matita/matita/contribs/lambdadelta/delayed_updating/substitution/lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/relocation/tr_compose.ma".
  16 include "ground/relocation/tr_uni.ma".
  17 include "delayed_updating/syntax/path.ma".
  18 include "delayed_updating/notation/functions/uparrow_4.ma".
  19 include "delayed_updating/notation/functions/uparrow_2.ma".
  20
  21 (* LIFT FOR PATH ***********************************************************)
  22
  23 definition lift_continuation (A:Type[0]) ≝
  24            tr_map → path → A.
  25
  26 (* Note: inner numeric labels are not liftable, so they are removed *)
  27 rec definition lift_gen (A:Type[0]) (k:lift_continuation A) (f) (p) on p ≝
  28 match p with
  29 [ list_empty     ⇒ k f (𝐞)
  30 | list_lcons l q ⇒
  31   match l with
  32   [ label_node_d n ⇒
  33     match q with
  34     [ list_empty     ⇒ lift_gen (A) (λg,p. k g (𝗱(f@❨n❩)◗p)) (f∘𝐮❨n❩) q
  35     | list_lcons _ _ ⇒ lift_gen (A) k (f∘𝐮❨n❩) q
  36     ]
  37   | label_edge_L   ⇒ lift_gen (A) (λg,p. k g (𝗟◗p)) (⫯f) q
  38   | label_edge_A   ⇒ lift_gen (A) (λg,p. k g (𝗔◗p)) f q
  39   | label_edge_S   ⇒ lift_gen (A) (λg,p. k g (𝗦◗p)) f q
  40   ]
  41 ].
  42
  43 interpretation
  44   "lift (gneric)"
  45   'UpArrow A k f p = (lift_gen A k f p).
  46
  47 definition proj_path: lift_continuation … ≝
  48            λf,p.p.
  49
  50 definition proj_rmap: lift_continuation … ≝
  51            λf,p.f.
  52
  53 interpretation
  54   "lift (path)"
  55   'UpArrow f p = (lift_gen ? proj_path f p).
  56
  57 interpretation
  58   "lift (relocation map)"
  59   'UpArrow p f = (lift_gen ? proj_rmap f p).
  60
  61 (* Basic constructions ******************************************************)
  62
  63 lemma lift_empty (A) (k) (f):
  64       k f (𝐞) = ↑{A}❨k, f, 𝐞❩.
  65 // qed.
  66
  67 lemma lift_d_empty_sn (A) (k) (n) (f):
  68       ↑❨(λg,p. k g (𝗱(f@❨n❩)◗p)), f∘𝐮❨ninj n❩, 𝐞❩ = ↑{A}❨k, f, 𝗱n◗𝐞❩.
  69 // qed.
  70
  71 lemma lift_d_lcons_sn (A) (k) (p) (l) (n) (f):
  72       ↑❨k, f∘𝐮❨ninj n❩, l◗p❩ = ↑{A}❨k, f, 𝗱n◗l◗p❩.
  73 // qed.
  74
  75 lemma lift_L_sn (A) (k) (p) (f):
  76       ↑❨(λg,p. k g (𝗟◗p)), ⫯f, p❩ = ↑{A}❨k, f, 𝗟◗p❩.
  77 // qed.
  78
  79 lemma lift_A_sn (A) (k) (p) (f):
  80       ↑❨(λg,p. k g (𝗔◗p)), f, p❩ = ↑{A}❨k, f, 𝗔◗p❩.
  81 // qed.
  82
  83 lemma lift_S_sn (A) (k) (p) (f):
  84       ↑❨(λg,p. k g (𝗦◗p)), f, p❩ = ↑{A}❨k, f, 𝗦◗p❩.
  85 // qed.
  86
  87 (* Basic constructions with proj_path ***************************************)
  88
  89 lemma lift_path_empty (f):
  90       (𝐞) = ↑[f]𝐞.
  91 // qed.
  92
  93 lemma lift_path_d_empty_sn (f) (n):
  94       𝗱(f@❨n❩)◗𝐞 = ↑[f](𝗱n◗𝐞).
  95 // qed.
  96
  97 lemma lift_path_d_lcons_sn (f) (p) (l) (n):
  98       ↑[f∘𝐮❨ninj n❩](l◗p) = ↑[f](𝗱n◗l◗p).
  99 // qed.
 100
 101 (* Basic constructions with proj_rmap ***************************************)
 102
 103 lemma lift_rmap_d_sn (f) (p) (n):
 104       ↑[p](f∘𝐮❨ninj n❩) = ↑[𝗱n◗p]f.
 105 #f * // qed.
 106
 107 lemma lift_rmap_L_sn (f) (p):
 108       ↑[p](⫯f) = ↑[𝗟◗p]f.
 109 // qed.
 110
 111 lemma lift_rmap_A_sn (f) (p):
 112       ↑[p]f = ↑[𝗔◗p]f.
 113 // qed.
 114
 115 lemma lift_rmap_S_sn (f) (p):
 116       ↑[p]f = ↑[𝗦◗p]f.
 117 // qed.
 118
 119 (* Advanced constructions with proj_rmap and path_append ********************)
 120
 121 lemma lift_rmap_append (p2) (p1) (f):
 122       ↑[p2]↑[p1]f = ↑[p1●p2]f.
 123 #p2 #p1 elim p1 -p1 // * [ #n ] #p1 #IH #f //
 124 [ <lift_rmap_A_sn <lift_rmap_A_sn //
 125 | <lift_rmap_S_sn <lift_rmap_S_sn //
 126 ]
 127 qed.
 128
 129 (* Advanced eliminations with path ******************************************)
 130
 131 lemma path_ind_lift (Q:predicate …):
 132       Q (𝐞) →
 133       (∀n. Q (𝐞) → Q (𝗱n◗𝐞)) →
 134       (∀n,l,p. Q (l◗p) → Q (𝗱n◗l◗p)) →
 135       (∀p. Q p → Q (𝗟◗p)) →
 136       (∀p. Q p → Q (𝗔◗p)) →
 137       (∀p. Q p → Q (𝗦◗p)) →
 138       ∀p. Q p.
 139 #Q #IH1 #IH2 #IH3 #IH4 #IH5 #IH6 #p
 140 elim p -p [| * [ #n * ] ]
 141 /2 width=1 by/
 142 qed-.