matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/cpy_cpy.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/relocation/cpy_lift.ma".
  16
  17 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED ORDINARY SUBSTITUTION FOR TERMS ***************)
  18
  19 (* Main properties **********************************************************)
  20
  21 theorem cpy_conf_eq: ∀G,L,T0,T1,d1,e1. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶×[d1, e1] T1 →
  22                      ∀T2,d2,e2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶×[d2, e2] T2 →
  23                      ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d2, e2] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T2 ▶×[d1, e1] T.
  24 #G #L #T0 #T1 #d1 #e1 #H elim H -G -L -T0 -T1 -d1 -e1
  25 [ /2 width=3 by ex2_intro/
  26 | #I1 #G #L #K1 #V1 #T1 #i0 #d1 #e1 #Hd1 #Hde1 #HLK1 #HVT1 #T2 #d2 #e2 #H
  27   elim (cpy_inv_lref1 … H) -H
  28   [ #HX destruct /3 width=7 by cpy_subst, ex2_intro/
  29   | -Hd1 -Hde1 * #I2 #K2 #V2 #_ #_ #HLK2 #HVT2
  30     lapply (ldrop_mono … HLK1 … HLK2) -HLK1 -HLK2 #H destruct
  31     >(lift_mono … HVT1 … HVT2) -HVT1 -HVT2 /2 width=3 by ex2_intro/
  32   ]
  33 | #a #I #G #L #V0 #V1 #T0 #T1 #d1 #e1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #X #d2 #e2 #HX
  34   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  35   lapply (lsuby_cpy_trans … HT02 (L.ⓑ{I}V1) ?) -HT02 /2 width=1 by lsuby_succ/ #HT02
  36   elim (IHV01 … HV02) -V0 #V #HV1 #HV2
  37   elim (IHT01 … HT02) -T0 #T #HT1 #HT2
  38   lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L.ⓑ{I}V) ?) -HT1 /2 width=1 by lsuby_succ/
  39   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V) ?) -HT2 /3 width=5 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
  40 | #I #G #L #V0 #V1 #T0 #T1 #d1 #e1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #X #d2 #e2 #HX
  41   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  42   elim (IHV01 … HV02) -V0
  43   elim (IHT01 … HT02) -T0 /3 width=5 by cpy_flat, ex2_intro/
  44 ]
  45 qed-.
  46
  47 theorem cpy_conf_neq: ∀G,L1,T0,T1,d1,e1. ⦃G, L1⦄ ⊢ T0 ▶×[d1, e1] T1 →
  48                       ∀L2,T2,d2,e2. ⦃G, L2⦄ ⊢ T0 ▶×[d2, e2] T2 →
  49                       (d1 + e1 ≤ d2 ∨ d2 + e2 ≤ d1) →
  50                       ∃∃T. ⦃G, L2⦄ ⊢ T1 ▶×[d2, e2] T & ⦃G, L1⦄ ⊢ T2 ▶×[d1, e1] T.
  51 #G #L1 #T0 #T1 #d1 #e1 #H elim H -G -L1 -T0 -T1 -d1 -e1
  52 [ /2 width=3 by ex2_intro/
  53 | #I1 #G #L1 #K1 #V1 #T1 #i0 #d1 #e1 #Hd1 #Hde1 #HLK1 #HVT1 #L2 #T2 #d2 #e2 #H1 #H2
  54   elim (cpy_inv_lref1 … H1) -H1
  55   [ #H destruct /3 width=7 by cpy_subst, ex2_intro/
  56   | -HLK1 -HVT1 * #I2 #K2 #V2 #Hd2 #Hde2 #_ #_ elim H2 -H2 #Hded
  57     [ -Hd1 -Hde2
  58       lapply (transitive_le … Hded Hd2) -Hded -Hd2 #H
  59       lapply (lt_to_le_to_lt … Hde1 H) -Hde1 -H #H
  60       elim (lt_refl_false … H)
  61     | -Hd2 -Hde1
  62       lapply (transitive_le … Hded Hd1) -Hded -Hd1 #H
  63       lapply (lt_to_le_to_lt … Hde2 H) -Hde2 -H #H
  64       elim (lt_refl_false … H)
  65     ]
  66   ]
  67 | #a #I #G #L1 #V0 #V1 #T0 #T1 #d1 #e1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #L2 #X #d2 #e2 #HX #H
  68   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  69   elim (IHV01 … HV02 H) -V0 #V #HV1 #HV2
  70   elim (IHT01 … HT02) -T0
  71   [ -H #T #HT1 #HT2
  72     lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L2.ⓑ{I}V) ?) -HT1 /2 width=1 by lsuby_succ/
  73     lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L1.ⓑ{I}V) ?) -HT2 /3 width=5 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
  74   | -HV1 -HV2 >plus_plus_comm_23 >plus_plus_comm_23 in ⊢ (? ? %); elim H -H
  75     /3 width=1 by monotonic_le_plus_l, or_intror, or_introl/
  76   ]
  77 | #I #G #L1 #V0 #V1 #T0 #T1 #d1 #e1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #L2 #X #d2 #e2 #HX #H
  78   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  79   elim (IHV01 … HV02 H) -V0
  80   elim (IHT01 … HT02 H) -T0 -H /3 width=5 by cpy_flat, ex2_intro/
  81 ]
  82 qed-.
