]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2/rt_transition/cpm.ma
30b04dc62ec806a05fc82213a5c9b48279b4ecda
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / basic_2 / rt_transition / cpm.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground/xoa/ex_4_1.ma".
16 include "ground/xoa/ex_4_3.ma".
17 include "ground/xoa/ex_5_6.ma".
18 include "ground/xoa/ex_6_7.ma".
19 include "ground/steps/rtc_max_shift.ma".
20 include "ground/steps/rtc_isrt_plus.ma".
21 include "ground/steps/rtc_isrt_max_shift.ma".
22 include "basic_2/notation/relations/pred_6.ma".
23 include "basic_2/rt_transition/cpg.ma".
24
25 (* T-BOUND CONTEXT-SENSITIVE PARALLEL RT-TRANSITION FOR TERMS ***************)
26
27 (* Basic_2A1: includes: cpr *)
28 definition cpm (h) (G) (L) (n): relation2 term term ≝
29            λT1,T2. ∃∃c. 𝐑𝐓❪n,c❫ & ❪G,L❫ ⊢ T1 ⬈[eq_t,c,h] T2.
30
31 interpretation
32    "t-bound context-sensitive parallel rt-transition (term)"
33    'PRed h n G L T1 T2 = (cpm h G L n T1 T2).
34
35 (* Basic properties *********************************************************)
36
37 lemma cpm_ess: ∀h,G,L,s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ➡[h,1] ⋆(⫯[h]s).
38 /2 width=3 by cpg_ess, ex2_intro/ qed.
39
40 lemma cpm_delta: ∀h,n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
41                  ⇧[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓓV1❫ ⊢ #0 ➡[h,n] W2.
42 #h #n #G #K #V1 #V2 #W2 *
43 /3 width=5 by cpg_delta, ex2_intro/
44 qed.
45
46 lemma cpm_ell: ∀h,n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
47                ⇧[1] V2 ≘ W2 → ❪G,K.ⓛV1❫ ⊢ #0 ➡[h,↑n] W2.
48 #h #n #G #K #V1 #V2 #W2 *
49 /3 width=5 by cpg_ell, ex2_intro, isrt_succ/
50 qed.
51
52 lemma cpm_lref: ∀h,n,I,G,K,T,U,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T →
53                 ⇧[1] T ≘ U → ❪G,K.ⓘ[I]❫ ⊢ #↑i ➡[h,n] U.
54 #h #n #I #G #K #T #U #i *
55 /3 width=5 by cpg_lref, ex2_intro/
56 qed.
57
58 (* Basic_2A1: includes: cpr_bind *)
59 lemma cpm_bind: ∀h,n,p,I,G,L,V1,V2,T1,T2.
60                 ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
61                 ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] ⓑ[p,I]V2.T2.
62 #h #n #p #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 * #cV #HcV #HV12 *
63 /5 width=5 by cpg_bind, isrt_max_O1, isr_shift, ex2_intro/
64 qed.
65
66 lemma cpm_appl: ∀h,n,G,L,V1,V2,T1,T2.
67                 ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
68                 ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h,n] ⓐV2.T2.
69 #h #n #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 * #cV #HcV #HV12 *
70 /5 width=5 by isrt_max_O1, isr_shift, cpg_appl, ex2_intro/
71 qed.
72
73 lemma cpm_cast: ∀h,n,G,L,U1,U2,T1,T2.
74                 ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] U2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
75                 ❪G,L❫ ⊢ ⓝU1.T1 ➡[h,n] ⓝU2.T2.
76 #h #n #G #L #U1 #U2 #T1 #T2 * #cU #HcU #HU12 *
77 /4 width=6 by cpg_cast, isrt_max_idem1, isrt_mono, ex2_intro/
78 qed.
79
80 (* Basic_2A1: includes: cpr_zeta *)
81 lemma cpm_zeta (h) (n) (G) (L):
82                ∀T1,T. ⇧[1] T ≘ T1 → ∀T2. ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] T2 →
83                ∀V. ❪G,L❫ ⊢ +ⓓV.T1 ➡[h,n] T2.
