]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/static_2/static/rex.ma
update in ground and delayed updating
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / static_2 / static / rex.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground/xoa/ex_1_2.ma".
16 include "ground/xoa/ex_3_4.ma".
17 include "ground/xoa/ex_4_4.ma".
18 include "ground/xoa/ex_4_5.ma".
19 include "ground/relocation/rtmap_id.ma".
20 include "static_2/notation/relations/relation_4.ma".
21 include "static_2/syntax/cext2.ma".
22 include "static_2/relocation/sex.ma".
23 include "static_2/static/frees.ma".
24
25 (* GENERIC EXTENSION ON REFERRED ENTRIES OF A CONTEXT-SENSITIVE REALTION ****)
26
27 definition rex (R) (T): relation lenv ≝
28                λL1,L2. ∃∃f. L1 ⊢ 𝐅+❨T❩ ≘ f & L1 ⪤[cext2 R,cfull,f] L2.
29
30 interpretation
31   "generic extension on referred entries (local environment)"
32   'Relation R T L1 L2 = (rex R T L1 L2).
33
34 definition R_confluent2_rex:
35            relation4 (relation3 lenv term term)
36                      (relation3 lenv term term) … ≝
37            λR1,R2,RP1,RP2.
38            ∀L0,T0,T1. R1 L0 T0 T1 → ∀T2. R2 L0 T0 T2 →
39            ∀L1. L0 ⪤[RP1,T0] L1 → ∀L2. L0 ⪤[RP2,T0] L2 →
40            ∃∃T. R2 L1 T1 T & R1 L2 T2 T.
41
42 definition R_replace3_rex:
43            relation4 (relation3 lenv term term)
44                      (relation3 lenv term term) … ≝
45            λR1,R2,RP1,RP2.
46            ∀L0,T0,T1. R1 L0 T0 T1 → ∀T2. R2 L0 T0 T2 →
47            ∀L1. L0 ⪤[RP1,T0] L1 → ∀L2. L0 ⪤[RP2,T0] L2 →
48            ∀T. R2 L1 T1 T → R1 L2 T2 T.
49
50 definition R_transitive_rex: relation3 ? (relation3 ?? term) … ≝
51            λR1,R2,R3.
52            ∀K1,K,V1. K1 ⪤[R1,V1] K →
53            ∀V. R1 K1 V1 V → ∀V2. R2 K V V2 → R3 K1 V1 V2.
54
55 definition R_confluent1_rex: relation … ≝
56            λR1,R2.
57            ∀K1,K2,V1. K1 ⪤[R2,V1] K2 → ∀V2. R1 K1 V1 V2 → R1 K2 V1 V2.
58
59 definition rex_confluent: relation … ≝
60            λR1,R2.
61            ∀K1,K,V1. K1 ⪤[R1,V1] K → ∀V. R1 K1 V1 V →
62            ∀K2. K ⪤[R2,V] K2 → K ⪤[R2,V1] K2.
63
64 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
65
66 lemma rex_inv_atom_sn (R):
67       ∀Y2,T. ⋆ ⪤[R,T] Y2 → Y2 = ⋆.
68 #R #Y2 #T * /2 width=4 by sex_inv_atom1/
69 qed-.
70
71 lemma rex_inv_atom_dx (R):
72       ∀Y1,T. Y1 ⪤[R,T] ⋆ → Y1 = ⋆.
73 #R #I #Y1 * /2 width=4 by sex_inv_atom2/
74 qed-.
75
76 lemma rex_inv_sort (R):
77       ∀Y1,Y2,s. Y1 ⪤[R,⋆s] Y2 →
78       ∨∨ ∧∧ Y1 = ⋆ & Y2 = ⋆
79        | ∃∃I1,I2,L1,L2. L1 ⪤[R,⋆s] L2 & Y1 = L1.ⓘ[I1] & Y2 = L2.ⓘ[I2].
80 #R * [ | #Y1 #I1 ] #Y2 #s * #f #H1 #H2
81 [ lapply (sex_inv_atom1 … H2) -H2 /3 width=1 by or_introl, conj/
82 | lapply (frees_inv_sort … H1) -H1 #Hf
83   elim (pr_isi_inv_gen … Hf) -Hf #g #Hg #H destruct
84   elim (sex_inv_push1 … H2) -H2 #I2 #L2 #H12 #_ #H destruct
85   /5 width=7 by frees_sort, ex3_4_intro, ex2_intro, or_intror/
86 ]
87 qed-.
