1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basic_2A/notation/relations/nativevalid_5.ma".
16 include "basic_2A/computation/scpds.ma".
18 (* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
21 inductive snv (h) (g): relation3 genv lenv term ≝
22 | snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
23 | snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
24 | snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
25 | snv_appl: ∀a,G,L,V,W0,T,U0,d. snv h g G L V → snv h g G L T →
26 ⦃G, L⦄ ⊢ V •*➡*[h, g, 1] W0 → ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, d] ⓛ{a}W0.U0 → snv h g G L (ⓐV.T)
27 | snv_cast: ∀G,L,U,T,U0. snv h g G L U → snv h g G L T →
28 ⦃G, L⦄ ⊢ U •*➡*[h, g, 0] U0 → ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, 1] U0 → snv h g G L (ⓝU.T)
31 interpretation "stratified native validity (term)"
32 'NativeValid h g G L T = (snv h g G L T).
34 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
36 fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
37 ∃∃I,K,V. ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
38 #h #g #G #L #X * -G -L -X
39 [ #G #L #k #i #H destruct
40 | #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5 by ex2_3_intro/
41 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
42 | #a #G #L #V #W0 #T #U0 #d #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
43 | #G #L #U #T #U0 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
47 lemma snv_inv_lref: ∀h,g,G,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
48 ∃∃I,K,V. ⬇[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
49 /2 width=3 by snv_inv_lref_aux/ qed-.
51 fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
52 #h #g #G #L #X * -G -L -X
53 [ #G #L #k #p #H destruct
54 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
55 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
56 | #a #G #L #V #W0 #T #U0 #d #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
57 | #G #L #U #T #U0 #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
61 lemma snv_inv_gref: ∀h,g,G,L,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ¡[h, g] → ⊥.
62 /2 width=8 by snv_inv_gref_aux/ qed-.
64 fact snv_inv_bind_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
65 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
66 #h #g #G #L #X * -G -L -X
67 [ #G #L #k #b #Z #X1 #X2 #H destruct
68 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #b #Z #X1 #X2 #H destruct
69 | #a #I #G #L #V #T #HV #HT #b #Z #X1 #X2 #H destruct /2 width=1 by conj/
70 | #a #G #L #V #W0 #T #U0 #d #_ #_ #_ #_ #b #Z #X1 #X2 #H destruct
71 | #G #L #U #T #U0 #_ #_ #_ #_ #b #Z #X1 #X2 #H destruct
75 lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
76 ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
77 /2 width=4 by snv_inv_bind_aux/ qed-.
79 fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
80 ∃∃a,W0,U0,d. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
81 ⦃G, L⦄ ⊢ V •*➡*[h, g, 1] W0 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, d] ⓛ{a}W0.U0.
82 #h #g #G #L #X * -L -X
83 [ #G #L #k #X1 #X2 #H destruct
84 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
85 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
86 | #a #G #L #V #W0 #T #U0 #d #HV #HT #HVW0 #HTU0 #X1 #X2 #H destruct /2 width=6 by ex4_4_intro/
87 | #G #L #U #T #U0 #_ #_ #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
91 lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
92 ∃∃a,W0,U0,d. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
93 ⦃G, L⦄ ⊢ V •*➡*[h, g, 1] W0 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, d] ⓛ{a}W0.U0.
94 /2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
96 fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀U,T. X = ⓝU.T →
97 ∃∃U0. ⦃G, L⦄ ⊢ U ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
98 ⦃G, L⦄ ⊢ U •*➡*[h, g, 0] U0 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, 1] U0.
99 #h #g #G #L #X * -G -L -X
100 [ #G #L #k #X1 #X2 #H destruct
101 | #I #G #L #K #V #i #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
102 | #a #I #G #L #V #T #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
103 | #a #G #L #V #W0 #T #U0 #d #_ #_ #_ #_ #X1 #X2 #H destruct
104 | #G #L #U #T #U0 #HV #HT #HU0 #HTU0 #X1 #X2 #H destruct /2 width=3 by ex4_intro/
108 lemma snv_inv_cast: ∀h,g,G,L,U,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝU.T ¡[h, g] →
109 ∃∃U0. ⦃G, L⦄ ⊢ U ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
110 ⦃G, L⦄ ⊢ U •*➡*[h, g, 0] U0 & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g, 1] U0.
111 /2 width=3 by snv_inv_cast_aux/ qed-.