matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/relocation/lleq_lleq.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2/relocation/ldrop_ldrop.ma".
  16 include "basic_2/relocation/lleq.ma".
  17
  18 (* LAZY EQUIVALENCE FOR LOCAL ENVIRONMENTS **********************************)
  19
  20 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  21
  22 lemma lleq_inv_lref_dx: ∀L1,L2,d,i. L1 ⋕[d, #i] L2 →
  23                         ∀I,K2,V. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V →
  24                         (∃∃K1. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V & K1 ⋕[0, V] K2 & d ≤ i) ∨
  25                         ∃∃I1,K1,V1. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 &
  26                                     K1 ⋕[d-i-1, V1] K2 & K1 ⋕[d-i-1, V] K2 &
  27                                     i < d.
  28 #L1 #L2 #d #i #H #I #K2 #V #HLK2 elim (lleq_inv_lref … H) -H *
  29 [ #_ #H elim (lt_refl_false i)
  30   lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HLK2) -HLK2
  31   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  32 | #I1 #I2 #K11 #K22 #V1 #V2 #HLK11 #HLK22 #HV1 #HV2 #Hdi lapply (ldrop_mono … HLK22 … HLK2) -L2
  33   #H destruct /3 width=6 by ex4_3_intro, or_intror/
  34 | #I0 #K1 #K0 #V0 #HLK1 #HLK0 #HK10 #Hdi lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK2) -L2
  35   #H destruct /3 width=3 by ex3_intro, or_introl/
  36 ]
  37 qed-.
  38
  39 lemma lleq_inv_lref_sn: ∀L1,L2,d,i. L1 ⋕[d, #i] L2 →
  40                         ∀I,K1,V. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V →
  41                         (∃∃K2. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V & K1 ⋕[0, V] K2 & d ≤ i) ∨
  42                         ∃∃I2,K2,V2. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 &
  43                                     K1 ⋕[d-i-1, V] K2 & K1 ⋕[d-i-1, V2] K2 &
  44                                     i < d.
  45 #L1 #L2 #d #i #HL12 #I #K1 #V #HLK1 elim (lleq_inv_lref_dx L2 … d … HLK1) -HLK1
  46 [1,2: * ] /4 width=6 by lleq_sym, ex4_3_intro, ex3_intro, or_introl, or_intror/
  47 qed-.
  48
  49 lemma lleq_inv_lref_ge_dx: ∀L1,L2,d,i. L1 ⋕[d, #i] L2 → d ≤ i →
  50                            ∀I,K2,V. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V →
  51                            ∃∃K1. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V & K1 ⋕[0, V] K2.
  52 #L1 #L2 #d #i #H #Hdi #I #K2 #V #HLK2 elim (lleq_inv_lref … H) -H *
  53 [ #_ #H elim (lt_refl_false i)
  54   lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HLK2) -HLK2
  55   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  56 | -HLK2 #I1 #I2 #K11 #K22 #V1 #V2 #_ #_ #_ #_ #H elim (lt_refl_false i)
  57   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/
  58 | #I0 #K1 #K0 #V0 #HLK1 #HLK0 #HK10 #_ lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK2) -L2
  59   #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
  60 ]
  61 qed-.
  62
  63 lemma lleq_inv_lref_ge_sn: ∀L1,L2,d,i. L1 ⋕[d, #i] L2 → d ≤ i →
  64                            ∀I,K1,V. ⇩[0, i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V →
  65                            ∃∃K2. ⇩[0, i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V & K1 ⋕[0, V] K2.
  66 #L1 #L2 #d #i #HL12 #Hdi #I #K1 #V #HLK1 elim (lleq_inv_lref_ge_dx L2 … Hdi … HLK1) -Hdi -HLK1
  67 /3 width=3 by lleq_sym, ex2_intro/
  68 qed-.
