1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basic_2/notation/relations/lazyeq_4.ma".
16 include "basic_2/relocation/ldrop.ma".
18 (* LAZY EQUIVALENCE FOR LOCAL ENVIRONMENTS **********************************)
20 inductive lleq: nat → term → relation lenv ≝
21 | lleq_sort: ∀L1,L2,d,k. |L1| = |L2| → lleq d (⋆k) L1 L2
22 | lleq_skip: ∀I1,I2,L1,L2,K1,K2,V1,V2,d,i. i < d →
23 ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
24 lleq (d-i-1) V1 K1 K2 → lleq (d-i-1) V2 K1 K2 → lleq d (#i) L1 L2
25 | lleq_lref: ∀I,L1,L2,K1,K2,V,d,i. d ≤ i →
26 ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V → ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V →
27 lleq 0 V K1 K2 → lleq d (#i) L1 L2
28 | lleq_free: ∀L1,L2,d,i. |L1| ≤ i → |L2| ≤ i → |L1| = |L2| → lleq d (#i) L1 L2
29 | lleq_gref: ∀L1,L2,d,p. |L1| = |L2| → lleq d (§p) L1 L2
30 | lleq_bind: ∀a,I,L1,L2,V,T,d.
31 lleq d V L1 L2 → lleq (d+1) T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) →
32 lleq d (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2
33 | lleq_flat: ∀I,L1,L2,V,T,d.
34 lleq d V L1 L2 → lleq d T L1 L2 → lleq d (ⓕ{I}V.T) L1 L2
38 "lazy equivalence (local environment)"
39 'LazyEq d T L1 L2 = (lleq d T L1 L2).
41 (* Basic_properties *********************************************************)
43 lemma lleq_sym: ∀d,T. symmetric … (lleq d T).
44 #d #T #L1 #L2 #H elim H -d -T -L1 -L2
45 /2 width=10 by lleq_sort, lleq_skip, lleq_lref, lleq_free, lleq_gref, lleq_bind, lleq_flat/
48 (* Note this is: "∀d,T. reflexive … (lleq d T)" *)
49 axiom lleq_refl: ∀T,L,d. L ⋕[d, T] L.
51 #T #L @(f2_ind … rfw … L T) -L -T
52 #n #IH #L * * /3 width=1 by lleq_sort, lleq_gref, lleq_bind, lleq_flat/
53 #i #H elim (lt_or_ge i (|L|)) /2 width=1 by lleq_free/
54 #HiL #d elim (lt_or_ge i d) /2 width=1 by lleq_skip/
55 elim (ldrop_O1_lt … HiL) -HiL destruct /4 width=7 by lleq_lref, ldrop_fwd_rfw/
59 lemma lleq_ge: ∀L1,L2,T,d1. L1 ⋕[d1, T] L2 → ∀d2. d1 ≤ d2 → L1 ⋕[d2, T] L2.
60 #L1 #L2 #T #d1 #H elim H -L1 -L2 -T -d1
61 /4 width=1 by lleq_sort, lleq_free, lleq_gref, lleq_bind, lleq_flat, le_S_S/
62 [ /5 width=10 by lleq_skip, lt_to_le_to_lt, monotonic_le_minus_l, monotonic_pred/ (**) (* a bit slow *)
63 | #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V #d1 #i #Hi #HLK1 #HLK2 #HV #IHV #d2 #Hd12 elim (lt_or_ge i d2)
64 [ -d1 /3 width=10 by lleq_skip/
65 | /3 width=7 by lleq_lref, transitive_le/
70 lemma lleq_bind_O: ∀a,I,L1,L2,V,T. L1 ⋕[0, V] L2 → L1.ⓑ{I}V ⋕[0, T] L2.ⓑ{I}V →
71 L1 ⋕[0, ⓑ{a,I}V.T] L2.
72 /3 width=3 by lleq_ge, lleq_bind/ qed.