84 #h #n #G #L #T1 #T #HT1 #T2 *
85 /3 width=5 by cpg_zeta, isrt_plus_O2, ex2_intro/
86 qed.
87
88 (* Basic_2A1: includes: cpr_eps *)
89 lemma cpm_eps: ∀h,n,G,L,V,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓝV.T1 ➡[h,n] T2.
90 #h #n #G #L #V #T1 #T2 *
91 /3 width=3 by cpg_eps, isrt_plus_O2, ex2_intro/
92 qed.
93
94 lemma cpm_ee: ∀h,n,G,L,V1,V2,T. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → ❪G,L❫ ⊢ ⓝV1.T ➡[h,↑n] V2.
95 #h #n #G #L #V1 #V2 #T *
96 /3 width=3 by cpg_ee, isrt_succ, ex2_intro/
97 qed.
98
99 (* Basic_2A1: includes: cpr_beta *)
100 lemma cpm_beta: ∀h,n,p,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
101                 ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
102                 ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.ⓛ[p]W1.T1 ➡[h,n] ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2.
103 #h #n #p #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 * #riV #rhV #HV12 * #riW #rhW #HW12 *
104 /6 width=7 by cpg_beta, isrt_plus_O2, isrt_max, isr_shift, ex2_intro/
105 qed.
106
107 (* Basic_2A1: includes: cpr_theta *)
108 lemma cpm_theta: ∀h,n,p,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
109                  ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V → ⇧[1] V ≘ V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 →
110                  ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
111                  ❪G,L❫ ⊢ ⓐV1.ⓓ[p]W1.T1 ➡[h,n] ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2.
112 #h #n #p #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 * #riV #rhV #HV1 #HV2 * #riW #rhW #HW12 *
113 /6 width=9 by cpg_theta, isrt_plus_O2, isrt_max, isr_shift, ex2_intro/
114 qed.
115
116 (* Basic properties with r-transition ***************************************)
117
118 (* Note: this is needed by cpms_ind_sn and cpms_ind_dx *)
119 (* Basic_1: includes by definition: pr0_refl *)
120 (* Basic_2A1: includes: cpr_atom *)
121 lemma cpr_refl: ∀h,G,L. reflexive … (cpm h G L 0).
122 /3 width=3 by cpg_refl, ex2_intro/ qed.
123
124 (* Advanced properties ******************************************************)
125
126 lemma cpm_sort (h) (G) (L):
127                ∀n. n ≤ 1 → ∀s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ➡[h,n] ⋆((next h)^n s).
128 #h #G #L * //
129 #n #H #s <(le_n_O_to_eq n) /2 width=1 by le_S_S_to_le/
130 qed.
131
132 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
133
134 lemma cpm_inv_atom1: ∀h,n,J,G,L,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓪[J] ➡[h,n] T2 →
135                      ∨∨ T2 = ⓪[J] ∧ n = 0
136                       | ∃∃s. T2 = ⋆(⫯[h]s) & J = Sort s & n = 1
137                       | ∃∃K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 &
138                                    L = K.ⓓV1 & J = LRef 0
139                       | ∃∃m,K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,m] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 &
140                                      L = K.ⓛV1 & J = LRef 0 & n = ↑m
141                       | ∃∃I,K,T,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T & ⇧[1] T ≘ T2 &
142                                    L = K.ⓘ[I] & J = LRef (↑i).
143 #h #n #J #G #L #T2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_atom1 … H) -H *
144 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or5_intro0, conj/
145 | #s #H1 #H2 #H3 destruct /4 width=3 by isrt_inv_01, or5_intro1, ex3_intro/
146 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 #H3 destruct
147   /4 width=6 by or5_intro2, ex4_3_intro, ex2_intro/
148 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 #H3 destruct
149   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
150   /4 width=9 by or5_intro3, ex5_4_intro, ex2_intro/
151 | #I #K #V2 #i #HV2 #HVT2 #H1 #H2 destruct
152   /4 width=8 by or5_intro4, ex4_4_intro, ex2_intro/
153 ]
154 qed-.