88
89 lemma rex_inv_zero (R):
90       ∀Y1,Y2. Y1 ⪤[R,#0] Y2 →
91       ∨∨ ∧∧ Y1 = ⋆ & Y2 = ⋆
92        | ∃∃I,L1,L2,V1,V2. L1 ⪤[R,V1] L2 & R L1 V1 V2 & Y1 = L1.ⓑ[I]V1 & Y2 = L2.ⓑ[I]V2
93        | ∃∃f,I,L1,L2. 𝐈❨f❩ & L1 ⪤[cext2 R,cfull,f] L2 & Y1 = L1.ⓤ[I] & Y2 = L2.ⓤ[I].
94 #R * [ | #Y1 * #I1 [ | #X ] ] #Y2 * #f #H1 #H2
95 [ lapply (sex_inv_atom1 … H2) -H2 /3 width=1 by or3_intro0, conj/
96 | elim (frees_inv_unit … H1) -H1 #g #HX #H destruct
97   elim (sex_inv_next1 … H2) -H2 #I2 #L2 #HL12 #H #H2 destruct
98   >(ext2_inv_unit_sn … H) -H /3 width=8 by or3_intro2, ex4_4_intro/
99 | elim (frees_inv_pair … H1) -H1 #g #Hg #H destruct
100   elim (sex_inv_next1 … H2) -H2 #Z2 #L2 #HL12 #H
101   elim (ext2_inv_pair_sn … H) -H
102   /4 width=9 by or3_intro1, ex4_5_intro, ex2_intro/
103 ]
104 qed-.
105
106 lemma rex_inv_lref (R):
107       ∀Y1,Y2,i. Y1 ⪤[R,#↑i] Y2 →
108       ∨∨ ∧∧ Y1 = ⋆ & Y2 = ⋆
109        | ∃∃I1,I2,L1,L2. L1 ⪤[R,#i] L2 & Y1 = L1.ⓘ[I1] & Y2 = L2.ⓘ[I2].
110 #R * [ | #Y1 #I1 ] #Y2 #i * #f #H1 #H2
111 [ lapply (sex_inv_atom1 … H2) -H2 /3 width=1 by or_introl, conj/
112 | elim (frees_inv_lref … H1) -H1 #g #Hg #H destruct
113   elim (sex_inv_push1 … H2) -H2
114   /4 width=7 by ex3_4_intro, ex2_intro, or_intror/
115 ]
116 qed-.
117
118 lemma rex_inv_gref (R):
119       ∀Y1,Y2,l. Y1 ⪤[R,§l] Y2 →
120       ∨∨ ∧∧ Y1 = ⋆ & Y2 = ⋆
121        | ∃∃I1,I2,L1,L2. L1 ⪤[R,§l] L2 & Y1 = L1.ⓘ[I1] & Y2 = L2.ⓘ[I2].
122 #R * [ | #Y1 #I1 ] #Y2 #l * #f #H1 #H2
123 [ lapply (sex_inv_atom1 … H2) -H2 /3 width=1 by or_introl, conj/
124 | lapply (frees_inv_gref … H1) -H1 #Hf
125   elim (pr_isi_inv_gen … Hf) -Hf #g #Hg #H destruct
126   elim (sex_inv_push1 … H2) -H2 #I2 #L2 #H12 #_ #H destruct
127   /5 width=7 by frees_gref, ex3_4_intro, ex2_intro, or_intror/
128 ]
129 qed-.
130
131 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_inv_bind llpx_sn_inv_bind_O *)
132 lemma rex_inv_bind (R):
133       ∀p,I,L1,L2,V1,V2,T. L1 ⪤[R,ⓑ[p,I]V1.T] L2 → R L1 V1 V2 →
134       ∧∧ L1 ⪤[R,V1] L2 & L1.ⓑ[I]V1 ⪤[R,T] L2.ⓑ[I]V2.
135 #R #p #I #L1 #L2 #V1 #V2 #T * #f #Hf #HL #HV elim (frees_inv_bind … Hf) -Hf
136 /6 width=6 by sle_sex_trans, sex_inv_tl, ext2_pair, pr_sor_inv_sle_dx, pr_sor_inv_sle_sn, ex2_intro, conj/
137 qed-.
138
139 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_inv_flat *)
140 lemma rex_inv_flat (R):
141       ∀I,L1,L2,V,T. L1 ⪤[R,ⓕ[I]V.T] L2 →
142       ∧∧ L1 ⪤[R,V] L2 & L1 ⪤[R,T] L2.