  69
  70 fact lleq_inv_S_aux: ∀L1,L2,T,d0. L1 ⋕[d0, T] L2 → ∀d. d0 = d + 1 →
  71                      ∀K1,K2,I,V. ⇩[0, d] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V → ⇩[0, d] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V →
  72                      L1 ⋕[d, T] L2.
  73 #L1 #L2 #T #d0 #H elim H -L1 -L2 -T -d0
  74 /2 width=1 by lleq_sort, lleq_free, lleq_gref/
  75 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #K11 #K22 #V1 #V2 #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HV1 #_ #IHV1 #IHV2 #d #H #K1 #K2 #J #W #HLK1 #HLK2 destruct
  76   elim (le_to_or_lt_eq i d) /2 width=1 by lleq_skip, monotonic_pred/ -Hid0
  77   [ -HV1 #Hid
  78     lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK11) #H1
  79     lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK22) #H2
  80     lapply (ldrop_conf_ge … H1 … HLK1 ?) // -H1 -HLK1
  81     lapply (ldrop_conf_ge … H2 … HLK2 ?) // -H2 -HLK2
  82     <minus_plus /4 width=10 by lleq_skip, arith_i/
  83   | -IHV1 -IHV2 #H destruct
  84     lapply (ldrop_mono … HLK11 … HLK1) -HLK11 #H destruct
  85     lapply (ldrop_mono … HLK22 … HLK2) -HLK22 #H destruct
  86     /2 width=7 by lleq_lref/
  87   ]
  88 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #V #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HV #_ #d #H #K1 #K2 #J #W #HLK1 #HLK2 destruct
  89   /3 width=7 by lleq_lref, lt_to_le/
  90 | #a #I #L1 #L2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #d #H #K1 #K2 #J #W #HLK1 #HLK2 destruct
  91   /4 width=6 by lleq_bind, ldrop_ldrop/
  92 | #I #L1 #L2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #d #H #K1 #K2 #J #W #HLK1 #HLK2 destruct
  93   /3 width=6 by lleq_flat/
  94 ]
  95 qed-.
  96
  97 lemma lleq_inv_S: ∀T,L1,L2,d. L1 ⋕[d+1, T] L2 →
  98                   ∀K1,K2,I,V. ⇩[0, d] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V → ⇩[0, d] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V →
  99                   L1 ⋕[d, T] L2.
 100 /2 width=6 by lleq_inv_S_aux/ qed-.
 101
 102 lemma lleq_inv_bind_O: ∀a,I,L1,L2,V,T. L1 ⋕[0, ⓑ{a,I}V.T] L2 →
 103                        L1 ⋕[0, V] L2 ∧ L1.ⓑ{I}V ⋕[0, T] L2.ⓑ{I}V.
 104 #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (lleq_inv_bind … H) -H
 105 /3 width=6 by ldrop_pair, conj, lleq_inv_S/
 106 qed-.
 107
 108 lemma lleq_inv_lift_le: ∀L1,L2,U,d0. L1 ⋕[d0, U] L2 →
 109                         ∀K1,K2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 110                         ∀T. ⇧[d, e] T ≡ U → d0 ≤ d → K1 ⋕[d0, T] K2.