  83
  84 (* Note: the constant 1 comes from cpy_subst *)
  85 theorem cpy_trans_ge: ∀G,L,T1,T0,d,e. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T0 →
  86                       ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶×[d, 1] T2 → 1 ≤ e → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d, e] T2.
  87 #G #L #T1 #T0 #d #e #H elim H -G -L -T1 -T0 -d -e
  88 [ #I #G #L #d #e #T2 #H #He
  89   elim (cpy_inv_atom1 … H) -H
  90   [ #H destruct //
  91   | * #J #K #V #i #Hd2i #Hide2 #HLK #HVT2 #H destruct
  92     lapply (lt_to_le_to_lt … (d+e) Hide2 ?) /2 width=5 by cpy_subst, monotonic_lt_plus_r/
  93   ]
  94 | #I #G #L #K #V #V2 #i #d #e #Hdi #Hide #HLK #HVW #T2 #HVT2 #He
  95   lapply (cpy_weak … HVT2 0 (i +1) ? ?) -HVT2 /2 width=1 by le_S_S/ #HVT2
  96   <(cpy_inv_lift1_eq … HVT2 … HVW) -HVT2 /2 width=5 by cpy_subst/
  97 | #a #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #d #e #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #H #He
  98   elim (cpy_inv_bind1 … H) -H #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  99   lapply (lsuby_cpy_trans … HT02 (L.ⓑ{I}V0) ?) -HT02 /2 width=1 by lsuby_succ/ #HT02
 100   lapply (IHT10 … HT02 He) -T0 #HT12
 101   lapply (lsuby_cpy_trans … HT12 (L.ⓑ{I}V2) ?) -HT12 /3 width=1 by cpy_bind, lsuby_succ/
 102 | #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #d #e #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #H #He
 103   elim (cpy_inv_flat1 … H) -H #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct /3 width=1 by cpy_flat/
 104 ]
 105 qed-.
 106
 107 theorem cpy_trans_down: ∀G,L,T1,T0,d1,e1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d1, e1] T0 →
 108                         ∀T2,d2,e2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶×[d2, e2] T2 → d2 + e2 ≤ d1 →
 109                         ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶×[d2, e2] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶×[d1, e1] T2.
 110 #G #L #T1 #T0 #d1 #e1 #H elim H -G -L -T1 -T0 -d1 -e1
 111 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 112 | #I #G #L #K #V #W #i1 #d1 #e1 #Hdi1 #Hide1 #HLK #HVW #T2 #d2 #e2 #HWT2 #Hde2d1
 113   lapply (transitive_le … Hde2d1 Hdi1) -Hde2d1 #Hde2i1
 114   lapply (cpy_weak … HWT2 0 (i1 + 1) ? ?) -HWT2 normalize /2 width=1 by le_S/ -Hde2i1 #HWT2
 115   <(cpy_inv_lift1_eq … HWT2 … HVW) -HWT2 /3 width=9 by cpy_subst, ex2_intro/
 116 | #a #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #d1 #e1 #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #d2 #e2 #HX #de2d1
 117   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
 118   lapply (lsuby_cpy_trans … HT02 (L. ⓑ{I} V0) ?) -HT02 /2 width=1 by lsuby_succ/ #HT02
 119   elim (IHV10 … HV02 ?) -IHV10 -HV02 // #V
 120   elim (IHT10 … HT02 ?) -T0 /2 width=1 by le_S_S/ #T #HT1 #HT2
 121   lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L. ⓑ{I} V) ?) -HT1 /2 width=1 by lsuby_succ/
 122   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L. ⓑ{I} V2) ?) -HT2 /3 width=6 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
 123 | #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #d1 #e1 #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #d2 #e2 #HX #de2d1
 124   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
 125   elim (IHV10 … HV02) -V0 //
 126   elim (IHT10 … HT02) -T0 /3 width=6 by cpy_flat, ex2_intro/
 127 ]
 128 qed-.