155
156 lemma cpm_inv_sort1: ∀h,n,G,L,T2,s. ❪G,L❫ ⊢ ⋆s ➡[h,n] T2 →
157                      ∧∧ T2 = ⋆(((next h)^n) s) & n ≤ 1.
158 #h #n #G #L #T2 #s * #c #Hc #H
159 elim (cpg_inv_sort1 … H) -H * #H1 #H2 destruct
160 [ lapply (isrt_inv_00 … Hc) | lapply (isrt_inv_01 … Hc) ] -Hc
161 #H destruct /2 width=1 by conj/
162 qed-.
163
164 lemma cpm_inv_zero1: ∀h,n,G,L,T2. ❪G,L❫ ⊢ #0 ➡[h,n] T2 →
165                      ∨∨ T2 = #0 ∧ n = 0
166                       | ∃∃K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 &
167                                    L = K.ⓓV1
168                       | ∃∃m,K,V1,V2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,m] V2 & ⇧[1] V2 ≘ T2 &
169                                      L = K.ⓛV1 & n = ↑m.
170 #h #n #G #L #T2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_zero1 … H) -H *
171 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or3_intro0, conj/
172 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 destruct
173   /4 width=8 by or3_intro1, ex3_3_intro, ex2_intro/
174 | #cV #K #V1 #V2 #HV12 #HVT2 #H1 #H2 destruct
175   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
176   /4 width=8 by or3_intro2, ex4_4_intro, ex2_intro/
177 ]
178 qed-.
179
180 lemma cpm_inv_zero1_unit (h) (n) (I) (K) (G):
181       ∀X2. ❪G,K.ⓤ[I]❫ ⊢ #0 ➡[h,n] X2 → ∧∧ X2 = #0 & n = 0.
182 #h #n #I #G #K #X2 #H
183 elim (cpm_inv_zero1 … H) -H *
184 [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
185 | #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
186 | #m #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
187 ]
188 qed.
189
190 lemma cpm_inv_lref1: ∀h,n,G,L,T2,i. ❪G,L❫ ⊢ #↑i ➡[h,n] T2 →
191                      ∨∨ T2 = #(↑i) ∧ n = 0
192                       | ∃∃I,K,T. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T & ⇧[1] T ≘ T2 & L = K.ⓘ[I].
193 #h #n #G #L #T2 #i * #c #Hc #H elim (cpg_inv_lref1 … H) -H *
194 [ #H1 #H2 destruct /4 width=1 by isrt_inv_00, or_introl, conj/
195 | #I #K #V2 #HV2 #HVT2 #H destruct
196  /4 width=6 by ex3_3_intro, ex2_intro, or_intror/
197 ]
198 qed-.
199
200 lemma cpm_inv_lref1_ctop (h) (n) (G):
201       ∀X2,i. ❪G,⋆❫ ⊢ #i ➡[h,n] X2 → ∧∧ X2 = #i & n = 0.
202 #h #n #G #X2 * [| #i ] #H
203 [ elim (cpm_inv_zero1 … H) -H *
204   [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
205   | #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
206   | #m #Y #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
207   ]
208 | elim (cpm_inv_lref1 … H) -H *
209   [ #H1 #H2 destruct /2 width=1 by conj/
210   | #Z #Y #X0 #_ #_ #H destruct
211   ]
212 ]
213 qed.
214
215 lemma cpm_inv_gref1: ∀h,n,G,L,T2,l. ❪G,L❫ ⊢ §l ➡[h,n] T2 → T2 = §l ∧ n = 0.
216 #h #n #G #L #T2 #l * #c #Hc #H elim (cpg_inv_gref1 … H) -H
217 #H1 #H2 destruct /3 width=1 by isrt_inv_00, conj/
218 qed-.