 111 #L1 #L2 #U #d0 #H elim H -L1 -L2 -U -d0
 112 [ #L1 #L2 #d0 #k #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 113   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d -e
 114   /2 width=1 by lleq_sort/
 115 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW1 #HW2 #IHW1 #IHW2 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 116   * #Hid #H destruct [ -HW1 -HW2 | -IHW1 -IHW2 ]
 117   [ elim (ldrop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1
 118     elim (ldrop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -Hid -L2
 119     #L2 #V2 #HKL2 #HKL22 #HVW2 #L1 #V1 #HKL1 #HKL11 #HVW1
 120     @(lleq_skip … HKL1 HKL2) -HKL1 -HKL2 /3 width=6 by monotonic_le_minus_l2/ (**) (* full auto fails *)
 121   | lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 122     lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -Hid -L2
 123     #HK22 #HK11 @(lleq_skip … HK11 HK22) -HK11 -HK22
 124     /2 width=3 by lleq_ge, le_to_lt_to_lt/ (**) (* full auto fails *)
 125   ]
 126 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW #IHW #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 127   * #Hid #H destruct [ -HW | -IHW ]
 128   [ elim (ldrop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1 #L1 #V #HKL1 #KL11 #HVW
 129     elim (ldrop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -Hid -L2 #L2 #V0 #HKL2 #KL22 #HV0
 130     lapply (lift_inj … HV0 … HVW) -HV0 #H destruct /3 width=12 by lleq_lref/
 131   | lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 132     lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hid0
 133     elim (le_inv_plus_l … Hid) -Hid /3 width=7 by lleq_lref, transitive_le/
 134   ]
 135 | #L1 #L2 #d0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 136   * #_ #H destruct
 137   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 138   [ lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 139     lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 140     #HKL2 #HKL1 #HK12 @lleq_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 141   | lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 142     lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 143     /3 width=1 by lleq_free, le_plus_to_minus_r/
 144   ]
 145 | #L1 #L2 #d0 #p #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 146   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d -e
 147   /2 width=1 by lleq_gref/
 148 | #a #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 149   #V #T #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by lleq_bind, ldrop_skip, le_S_S/
 150 | #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 151   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by lleq_flat/
 152 ]
 153 qed-.
 154
 155 lemma lleq_inv_lift_ge: ∀L1,L2,U,d0. L1 ⋕[d0, U] L2 →
 156                         ∀K1,K2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 157                         ∀T. ⇧[d, e] T ≡ U → d+e ≤ d0 → K1 ⋕[d0-e, T] K2.
 158 #L1 #L2 #U #d0 #H elim H -L1 -L2 -U -d0
 159 [ #L1 #L2 #d0 #k #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 160   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d
 161   /2 width=1 by lleq_sort/
 162 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW1 #HW2 #IHW1 #IHW2 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hded0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 163   * #Hid #H destruct [ -HW1 -HW2 | -IHW1 -IHW2 ]
 164   [ elim (ldrop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1
 165     elim (ldrop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -L2
 166     elim (le_inv_plus_l … Hded0) #Hdd0e #_
 167     #L2 #V2 #HKL2 #HKL22 #HVW2 #L1 #V1 #HKL1 #HKL11 #HVW1
 168     @(lleq_skip … HKL1 HKL2) -HKL1 -HKL2 [ /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ ] (**) (* explicit constructor *)
 169     >minus_minus_comm3 /3 width=6 by arith_k_sn/ (**) (* slow *)
 170   | lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 171     lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hded0
 172     elim (le_inv_plus_l … Hid) -Hid #_ #Hei
 173     #HK22 #HK11 @(lleq_skip … HK11 HK22) -HK11 -HK22 (**) (* explicit constructor *)
 174     [ /2 width=1 by monotonic_lt_minus_l/ ] >arith_b1 //
 175   ]
 176 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW #_ #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hded0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 177   * #Hid #H destruct
 178   [ -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W elim (le_plus_xySz_x_false e 0 d)
 179     /3 width=3 by transitive_le, le_to_lt_to_lt/
 180   | lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 181     lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hded0
 182     /3 width=7 by lleq_lref, monotonic_le_minus_l/
 183   ]
 184 | #L1 #L2 #d0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hded0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 185   * #_ #H destruct
 186   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 187   [ lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 188     lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 189     #HKL2 #HKL1 #HK12 @lleq_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 190   | lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 191     lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 192     /3 width=1 by lleq_free, le_plus_to_minus_r/
 193   ]
 194 | #L1 #L2 #d0 #p #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 195   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d
 196   /2 width=1 by lleq_gref/
 197 | #a #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hded0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 198   #V #T #HVW #HTU #H destruct
 199   elim (le_inv_plus_l … Hded0) #_ #Hed0
 200   @lleq_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW (**) (* explicit constructor *)
 201   >plus_minus /3 width=5 by ldrop_skip, le_minus_to_plus/
 202 | #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hded0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 203   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by lleq_flat/
 204 ]
 205 qed-.
