matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/etc/lleq_alt/lleq.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/notation/relations/lazyeq_4.ma".
  16 include "basic_2/substitution/cpys.ma".
  17
  18 (* LAZY EQUIVALENCE FOR LOCAL ENVIRONMENTS **********************************)
  19
  20 definition lleq: relation4 ynat term lenv lenv ≝
  21                  λd,T,L1,L2. |L1| = |L2| ∧
  22                              (∀U. ⦃⋆, L1⦄ ⊢ T ▶*[d, ∞] U ↔ ⦃⋆, L2⦄ ⊢ T ▶*[d, ∞] U).
  23
  24 interpretation
  25    "lazy equivalence (local environment)"
  26    'LazyEq T d L1 L2 = (lleq d T L1 L2).
  27
  28 (* Basic properties *********************************************************)
  29
  30 lemma lleq_refl: ∀d,T. reflexive … (lleq d T).
  31 /3 width=1 by conj/ qed.
  32
  33 lemma lleq_sym: ∀d,T. symmetric … (lleq d T).
  34 #d #T #L1 #L2 * /3 width=1 by iff_sym, conj/
  35 qed-.
  36
  37 lemma lleq_sort: ∀L1,L2,d,k. |L1| = |L2| → L1 ⋕[⋆k, d] L2.
  38 #L1 #L2 #d #k #HL12 @conj // -HL12
  39 #U @conj #H >(cpys_inv_sort1 … H) -H //
  40 qed.
  41
  42 lemma lleq_gref: ∀L1,L2,d,p. |L1| = |L2| → L1 ⋕[§p, d] L2.
  43 #L1 #L2 #d #k #HL12 @conj // -HL12
  44 #U @conj #H >(cpys_inv_gref1 … H) -H //
  45 qed.
  46
  47 lemma lleq_bind: ∀a,I,L1,L2,V,T,d.
  48                  L1 ⋕[V, d] L2 → L1.ⓑ{I}V ⋕[T, ⫯d] L2.ⓑ{I}V →
  49                  L1 ⋕[ⓑ{a,I}V.T, d] L2.
  50 #a #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #IHV * #_ #IHT @conj // -HL12
  51 #X @conj #H elim (cpys_inv_bind1 … H) -H
  52 #W #U #HVW #HTU #H destruct
  53 elim (IHV W) -IHV elim (IHT U) -IHT /3 width=1 by cpys_bind/
  54 qed.
  55
  56 lemma lleq_flat: ∀I,L1,L2,V,T,d.
  57                  L1 ⋕[V, d] L2 → L1 ⋕[T, d] L2 → L1 ⋕[ⓕ{I}V.T, d] L2.
  58 #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #IHV * #_ #IHT @conj // -HL12
  59 #X @conj #H elim (cpys_inv_flat1 … H) -H
  60 #W #U #HVW #HTU #H destruct
  61 elim (IHV W) -IHV elim (IHT U) -IHT
  62 /3 width=1 by cpys_flat/
  63 qed.
  64
  65 lemma lleq_be: ∀L1,L2,U,dt. L1 ⋕[U, dt] L2 → ∀T,d,e. ⇧[d, e] T ≡ U →
  66                d ≤ dt → dt ≤ d + e → L1 ⋕[U, d] L2.
  67 #L1 #L2 #U #dt * #HL12 #IH #T #d #e #HTU #Hddt #Hdtde @conj // -HL12
  68 #U0 elim (IH U0) -IH #H12 #H21 @conj
  69 #HU0 elim (cpys_fwd_up … HU0 … HTU) // -HU0 /4 width=5 by cpys_weak/
  70 qed-.
  71
  72 lemma lsuby_lleq_trans: ∀L2,L,T,d. L2 ⋕[T, d] L →
  73                         ∀L1. L1 ⊑×[d, ∞] L2 → |L1| = |L2| → L1 ⋕[T, d] L.
  74 #L2 #L #T #d * #HL2 #IH #L1 #HL12 #H @conj // -HL2
  75 #U elim (IH U) -IH #Hdx #Hsn @conj #HTU
  76 [ @Hdx -Hdx -Hsn @(lsuby_cpys_trans … HTU) -HTU
  77   /2 width=1 by lsuby_sym/ (**) (* full auto does not work *)
  78 | -H -Hdx /3 width=3 by lsuby_cpys_trans/
  79 ]
  80 qed-.
  81
  82 lemma lleq_lsuby_trans: ∀L,L1,T,d. L ⋕[T, d] L1 →
  83                         ∀L2. L1 ⊑×[d, ∞] L2 → |L1| = |L2| → L ⋕[T, d] L2.
  84 /5 width=4 by lsuby_lleq_trans, lleq_sym, lsuby_sym/ qed-.