219
220 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_bind1 *)
221 lemma cpm_inv_bind1: ∀h,n,p,I,G,L,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
222                      ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 &
223                                  U2 = ⓑ[p,I]V2.T2
224                       | ∃∃T. ⇧[1] T ≘ T1 & ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] U2 &
225                              p = true & I = Abbr.
226 #h #n #p #I #G #L #V1 #T1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_bind1 … H) -H *
227 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
228   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
229   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
230   /4 width=5 by ex3_2_intro, ex2_intro, or_introl/
231 | #cT #T2 #HT21 #HTU2 #H1 #H2 #H3 destruct
232   /5 width=5 by isrt_inv_plus_O_dx, ex4_intro, ex2_intro, or_intror/
233 ]
234 qed-.
235
236 (* Basic_1: includes: pr0_gen_abbr pr2_gen_abbr *)
237 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_abbr1 *)
238 lemma cpm_inv_abbr1: ∀h,n,p,G,L,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓓ[p]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
239                      ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓓV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 &
240                                  U2 = ⓓ[p]V2.T2
241                       | ∃∃T. ⇧[1] T ≘ T1 & ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] U2 & p = true.
242 #h #n #p #G #L #V1 #T1 #U2 #H
243 elim (cpm_inv_bind1 … H) -H
244 [ /3 width=1 by or_introl/
245 | * /3 width=3 by ex3_intro, or_intror/
246 ]
247 qed-.
248
249 (* Basic_1: includes: pr0_gen_abst pr2_gen_abst *)
250 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_abst1 *)
251 lemma cpm_inv_abst1: ∀h,n,p,G,L,V1,T1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p]V1.T1 ➡[h,n] U2 →
252                      ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓛV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 &
253                               U2 = ⓛ[p]V2.T2.
254 #h #n #p #G #L #V1 #T1 #U2 #H
255 elim (cpm_inv_bind1 … H) -H
256 [ /3 width=1 by or_introl/
257 | * #T #_ #_ #_ #H destruct
258 ]
259 qed-.
260
261 lemma cpm_inv_abst_bi: ∀h,n,p1,p2,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓛ[p1]V1.T1 ➡[h,n] ⓛ[p2]V2.T2 →
262                        ∧∧ ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L.ⓛV1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 & p1 = p2.
263 #h #n #p1 #p2 #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #H
264 elim (cpm_inv_abst1 … H) -H #XV #XT #HV #HT #H destruct
265 /2 width=1 by and3_intro/
266 qed-.
267
268 (* Basic_1: includes: pr0_gen_appl pr2_gen_appl *)
269 (* Basic_2A1: includes: cpr_inv_appl1 *)
270 lemma cpm_inv_appl1: ∀h,n,G,L,V1,U1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[h,n] U2 →
271                      ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] T2 &
272                                  U2 = ⓐV2.T2
273                       | ∃∃p,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 & ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 &
274                                             ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 &
275                                             U1 = ⓛ[p]W1.T1 & U2 = ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2
276                       | ∃∃p,V,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V & ⇧[1] V ≘ V2 &
277                                               ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 & ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 &
278                                               U1 = ⓓ[p]W1.T1 & U2 = ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2.
279 #h #n #G #L #V1 #U1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_appl1 … H) -H *
280 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H1 #H2 destruct
281   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
282   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
283   /4 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro, ex2_intro/
284 | #cV #cW #cT #p #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
285   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … Hc ?) -Hc // #Hc
286   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #n0 #nT #Hc #HcT #H destruct
287   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nW #HcV #HcW #H destruct
288   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
289   elim (isrt_inv_shift … HcW) -HcW #HcW #H destruct
290   /4 width=11 by or3_intro1, ex5_6_intro, ex2_intro/
291 | #cV #cW #cT #p #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #H1 #H2 #H3 destruct
292   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … Hc ?) -Hc // #Hc
293   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #n0 #nT #Hc #HcT #H destruct
294   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nW #HcV #HcW #H destruct
295   elim (isrt_inv_shift … HcV) -HcV #HcV #H destruct
296   elim (isrt_inv_shift … HcW) -HcW #HcW #H destruct
297   /4 width=13 by or3_intro2, ex6_7_intro, ex2_intro/
298 ]
299 qed-.