143 #R #I #L1 #L2 #V #T * #f #Hf #HL elim (frees_inv_flat … Hf) -Hf
144 /5 width=6 by sle_sex_trans, pr_sor_inv_sle_dx, pr_sor_inv_sle_sn, ex2_intro, conj/
145 qed-.
146
147 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
148
149 lemma rex_inv_sort_bind_sn (R):
150       ∀I1,K1,L2,s. K1.ⓘ[I1] ⪤[R,⋆s] L2 →
151       ∃∃I2,K2. K1 ⪤[R,⋆s] K2 & L2 = K2.ⓘ[I2].
152 #R #I1 #K1 #L2 #s #H elim (rex_inv_sort … H) -H *
153 [ #H destruct
154 | #Z1 #I2 #Y1 #K2 #Hs #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
155 ]
156 qed-.
157
158 lemma rex_inv_sort_bind_dx (R):
159       ∀I2,K2,L1,s. L1 ⪤[R,⋆s] K2.ⓘ[I2] →
160       ∃∃I1,K1. K1 ⪤[R,⋆s] K2 & L1 = K1.ⓘ[I1].
161 #R #I2 #K2 #L1 #s #H elim (rex_inv_sort … H) -H *
162 [ #_ #H destruct
163 | #I1 #Z2 #K1 #Y2 #Hs #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
164 ]
165 qed-.
166
167 lemma rex_inv_zero_pair_sn (R):
168       ∀I,L2,K1,V1. K1.ⓑ[I]V1 ⪤[R,#0] L2 →
169       ∃∃K2,V2. K1 ⪤[R,V1] K2 & R K1 V1 V2 & L2 = K2.ⓑ[I]V2.
170 #R #I #L2 #K1 #V1 #H elim (rex_inv_zero … H) -H *
171 [ #H destruct
172 | #Z #Y1 #K2 #X1 #V2 #HK12 #HV12 #H1 #H2 destruct
173   /2 width=5 by ex3_2_intro/
174 | #f #Z #Y1 #Y2 #_ #_ #H destruct
175 ]
176 qed-.
177
178 lemma rex_inv_zero_pair_dx (R):
179       ∀I,L1,K2,V2. L1 ⪤[R,#0] K2.ⓑ[I]V2 →
180       ∃∃K1,V1. K1 ⪤[R,V1] K2 & R K1 V1 V2 & L1 = K1.ⓑ[I]V1.
181 #R #I #L1 #K2 #V2 #H elim (rex_inv_zero … H) -H *
182 [ #_ #H destruct
183 | #Z #K1 #Y2 #V1 #X2 #HK12 #HV12 #H1 #H2 destruct
184   /2 width=5 by ex3_2_intro/
185 | #f #Z #Y1 #Y2 #_ #_ #_ #H destruct
186 ]
187 qed-.
188
189 lemma rex_inv_zero_unit_sn (R):
190       ∀I,K1,L2. K1.ⓤ[I] ⪤[R,#0] L2 →
191       ∃∃f,K2. 𝐈❨f❩ & K1 ⪤[cext2 R,cfull,f] K2 & L2 = K2.ⓤ[I].
192 #R #I #K1 #L2 #H elim (rex_inv_zero … H) -H *
193 [ #H destruct
194 | #Z #Y1 #Y2 #X1 #X2 #_ #_ #H destruct
195 | #f #Z #Y1 #K2 #Hf #HK12 #H1 #H2 destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
196 ]
197 qed-.
198
199 lemma rex_inv_zero_unit_dx (R):
200       ∀I,L1,K2. L1 ⪤[R,#0] K2.ⓤ[I] →
201       ∃∃f,K1. 𝐈❨f❩ & K1 ⪤[cext2 R,cfull,f] K2 & L1 = K1.ⓤ[I].
202 #R #I #L1 #K2 #H elim (rex_inv_zero … H) -H *
203 [ #_ #H destruct
204 | #Z #Y1 #Y2 #X1 #X2 #_ #_ #_ #H destruct
205 | #f #Z #K1 #Y2 #Hf #HK12 #H1 #H2 destruct /2 width=5 by ex3_2_intro/
206 ]
207 qed-.
208
209 lemma rex_inv_lref_bind_sn (R):
210       ∀I1,K1,L2,i. K1.ⓘ[I1] ⪤[R,#↑i] L2 →
211       ∃∃I2,K2. K1 ⪤[R,#i] K2 & L2 = K2.ⓘ[I2].
212 #R #I1 #K1 #L2 #i #H elim (rex_inv_lref … H) -H *
213 [ #H destruct
214 | #Z1 #I2 #Y1 #K2 #Hi #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
215 ]
216 qed-.