 206
 207 lemma lleq_inv_lift_be: ∀L1,L2,U,d0. L1 ⋕[d0, U] L2 →
 208                         ∀K1,K2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 209                         ∀T. ⇧[d, e] T ≡ U → d ≤ d0 → d0 ≤ d + e → K1 ⋕[d, T] K2.
 210 #L1 #L2 #U #d0 #H elim H -L1 -L2 -U -d0
 211 [ #L1 #L2 #d0 #k #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 212   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d0 -e
 213   /2 width=1 by lleq_sort/
 214 | #I1 #I2 #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #_ #_ #IHW1 #IHW2 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 215   * #Hid #H destruct
 216   [ elim (ldrop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1
 217     elim (ldrop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -L2 -Hid0
 218     #L2 #V2 #HKL2 #HKL22 #HVW2 #L1 #V1 #HKL1 #HKL11 #HVW1
 219     @(lleq_skip … HKL1 HKL2) -HKL1 -HKL2 //
 220     /3 width=6 by arith_k_dx, monotonic_le_minus_l2/ (**) (* full auto fails *)
 221   | -I1 -I2 -L1 -L2 -K11 -K22 -W1 -W2 -Hd0 elim (lt_refl_false i)
 222     /3 width=3 by lt_to_le_to_lt, transitive_le/ (**) (* slow *)
 223   ]
 224 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW #_ #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 225   * #Hid #H destruct
 226   [ -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W -Hde elim (lt_refl_false i)
 227     /3 width=3 by lt_to_le_to_lt, transitive_le/ (**) (* slow *)
 228   | lapply (ldrop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 229     lapply (ldrop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hid0 -Hd0 -Hde
 230     elim (le_inv_plus_l … Hid) -Hid /2 width=7 by lleq_lref/
 231   ]
 232 | #L1 #L2 #d0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 233   * #_ #H destruct
 234   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 235   [ lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 236     lapply (ldrop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 237     #HKL2 #HKL1 #HK12 @lleq_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 238   | lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 239     lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 240     /3 width=1 by lleq_free, le_plus_to_minus_r/
 241   ]
 242 | #L1 #L2 #d0 #p #HL12 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 243   lapply (ldrop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -d0 -e
 244   /2 width=1 by lleq_gref/
 245 | #a #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 246   #V #T #HVW #HTU #H destruct
 247   @lleq_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW
 248   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=1 by ldrop_skip, le_S_S/ (**) (* full auto too slow *)
 249 | #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 250   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by lleq_flat/
 251 ]
 252 qed-.
 253
 254 (* Advanced properties ******************************************************)
 255
 256 lemma lleq_lift_le: ∀K1,K2,T,d0. K1 ⋕[d0, T] K2 →
 257                     ∀L1,L2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 258                     ∀U. ⇧[d, e] T ≡ U → d0 ≤ d → L1 ⋕[d0, U] L2.