300
301 lemma cpm_inv_cast1: ∀h,n,G,L,V1,U1,U2. ❪G,L❫ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[h,n] U2 →
302                      ∨∨ ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 & ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] T2 &
303                                  U2 = ⓝV2.T2
304                       | ❪G,L❫ ⊢ U1 ➡[h,n] U2
305                       | ∃∃m. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,m] U2 & n = ↑m.
306 #h #n #G #L #V1 #U1 #U2 * #c #Hc #H elim (cpg_inv_cast1 … H) -H *
307 [ #cV #cT #V2 #T2 #HV12 #HT12 #HcVT #H1 #H2 destruct
308   elim (isrt_inv_max … Hc) -Hc #nV #nT #HcV #HcT #H destruct
309   lapply (isrt_eq_t_trans … HcV HcVT) -HcVT #H
310   lapply (isrt_inj … H HcT) -H #H destruct <idempotent_max
311   /4 width=5 by or3_intro0, ex3_2_intro, ex2_intro/
312 | #cU #U12 #H destruct
313   /4 width=3 by isrt_inv_plus_O_dx, or3_intro1, ex2_intro/
314 | #cU #H12 #H destruct
315   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … Hc) -Hc // #m #Hc #H destruct
316   /4 width=3 by or3_intro2, ex2_intro/
317 ]
318 qed-.
319
320 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
321
322 (* Basic_2A1: includes: cpr_fwd_bind1_minus *)
323 lemma cpm_fwd_bind1_minus: ∀h,n,I,G,L,V1,T1,T. ❪G,L❫ ⊢ -ⓑ[I]V1.T1 ➡[h,n] T → ∀p.
324                            ∃∃V2,T2. ❪G,L❫ ⊢ ⓑ[p,I]V1.T1 ➡[h,n] ⓑ[p,I]V2.T2 &
325                                     T = -ⓑ[I]V2.T2.
326 #h #n #I #G #L #V1 #T1 #T * #c #Hc #H #p elim (cpg_fwd_bind1_minus … H p) -H
327 /3 width=4 by ex2_2_intro, ex2_intro/
328 qed-.
329
330 (* Basic eliminators ********************************************************)
331
332 lemma cpm_ind (h): ∀Q:relation5 nat genv lenv term term.
333                    (∀I,G,L. Q 0 G L (⓪[I]) (⓪[I])) →
334                    (∀G,L,s. Q 1 G L (⋆s) (⋆(⫯[h]s))) →
335                    (∀n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → Q n G K V1 V2 →
336                      ⇧[1] V2 ≘ W2 → Q n G (K.ⓓV1) (#0) W2
337                    ) → (∀n,G,K,V1,V2,W2. ❪G,K❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → Q n G K V1 V2 →
338                      ⇧[1] V2 ≘ W2 → Q (↑n) G (K.ⓛV1) (#0) W2
339                    ) → (∀n,I,G,K,T,U,i. ❪G,K❫ ⊢ #i ➡[h,n] T → Q n G K (#i) T →
340                      ⇧[1] T ≘ U → Q n G (K.ⓘ[I]) (#↑i) (U)
341                    ) → (∀n,p,I,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L.ⓑ[I]V1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
342                      Q 0 G L V1 V2 → Q n G (L.ⓑ[I]V1) T1 T2 → Q n G L (ⓑ[p,I]V1.T1) (ⓑ[p,I]V2.T2)
343                    ) → (∀n,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
344                      Q 0 G L V1 V2 → Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓐV1.T1) (ⓐV2.T2)
345                    ) → (∀n,G,L,V1,V2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 → ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
346                      Q n G L V1 V2 → Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓝV1.T1) (ⓝV2.T2)
347                    ) → (∀n,G,L,V,T1,T,T2. ⇧[1] T ≘ T1 → ❪G,L❫ ⊢ T ➡[h,n] T2 →
348                      Q n G L T T2 → Q n G L (+ⓓV.T1) T2