217
218 lemma rex_inv_lref_bind_dx (R):
219       ∀I2,K2,L1,i. L1 ⪤[R,#↑i] K2.ⓘ[I2] →
220       ∃∃I1,K1. K1 ⪤[R,#i] K2 & L1 = K1.ⓘ[I1].
221 #R #I2 #K2 #L1 #i #H elim (rex_inv_lref … H) -H *
222 [ #_ #H destruct
223 | #I1 #Z2 #K1 #Y2 #Hi #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
224 ]
225 qed-.
226
227 lemma rex_inv_gref_bind_sn (R):
228       ∀I1,K1,L2,l. K1.ⓘ[I1] ⪤[R,§l] L2 →
229       ∃∃I2,K2. K1 ⪤[R,§l] K2 & L2 = K2.ⓘ[I2].
230 #R #I1 #K1 #L2 #l #H elim (rex_inv_gref … H) -H *
231 [ #H destruct
232 | #Z1 #I2 #Y1 #K2 #Hl #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
233 ]
234 qed-.
235
236 lemma rex_inv_gref_bind_dx (R):
237       ∀I2,K2,L1,l. L1 ⪤[R,§l] K2.ⓘ[I2] →
238       ∃∃I1,K1. K1 ⪤[R,§l] K2 & L1 = K1.ⓘ[I1].
239 #R #I2 #K2 #L1 #l #H elim (rex_inv_gref … H) -H *
240 [ #_ #H destruct
241 | #I1 #Z2 #K1 #Y2 #Hl #H1 #H2 destruct /2 width=4 by ex2_2_intro/
242 ]
243 qed-.
244
245 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
246
247 lemma rex_fwd_zero_pair (R):
248       ∀I,K1,K2,V1,V2. K1.ⓑ[I]V1 ⪤[R,#0] K2.ⓑ[I]V2 → K1 ⪤[R,V1] K2.
249 #R #I #K1 #K2 #V1 #V2 #H
250 elim (rex_inv_zero_pair_sn … H) -H #Y #X #HK12 #_ #H destruct //
251 qed-.
252
253 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_fwd_pair_sn llpx_sn_fwd_bind_sn llpx_sn_fwd_flat_sn *)
254 lemma rex_fwd_pair_sn (R):
255       ∀I,L1,L2,V,T. L1 ⪤[R,②[I]V.T] L2 → L1 ⪤[R,V] L2.
256 #R * [ #p ] #I #L1 #L2 #V #T * #f #Hf #HL
257 [ elim (frees_inv_bind … Hf) | elim (frees_inv_flat … Hf) ] -Hf
258 /4 width=6 by sle_sex_trans, pr_sor_inv_sle_sn, ex2_intro/
259 qed-.
260
261 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_fwd_bind_dx llpx_sn_fwd_bind_O_dx *)
262 lemma rex_fwd_bind_dx (R):
263       ∀p,I,L1,L2,V1,V2,T. L1 ⪤[R,ⓑ[p,I]V1.T] L2 →
264       R L1 V1 V2 → L1.ⓑ[I]V1 ⪤[R,T] L2.ⓑ[I]V2.
265 #R #p #I #L1 #L2 #V1 #V2 #T #H #HV elim (rex_inv_bind … H HV) -H -HV //
266 qed-.
267
268 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_fwd_flat_dx *)
269 lemma rex_fwd_flat_dx (R):
270       ∀I,L1,L2,V,T. L1 ⪤[R,ⓕ[I]V.T] L2 → L1 ⪤[R,T] L2.
271 #R #I #L1 #L2 #V #T #H elim (rex_inv_flat … H) -H //
272 qed-.
273
274 lemma rex_fwd_dx (R):
275       ∀I2,L1,K2,T. L1 ⪤[R,T] K2.ⓘ[I2] →
276       ∃∃I1,K1. L1 = K1.ⓘ[I1].
277 #R #I2 #L1 #K2 #T * #f elim (pr_map_split_tl f) * #g #Hg #_ #Hf destruct
278 [ elim (sex_inv_push2 … Hf) | elim (sex_inv_next2 … Hf) ] -Hf #I1 #K1 #_ #_ #H destruct
279 /2 width=3 by ex1_2_intro/
280 qed-.
281
282 (* Basic properties *********************************************************)
283
284 lemma rex_atom (R):
285       ∀I. ⋆ ⪤[R,⓪[I]] ⋆.
286 #R * /3 width=3 by frees_sort, frees_atom, frees_gref, sex_atom, ex2_intro/
287 qed.