 259 #K1 #K2 #T #d0 #H elim H -K1 -K2 -T -d0
 260 [ #K1 #K2 #d0 #k #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 261   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -d
 262   /2 width=1 by lleq_sort/
 263 | #I1 #I2 #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #d0 #i #Hid0 #HK11 #HK22 #_ #_ #IHV1 #IHV2 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 264   * #Hdi #H destruct
 265   [ elim (ldrop_trans_lt … HLK1 … HK11) // -K1
 266     elim (ldrop_trans_lt … HLK2 … HK22) // -K2
 267     #K2 #W2 #HLK2 #HK22 #HVW2 #K1 #W1 #HLK1 #HK11 #HVW1 -Hdi
 268     @(lleq_skip … HLK1 HLK2) // /3 width=6 by monotonic_le_minus_l2/ (**) (* full auto fails *)
 269   | elim (lt_refl_false i) -I1 -I2 -L1 -L2 -K1 -K2 -K11 -K22 -V1 -V2 -e
 270     /3 width=3 by lt_to_le_to_lt, transitive_le/ (**) (* slow *)
 271   ]
 272 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V #d0 #i #Hid0 #HK11 #HK22 #HV #IHV #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 273   * #Hdi #H destruct [ -HV | -IHV ]
 274   [ elim (ldrop_trans_lt … HLK1 … HK11) // -K1 #K1 #W #HLK1 #HK11 #HVW
 275     elim (ldrop_trans_lt … HLK2 … HK22) // -Hdi -K2 #K2 #W2 #HLK2 #HK22 #HVW2
 276     lapply (lift_mono … HVW2 … HVW) -HVW2 #H destruct /3 width=12 by lleq_lref/
 277   | lapply (ldrop_trans_ge … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 278     lapply (ldrop_trans_ge … HLK2 … HK22 ?) // -Hdi -K2
 279     /3 width=7 by lleq_lref, transitive_le/
 280   ]
 281 | #K1 #K2 #d0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 282   * #Hid #H destruct
 283   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 284   [ /3 width=6 by lleq_free, ldrop_fwd_be/
 285   | lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 286     lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 287     @lleq_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hid -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 288   ]
 289 | #K1 #K2 #d0 #p #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 290   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -d -e
 291   /2 width=1 by lleq_gref/
 292 | #a #I #K1 #K2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 293   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by lleq_bind, ldrop_skip, le_S_S/
 294 | #I #K1 #K2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 295   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by lleq_flat/
 296 ]
 297 qed-.
 298
 299 lemma lleq_lift_ge: ∀K1,K2,T,d0. K1 ⋕[d0, T] K2 →
 300                     ∀L1,L2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 301                     ∀U. ⇧[d, e] T ≡ U → d ≤ d0 → L1 ⋕[d0+e, U] L2.
 302 #K1 #K2 #T #d0 #H elim H -K1 -K2 -T -d0
 303 [ #K1 #K2 #d0 #k #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 304   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -d
 305   /2 width=1 by lleq_sort/
 306 | #I1 #I2 #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #d0 #i #hid0 #HK11 #HK22 #HV1 #HV2 #IHV1 #IHV2 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 307   * #Hdi #H destruct [ -HV1 -HV2 | -IHV1 -IHV2 ]
 308   [ elim (ldrop_trans_lt … HLK1 … HK11) // -K1 #K1 #W1 #HLK1 #HK11 #HVW1
 309     elim (ldrop_trans_lt … HLK2 … HK22) // -K2 #K2 #W2 #HLK2 #HK22 #HVW2
 310     @(lleq_skip … HLK1 HLK2) -HLK1 -HLK2 (**) (* explicit constructor *)
 311     [ /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ ]
 312     >arith_i /3 width=5 by monotonic_le_minus_l2/
 313   | lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 314     lapply (ldrop_trans_ge_comm … HLK2 … HK22 ?) // -K2
 315     /4 width=10 by lleq_skip, monotonic_lt_plus_l/
 316   ]
 317 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V #d0 #i #Hid0 #HK11 #HK22 #HV #_ #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 318   * #Hid #H destruct
 319   [ elim (lt_refl_false i) -I -L1 -L2 -K1 -K2 -K11 -K22 -V -e
 320     /3 width=3 by lt_to_le_to_lt, transitive_le/ (**) (* slow *)
 321   | lapply (ldrop_trans_ge … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 322     lapply (ldrop_trans_ge … HLK2 … HK22 ?) // -Hid -K2
 323     /3 width=7 by lleq_lref, monotonic_le_plus_l/
 324   ]
 325 | #K1 #K2 #d0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 326   * #Hid #H destruct
 327   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 328   [ /3 width=6 by lleq_free, ldrop_fwd_be/
 329   | lapply (ldrop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 330     lapply (ldrop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 331     @lleq_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hid -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 332   ]
 333 | #K1 #K2 #d0 #p #HK12 #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 334   lapply (ldrop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -d
 335   /2 width=1 by lleq_gref/
 336 | #a #I #K1 #K2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 337   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=5 by lleq_bind, ldrop_skip, le_minus_to_plus/
 338 | #I #K1 #K2 #V #T #d0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 339   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by lleq_flat/
 340 ]
 341 qed-.