  85
  86 lemma lleq_lsuby_repl: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[T, d] L2 →
  87                        ∀K1. K1 ⊑×[d, ∞] L1 → |K1| = |L1| →
  88                        ∀K2. L2 ⊑×[d, ∞] K2 → |L2| = |K2| →
  89                        K1 ⋕[T, d] K2.
  90 /3 width=4 by lleq_lsuby_trans, lsuby_lleq_trans/ qed-.
  91
  92 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  93
  94 lemma lleq_fwd_length: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[T, d] L2 → |L1| = |L2|.
  95 #L1 #L2 #T #d * //
  96 qed-.
  97
  98 lemma lleq_fwd_ldrop_sn: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[d, T] L2 → ∀K1,i. ⇩[i] L1 ≡ K1 →
  99                          ∃K2. ⇩[i] L2 ≡ K2.
 100 #L1 #L2 #T #d #H #K1 #i #HLK1 lapply (lleq_fwd_length … H) -H
 101 #HL12 lapply (ldrop_fwd_length_le2 … HLK1) -HLK1 /2 width=1 by ldrop_O1_le/
 102 qed-.
 103
 104 lemma lleq_fwd_ldrop_dx: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[d, T] L2 → ∀K2,i. ⇩[i] L2 ≡ K2 →
 105                          ∃K1. ⇩[i] L1 ≡ K1.
 106 /3 width=6 by lleq_fwd_ldrop_sn, lleq_sym/ qed-.
 107
 108 lemma lleq_fwd_bind_sn: ∀a,I,L1,L2,V,T,d.
 109                         L1 ⋕[ⓑ{a,I}V.T, d] L2 → L1 ⋕[V, d] L2.
 110 #a #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #H @conj // -HL12
 111 #U elim (H (ⓑ{a,I}U.T)) -H
 112 #H1 #H2 @conj
 113 #H [ lapply (H1 ?) | lapply (H2 ?) ] -H1 -H2
 114 /2 width=1 by cpys_bind/ -H
 115 #H elim (cpys_inv_bind1 … H) -H
 116 #X #Y #H1 #H2 #H destruct //
 117 qed-.
 118
 119 lemma lleq_fwd_bind_dx: ∀a,I,L1,L2,V,T,d.
 120                         L1 ⋕[ⓑ{a,I}V.T, d] L2 → L1.ⓑ{I}V ⋕[T, ⫯d] L2.ⓑ{I}V.
 121 #a #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #H @conj [ normalize // ] -HL12
 122 #U elim (H (ⓑ{a,I}V.U)) -H
 123 #H1 #H2 @conj
 124 #H [ lapply (H1 ?) | lapply (H2 ?) ] -H1 -H2
 125 /2 width=1 by cpys_bind/ -H
 126 #H elim (cpys_inv_bind1 … H) -H
 127 #X #Y #H1 #H2 #H destruct //
 128 qed-.
 129
 130 lemma lleq_fwd_flat_sn: ∀I,L1,L2,V,T,d.
 131                         L1 ⋕[ⓕ{I}V.T, d] L2 → L1 ⋕[V, d] L2.
 132 #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #H @conj // -HL12
 133 #U elim (H (ⓕ{I}U.T)) -H
 134 #H1 #H2 @conj
 135 #H [ lapply (H1 ?) | lapply (H2 ?) ] -H1 -H2
 136 /2 width=1 by cpys_flat/ -H
 137 #H elim (cpys_inv_flat1 … H) -H
 138 #X #Y #H1 #H2 #H destruct //
 139 qed-.
 140
 141 lemma lleq_fwd_flat_dx: ∀I,L1,L2,V,T,d.
 142                         L1 ⋕[ⓕ{I}V.T, d] L2 → L1 ⋕[T, d] L2.
 143 #I #L1 #L2 #V #T #d * #HL12 #H @conj // -HL12
 144 #U elim (H (ⓕ{I}V.U)) -H
 145 #H1 #H2 @conj
 146 #H [ lapply (H1 ?) | lapply (H2 ?) ] -H1 -H2
 147 /2 width=1 by cpys_flat/ -H
 148 #H elim (cpys_inv_flat1 … H) -H
 149 #X #Y #H1 #H2 #H destruct //
 150 qed-.
 151
 152 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 153
 154 lemma lleq_inv_bind: ∀a,I,L1,L2,V,T,d. L1 ⋕[ⓑ{a,I}V.T, d] L2 →
 155                      L1 ⋕[V, d] L2 ∧ L1.ⓑ{I}V ⋕[T, ⫯d] L2.ⓑ{I}V.
 156 /3 width=4 by lleq_fwd_bind_sn, lleq_fwd_bind_dx, conj/ qed-.
 157
 158 lemma lleq_inv_flat: ∀I,L1,L2,V,T,d. L1 ⋕[ⓕ{I}V.T, d] L2 →
 159                      L1 ⋕[V, d] L2 ∧ L1 ⋕[T, d] L2.
 160 /3 width=3 by lleq_fwd_flat_sn, lleq_fwd_flat_dx, conj/ qed-.