349                    ) → (∀n,G,L,V,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
350                      Q n G L T1 T2 → Q n G L (ⓝV.T1) T2
351                    ) → (∀n,G,L,V1,V2,T. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,n] V2 →
352                      Q n G L V1 V2 → Q (↑n) G L (ⓝV1.T) V2
353                    ) → (∀n,p,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V2 → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓛW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
354                      Q 0 G L V1 V2 → Q 0 G L W1 W2 → Q n G (L.ⓛW1) T1 T2 →
355                      Q n G L (ⓐV1.ⓛ[p]W1.T1) (ⓓ[p]ⓝW2.V2.T2)
356                    ) → (∀n,p,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ V1 ➡[h,0] V → ❪G,L❫ ⊢ W1 ➡[h,0] W2 → ❪G,L.ⓓW1❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 →
357                      Q 0 G L V1 V → Q 0 G L W1 W2 → Q n G (L.ⓓW1) T1 T2 →
358                      ⇧[1] V ≘ V2 → Q n G L (ⓐV1.ⓓ[p]W1.T1) (ⓓ[p]W2.ⓐV2.T2)
359                    ) →
360                    ∀n,G,L,T1,T2. ❪G,L❫ ⊢ T1 ➡[h,n] T2 → Q n G L T1 T2.
361 #h #Q #IH1 #IH2 #IH3 #IH4 #IH5 #IH6 #IH7 #IH8 #IH9 #IH10 #IH11 #IH12 #IH13 #n #G #L #T1 #T2
362 * #c #HC #H generalize in match HC; -HC generalize in match n; -n
363 elim H -c -G -L -T1 -T2
364 [ #I #G #L #n #H <(isrt_inv_00 … H) -H //
365 | #G #L #s #n #H <(isrt_inv_01 … H) -H //
366 | /3 width=4 by ex2_intro/
367 | #c #G #L #V1 #V2 #W2 #HV12 #HVW2 #IH #x #H
368   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … H) -H // #n #Hc #H destruct
369   /3 width=4 by ex2_intro/
370 | /3 width=4 by ex2_intro/
371 | #cV #cT #p #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #IHV #IHT #n #H
372   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #HcV #HcT
373   /3 width=3 by ex2_intro/
374 | #cV #cT #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #IHV #IHT #n #H
375   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #HcV #HcT
376   /3 width=3 by ex2_intro/
377 | #cU #cT #G #L #U1 #U2 #T1 #T2 #HUT #HU12 #HT12 #IHU #IHT #n #H
378   elim (isrt_inv_max_eq_t … H) -H // #HcV #HcT
379   /3 width=3 by ex2_intro/
380 | #c #G #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #IH #n #H
381   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // #Hc
382   /3 width=4 by ex2_intro/
383 | #c #G #L #U #T1 #T2 #HT12 #IH #n #H
384   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // #Hc
385   /3 width=3 by ex2_intro/
386 | #c #G #L #U1 #U2 #T #HU12 #IH #x #H
387   elim (isrt_inv_plus_SO_dx … H) -H // #n #Hc #H destruct
388   /3 width=3 by ex2_intro/
389 | #cV #cW #cT #p #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #IHV #IHW #IHT #n #H
390   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // >max_shift #H
391   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #H #HcT
392   elim (isrt_O_inv_max … H) -H #HcV #HcW
393   /3 width=3 by ex2_intro/
394 | #cV #cW #cT #p #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #IHV #IHW #IHT #n #H
395   lapply (isrt_inv_plus_O_dx … H ?) -H // >max_shift #H
396   elim (isrt_inv_max_shift_sn … H) -H #H #HcT
397   elim (isrt_O_inv_max … H) -H #HcV #HcW
398   /3 width=4 by ex2_intro/
399 ]
400 qed-.