 342
 343 lemma lleq_be: ∀L1,L2,U,d0. L1 ⋕[d0, U] L2 →
 344                ∀K1,K2,d,e. ⇩[d, e] L1 ≡ K1 → ⇩[d, e] L2 ≡ K2 →
 345                ∀T. ⇧[d, e] T ≡ U → d ≤ d0 → d0 ≤ d + e → L1 ⋕[d, U] L2.
 346 #L1 #L2 #U #d0 #H elim H -L1 -L2 -U -d0
 347 /2 width=1 by lleq_sort, lleq_free, lleq_gref/
 348 [ #I1 #I2 #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #_ #_ #IHW1 #IHW2 #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hd0de elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 349   * #Hid #H destruct [ -Hid0 | -Hd0 ]
 350   [ elim (ldrop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -HLK1
 351     elim (ldrop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -HLK2
 352     #L2 #V2 #_ #HKL22 #HVW2 #L1 #V1 #_ #HKL21 #HVW1
 353     @(lleq_skip … HLK11 HLK22) -HLK11 -HLK22 //
 354     /3 width=8 by arith_k_dx, monotonic_le_minus_l2/ (**) (* full auto fails *)
 355   | -I1 -I2 -K11 -K22 -K1 -K2 -W1 -W2 elim (lt_refl_false … i) -L1 -L2
 356     @(lt_to_le_to_lt … Hid0) -Hid0 /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 357   ]
 358 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W #d0 #i #Hid0 #HLK11 #HLK22 #HW #_ #K1 #K2 #d #e #_ #_ #X #H #Hd0 #_ elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 359   * #Hid #H destruct
 360   [ -I -K1 -K2 -K11 -K22 -W elim (lt_refl_false i)
 361     @(lt_to_le_to_lt … Hid) -Hid /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 362   | -d0 /3 width=7 by lleq_lref, le_plus_b/
 363   ]
 364 | #a #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 365   #V #T #HVW #HTU #H destruct
 366   @lleq_bind [ /2 width=8 by/ ] -IHW
 367   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=2 by ldrop_skip, le_S_S/ (**) (* full auto too slow *)
 368 | #I #L1 #L2 #W #U #d0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #d #e #HLK1 #HLK2 #X #H #Hd0 #Hde elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 369   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=8 by lleq_flat/
 370 ]
 371 qed-.
 372
 373 axiom- lleq_dec: ∀T,L1,L2,d. Decidable (L1 ⋕[d, T] L2).
