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[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / ground / arith / nat_minus.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground/arith/nat_succ_iter.ma".
16 include "ground/arith/nat_pred_succ.ma".
17
18 (* SUBTRACTION FOR NON-NEGATIVE INTEGERS ************************************)
19
20 (*** minus *)
21 definition nminus: nat → nat → nat ≝
22            λm,n. (npred^n) m.
23
24 interpretation
25   "minus (non-negative integers)"
26   'minus m n = (nminus m n).
27
28 (* Basic constructions ******************************************************)
29
30 (*** minus_n_O *)
31 lemma nminus_zero_dx (m): m = m - 𝟎.
32 // qed.
33
34 (*** minus_SO_dx *)
35 lemma nminus_unit_dx (m): ↓m = m - 𝟏 .
36 // qed.
37
38 (*** eq_minus_S_pred *)
39 lemma nminus_succ_dx (m) (n): ↓(m - n) = m - ↑n.
40 #m #n @(niter_succ … npred)
41 qed.
42
43 (* Advanced constructions ***************************************************)
44
45 lemma nminus_pred_sn (m) (n): ↓(m - n) = ↓m - n.
46 #m #n @(niter_appl … npred)
47 qed.
48
49 (*** minus_O_n *)
50 lemma nminus_zero_sn (n): 𝟎 = 𝟎 - n.
51 #n @(nat_ind_succ … n) -n //
52 qed.
53
54 (*** minus_S_S *)
55 lemma nminus_succ_bi (m) (n): m - n = ↑m - ↑n.
56 #m #n @(nat_ind_succ … n) -n //
57 qed.
58
59 lemma nminus_succ_dx_pred_sn (m) (n): ↓m - n = m - ↑n.
60 // qed-.
61
62 (*** minus_n_n *)
63 lemma nminus_refl (m): 𝟎 = m - m.
64 #m @(nat_ind_succ … m) -m //
65 qed.
66
67 (*** minus_Sn_n *)
68 lemma nminus_succ_sn_refl (m): ninj (𝟏) = ↑m - m.
69 #m @(nat_ind_succ … m) -m //
70 qed.
71
72 (*** minus_minus_comm *)
73 lemma nminus_comm (o) (m) (n): o - m - n = o - n - m.
74 #o #m #n @(nat_ind_succ … n) -n //
75 qed.
76
77 (*** minus_minus_comm3 *)
78 lemma nminus_comm_231 (n) (m1) (m2) (m3):
79       n-m1-m2-m3 = n-m2-m3-m1.
80 // qed.