288
289 lemma rex_sort (R):
290       ∀I1,I2,L1,L2,s. L1 ⪤[R,⋆s] L2 → L1.ⓘ[I1] ⪤[R,⋆s] L2.ⓘ[I2].
291 #R #I1 #I2 #L1 #L2 #s * #f #Hf #H12
292 lapply (frees_inv_sort … Hf) -Hf
293 /4 width=3 by frees_sort, sex_push, pr_isi_push, ex2_intro/
294 qed.
295
296 lemma rex_pair (R):
297       ∀I,L1,L2,V1,V2. L1 ⪤[R,V1] L2 →
298       R L1 V1 V2 → L1.ⓑ[I]V1 ⪤[R,#0] L2.ⓑ[I]V2.
299 #R #I1 #I2 #L1 #L2 #V1 *
300 /4 width=3 by ext2_pair, frees_pair, sex_next, ex2_intro/
301 qed.
302
303 lemma rex_unit (R):
304       ∀f,I,L1,L2. 𝐈❨f❩ → L1 ⪤[cext2 R,cfull,f] L2 →
305       L1.ⓤ[I] ⪤[R,#0] L2.ⓤ[I].
306 /4 width=3 by frees_unit, sex_next, ext2_unit, ex2_intro/ qed.
307
308 lemma rex_lref (R):
309       ∀I1,I2,L1,L2,i. L1 ⪤[R,#i] L2 → L1.ⓘ[I1] ⪤[R,#↑i] L2.ⓘ[I2].
310 #R #I1 #I2 #L1 #L2 #i * /3 width=3 by sex_push, frees_lref, ex2_intro/
311 qed.
312
313 lemma rex_gref (R):
314       ∀I1,I2,L1,L2,l. L1 ⪤[R,§l] L2 → L1.ⓘ[I1] ⪤[R,§l] L2.ⓘ[I2].
315 #R #I1 #I2 #L1 #L2 #l * #f #Hf #H12
316 lapply (frees_inv_gref … Hf) -Hf
317 /4 width=3 by frees_gref, sex_push, pr_isi_push, ex2_intro/
318 qed.
319
320 lemma rex_bind_repl_dx (R):
321       ∀I,I1,L1,L2,T. L1.ⓘ[I] ⪤[R,T] L2.ⓘ[I1] →
322       ∀I2. cext2 R L1 I I2 → L1.ⓘ[I] ⪤[R,T] L2.ⓘ[I2].
323 #R #I #I1 #L1 #L2 #T * #f #Hf #HL12 #I2 #HR
324 /3 width=5 by sex_pair_repl, ex2_intro/
325 qed-.
326
327 (* Basic_2A1: uses: llpx_sn_co *)
328 lemma rex_co (R1) (R2):
329       (∀L,T1,T2. R1 L T1 T2 → R2 L T1 T2) →
330       ∀L1,L2,T. L1 ⪤[R1,T] L2 → L1 ⪤[R2,T] L2.
331 #R1 #R2 #HR #L1 #L2 #T * /5 width=7 by sex_co, cext2_co, ex2_intro/
332 qed-.
333
334 lemma rex_isid (R1) (R2):
335       ∀L1,L2,T1,T2.
336       (∀f. L1 ⊢ 𝐅+❨T1❩ ≘ f → 𝐈❨f❩) →
337       (∀f. 𝐈❨f❩ → L1 ⊢ 𝐅+❨T2❩ ≘ f) →
338       L1 ⪤[R1,T1] L2 → L1 ⪤[R2,T2] L2.
339 #R1 #R2 #L1 #L2 #T1 #T2 #H1 #H2 *
340 /4 width=7 by sex_co_isid, ex2_intro/
341 qed-.
342
343 lemma rex_unit_sn (R1) (R2):
344       ∀I,K1,L2. K1.ⓤ[I] ⪤[R1,#0] L2 → K1.ⓤ[I] ⪤[R2,#0] L2.
345 #R1 #R2 #I #K1 #L2 #H
346 elim (rex_inv_zero_unit_sn … H) -H #f #K2 #Hf #HK12 #H destruct
347 /3 width=7 by rex_unit, sex_co_isid/
348 qed-.
349
350 (* Basic_2A1: removed theorems 9:
351               llpx_sn_skip llpx_sn_lref llpx_sn_free
352               llpx_sn_fwd_lref
353               llpx_sn_Y llpx_sn_ge_up llpx_sn_ge
354               llpx_sn_fwd_drop_sn llpx_sn_fwd_drop_dx
355 *)