 374 (*
 375 #T #L1 @(f2_ind … rfw … L1 T) -L1 -T
 376 #n #IH #L1 * *
 377 [ #k #Hn #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, lleq_sort/
 378 | #i #H1 #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|))
 379   [ #HL12 #d elim (lt_or_ge i d) /3 width=1 by lleq_skip, or_introl/
 380     #Hdi elim (lt_or_ge i (|L1|))
 381     #HiL1 elim (lt_or_ge i (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, lleq_free/
 382     #HiL2 elim (ldrop_O1_lt … HiL2)
 383     #I2 #K2 #V2 #HLK2 elim (ldrop_O1_lt … HiL1)
 384     #I1 #K1 #V1 #HLK1 elim (eq_bind2_dec I2 I1)
 385     [ #H2 elim (eq_term_dec V2 V1)
 386       [ #H3 elim (IH K1 V1 … K2 0) destruct
 387         /3 width=7 by lleq_lref, ldrop_fwd_rfw, or_introl/
 388       ]
 389     ]
 390     -IH #H3 @or_intror
 391     #H elim (lleq_inv_lref … H) -H [1,3,4,6,7,9: * ]
 392     [1,3,5,7,8,9: /3 width=4 by lt_to_le_to_lt, lt_refl_false/ ]
 393     #I0 #X1 #X2 #V0 #HLX1 #HLX2 #HX12
 394     lapply (ldrop_mono … HLX1 … HLK1) -HLX1 -HLK1
 395     lapply (ldrop_mono … HLX2 … HLK2) -HLX2 -HLK2
 396     #H #H0 destruct /2 width=1 by/
 397   ]
 398 | #p #Hn #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, lleq_gref/
 399 | #a #I #V #T #Hn #L2 #d destruct
 400   elim (IH L1 V … L2 d) /2 width=1 by/
 401   elim (IH (L1.ⓑ{I}V) T … (L2.ⓑ{I}V) (d+1)) -IH /3 width=1 by or_introl, lleq_bind/
 402   #H1 #H2 @or_intror
 403   #H elim (lleq_inv_bind … H) -H /2 width=1 by/
 404 | #I #V #T #Hn #L2 #d destruct
 405   elim (IH L1 V … L2 d) /2 width=1 by/
 406   elim (IH L1 T … L2 d) -IH /3 width=1 by or_introl, lleq_flat/
 407   #H1 #H2 @or_intror
 408   #H elim (lleq_inv_flat … H) -H /2 width=1 by/
 409 ]
 410 -n /4 width=3 by lleq_fwd_length, or_intror/
 411 qed-.
 412 *)
 413 (* Main properties **********************************************************)
 414
 415 axiom- lleq_trans: ∀d,T. Transitive … (lleq d T).
 416 (*
 417 #d #T #L1 #L #H elim H -d -T -L1 -L
 418 /4 width=5 by lleq_fwd_length, lleq_gref, lleq_sort, trans_eq/
 419 [ #L1 #L #d #i #Hid #HL1 #L2 #H lapply (lleq_fwd_length … H)
 420   #HL2 elim (lleq_inv_lref … H) -H /2 width=1 by lleq_skip/
 421 | #I #L1 #L #K1 #K #V #d #i #Hdi #HLK1 #HLK #_ #IHK1 #L2 #H elim (lleq_inv_lref … H) -H
 422   [ -HLK1 -IHK1 * #HLi #_ elim (lt_refl_false i)
 423     /3 width=5 by ldrop_fwd_length_lt2, lt_to_le_to_lt/ (**) (* slow *)
 424   | -K1 -K #Hid elim (lt_refl_false i) /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/
 425   | * #I0 #K0 #K2 #V0 #HLK0 #HLK2 #HK12 lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK) -L
 426     #H destruct /3 width=7 by lleq_lref/
 427   ]
 428 | #L1 #L #d #i #HL1i #HLi #HL #L2 #H lapply (lleq_fwd_length … H)
 429   #HL2 elim (lleq_inv_lref … H) -H /2 width=1 by lleq_free/
 430 | #a #I #L1 #L #V #T #d #_ #_ #IHV #IHT #L2 #H elim (lleq_inv_bind … H) -H
 431   /3 width=1 by lleq_bind/
 432 | #I #L1 #L #V #T #d #_ #_ #IHV #IHT #L2 #H elim (lleq_inv_flat … H) -H
 433   /3 width=1 by lleq_flat/
 434 ]
 435 qed-.
 436 *)
 437 theorem lleq_canc_sn: ∀L,L1,L2,T,d. L ⋕[d, T] L1→ L ⋕[d, T] L2 → L1 ⋕[d, T] L2.
 438 /3 width=3 by lleq_trans, lleq_sym/ qed-.
 439
 440 theorem lleq_canc_dx: ∀L1,L2,L,T,d. L1 ⋕[d, T] L → L2 ⋕[d, T] L → L1 ⋕[d, T] L2.
 441 /3 width=3 by lleq_trans, lleq_sym/ qed-.