i - e + 1) ? ? ?) -HVW [4: // |3: /2 width=1/ |2: /3 width=1/ ] -Hdei -Hdie
 216   #V0 #HV10 >plus_minus // <minus_minus // /2 width=1/ <minus_n_n <plus_n_O #H
 217   @ex2_intro [3: @H | skip | @tps_subst [5,6: // |1,2: skip | /2 width=1/ | >plus_minus // /2 width=1/ ] ] (**) (* explicit constructor, uses monotonic_lt_minus_l *)
 218 | #L #a #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 219   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 220   elim (le_inv_plus_l … Hdetd) #_ #Hedt
 221   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -V1 // #W2 #HW12 #HWV2
 222   elim (IHU12 … HTU1 ?) -U1 [4: @ldrop_skip // |2: skip |3: /2 width=1/ ]
 223   <plus_minus // /3 width=5/
 224 | #L #I #V1 #V2 #U1 #U2 #dt #et #_ #_ #IHV12 #IHU12 #K #d #e #HLK #X #H #Hdetd
 225   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #HWV1 #HTU1 #H destruct
 226   elim (IHV12 … HLK … HWV1 ?) -V1 //
 227   elim (IHU12 … HLK … HTU1 ?) -U1 -HLK // /3 width=5/
 228 ]
 229 qed.
 230
 231 (* Basic_1: was: subst1_gen_lift_eq *)
 232 lemma tps_inv_lift1_eq: ∀L,U1,U2,d,e.
 233                         L ⊢ U1 ▶ [d, e] U2 → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 → U1 = U2.
 234 #L #U1 #U2 #d #e #H elim H -L -U1 -U2 -d -e
 235 [ //
 236 | #L #K #V #W #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #T1 #H
 237   elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #H
 238   [ lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … H) -Hdi -H #H
 239     elim (lt_refl_false … H)
 240   | lapply (lt_to_le_to_lt … Hide … H) -Hide -H #H
 241     elim (lt_refl_false … H)
 242   ]
 243 | #L #a #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 244   elim (lift_inv_bind2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct
 245   >IHV12 // >IHT12 //
 246 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
 247   elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct
 248   >IHV12 // >IHT12 //
 249 ]
 250 qed.
 251 (*
 252       Theorem subst0_gen_lift_rev_ge: (t1,v,u2,i,h,d:?)
 253                                       (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 254                                       (le (plus d h) i) ->
 255                                       (EX u1 | (subst0 (minus i h) v u1 u2) &
 256                                                t1 = (lift h d u1)
 257                                       ).
 258
 259
 260       Theorem subst0_gen_lift_rev_lelt: (t1,v,u2,i,h,d:?)
 261                                         (subst0 i v t1 (lift h d u2)) ->
 262                                         (le d i) -> (lt i (plus d h)) ->
 263                                         (EX u1 | t1 = (lift (minus (plus d h) (S i)) (S i) u1)).
 264 *)
 265 lemma tps_inv_lift1_ge_up: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 266                            ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 267                            d ≤ dt → dt ≤ d + e → d + e ≤ dt + et →
 268                            ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [d, dt + et - (d + e)] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 269 #L #U1 #U2 #dt #et #HU12 #K #d #e #HLK #T1 #HTU1 #Hddt #Hdtde #Hdedet
 270 elim (tps_split_up … HU12 (d + e) ? ?) -HU12 // -Hdedet #U #HU1 #HU2
 271 lapply (tps_weak … HU1 d e ? ?) -HU1 // [ >commutative_plus /2 width=1/ ] -Hddt -Hdtde #HU1
 272 lapply (tps_inv_lift1_eq … HU1 … HTU1) -HU1 #HU1 destruct
 273 elim (tps_inv_lift1_ge … HU2 … HLK … HTU1 ?) -U -L // <minus_plus_m_m /2 width=3/
 274 qed.
 275
 276 lemma tps_inv_lift1_be_up: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 277                            ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 278                            dt ≤ d → dt + et ≤ d + e →
 279                            ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [dt, d - dt] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 280 #L #U1 #U2 #dt #et #HU12 #K #d #e #HLK #T1 #HTU1 #Hdtd #Hdetde
 281 lapply (tps_weak … HU12 dt (d + e - dt) ? ?) -HU12 // /2 width=3/ -Hdetde #HU12
 282 elim (tps_inv_lift1_be … HU12 … HLK … HTU1 ? ?) -U1 -L // /2 width=3/
 283 qed.
 284
 285 lemma tps_inv_lift1_le_up: ∀L,U1,U2,dt,et. L ⊢ U1 ▶ [dt, et] U2 →
 286                            ∀K,d,e. ⇩[d, e] L ≡ K → ∀T1. ⇧[d, e] T1 ≡ U1 →
 287                            dt ≤ d → d ≤ dt + et → dt + et ≤ d + e →
 288                            ∃∃T2. K ⊢ T1 ▶ [dt, d - dt] T2 & ⇧[d, e] T2 ≡ U2.
 289 #L #U1 #U2 #dt #et #HU12 #K #d #e #HLK #T1 #HTU1 #Hdtd #Hddet #Hdetde
 290 elim (tps_split_up … HU12 d ? ?) -HU12 // #U #HU1 #HU2
 291 elim (tps_inv_lift1_le … HU1 … HLK … HTU1 ?) -U1 [2: >commutative_plus /2 width=1/ ] -Hdtd #T #HT1 #HTU
 292 lapply (tps_weak … HU2 d e ? ?) -HU2 // [ >commutative_plus <plus_minus_m_m // ] -Hddet -Hdetde #HU2
 293 lapply (tps_inv_lift1_eq … HU2 … HTU) -L #H destruct /2 width=3/
 294 qed.