74 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
76 fact lleq_inv_lref_aux: ∀d,X,L1,L2. L1 ⋕[d, X] L2 → ∀i. X = #i →
77 ∨∨ |L1| ≤ i ∧ |L2| ≤ i
78 | ∃∃I1,I2,K1,K2,V1,V2. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 &
79 ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 &
83 | ∃∃I,K1,K2,V. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V &
84 ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V &
85 K1 ⋕[0, V] K2 & d ≤ i.
86 #d #X #L1 #L2 * -d -X -L1 -L2
87 [ #L1 #L2 #d #k #_ #j #H destruct
88 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K1 #K2 #V1 #V2 #d #i #Hid #HLK1 #HLK2 #HV1 #HV2 #j #H destruct /3 width=10 by or3_intro1, ex5_6_intro/
89 | #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V #d #i #Hdi #HLK1 #HLK2 #HK12 #j #H destruct /3 width=7 by or3_intro2, ex4_4_intro/
90 | #L1 #L2 #d #i #HL1 #HL2 #_ #j #H destruct /3 width=1 by or3_intro0, conj/
91 | #L1 #L2 #d #p #_ #j #H destruct
92 | #a #I #L1 #L2 #V #T #d #_ #_ #j #H destruct
93 | #I #L1 #L2 #V #T #d #_ #_ #j #H destruct
97 lemma lleq_inv_lref: ∀L1,L2,d,i. L1 ⋕[d, #i] L2 →
98 ∨∨ |L1| ≤ i ∧ |L2| ≤ i
99 | ∃∃I1,I2,K1,K2,V1,V2. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 &
100 ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 &
104 | ∃∃I,K1,K2,V. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V &
105 ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V &
106 K1 ⋕[0, V] K2 & d ≤ i.
107 /2 width=3 by lleq_inv_lref_aux/ qed-.
109 fact lleq_inv_bind_aux: ∀d,X,L1,L2. L1 ⋕[d,X] L2 → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
110 L1 ⋕[d, V] L2 ∧ L1.ⓑ{I}V ⋕[d+1, T] L2.ⓑ{I}V.
111 #d #X #L1 #L2 * -d -X -L1 -L2
112 [ #L1 #L2 #d #k #_ #b #J #W #U #H destruct
113 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K1 #K2 #V1 #V2 #d #i #_ #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U #H destruct
114 | #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V #d #i #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U #H destruct
115 | #L1 #L2 #d #i #_ #_ #_ #b #J #W #U #H destruct
116 | #L1 #L2 #d #p #_ #b #J #W #U #H destruct
117 | #a #I #L1 #L2 #V #T #d #HV #HT #b #J #W #U #H destruct /2 width=1 by conj/
118 | #I #L1 #L2 #V #T #d #_ #_ #b #J #W #U #H destruct
122 lemma lleq_inv_bind: ∀a,I,L1,L2,V,T,d. L1 ⋕[d, ⓑ{a,I}V.T] L2 →
123 L1 ⋕[d, V] L2 ∧ L1.ⓑ{I}V ⋕[d+1, T] L2.ⓑ{I}V.
124 /2 width=4 by lleq_inv_bind_aux/ qed-.
126 fact lleq_inv_flat_aux: ∀d,X,L1,L2. L1 ⋕[d, X] L2 → ∀I,V,T. X = ⓕ{I}V.T →
127 L1 ⋕[d, V] L2 ∧ L1 ⋕[d, T] L2.
128 #d #X #L1 #L2 * -d -X -L1 -L2
129 [ #L1 #L2 #d #k #_ #J #W #U #H destruct
130 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K1 #K2 #V1 #V2 #d #i #_ #_ #_ #_ #_ #J #W #U #H destruct
131 | #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V #d #i #_ #_ #_ #_ #J #W #U #H destruct
132 | #L1 #L2 #d #i #_ #_ #_ #J #W #U #H destruct
133 | #L1 #L2 #d #p #_ #J #W #U #H destruct
134 | #a #I #L1 #L2 #V #T #d #_ #_ #J #W #U #H destruct
135 | #I #L1 #L2 #V #T #d #HV #HT #J #W #U #H destruct /2 width=1 by conj/
139 lemma lleq_inv_flat: ∀I,L1,L2,V,T,d. L1 ⋕[d, ⓕ{I}V.T] L2 →
140 L1 ⋕[d, V] L2 ∧ L1 ⋕[d, T] L2.
141 /2 width=4 by lleq_inv_flat_aux/ qed-.
143 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
145 lemma lleq_fwd_length: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[d, T] L2 → |L1| = |L2|.
146 #L1 #L2 #T #d #H elim H -L1 -L2 -T -d //
147 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #K1 #K2 #V1 #V2 #d #i #_ #HLK1 #HLK2 #_ #_ #HK12 #_
148 | #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V #d #i #_ #HLK1 #HLK2 #_ #IHK12
150 lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1
151 lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2
155 lemma lleq_fwd_ldrop_sn: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[d, T] L2 → ∀K1,i. ⇩[0, i] L1 ≡ K1 →
156 ∃K2. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.
157 #L1 #L2 #T #d #H #K1 #i #HLK1 lapply (lleq_fwd_length … H) -H
158 #HL12 lapply (ldrop_fwd_length_le2 … HLK1) -HLK1 /2 width=1 by ldrop_O1_le/
161 lemma lleq_fwd_ldrop_dx: ∀L1,L2,T,d. L1 ⋕[d, T] L2 → ∀K2,i. ⇩[0, i] L2 ≡ K2 →
162 ∃K1. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.
163 /3 width=6 by lleq_fwd_ldrop_sn, lleq_sym/ qed-.