matita/matita/contribs/limits/u0_preds.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "preamble.ma".
  16
  17 (* PREDICATES *********************************************************)
  18
  19 definition u0_predicate1: Type[0] → Type[1] ≝ λT.T → Prop.
  20
  21 definition u0_predicate2: Type[0] → Type[1] ≝ λT.T → u0_predicate1 T.
  22
  23 definition u1_predicate1: Type[1] → Type[2] ≝ λT.T → Prop.
  24
  25 definition u1_predicate2: Type[1] → Type[2] ≝ λT.T → u1_predicate1 T.
  26
  27 definition u0_full: ∀T:Type[0]. u0_predicate1 T ≝ λT,a. ⊤.
  28
  29 definition u0_empty: ∀T:Type[0]. u0_predicate1 T ≝ λT,a. ⊥.
  30
  31 definition u0_quantifier: Type[0] → Type[2] ≝ λT. u1_predicate2 (u0_predicate1 T).
  32
  33 definition u0_all: ∀T:Type[0]. u0_quantifier T ≝ λT,I,P. ∀a. I a → P a.
  34
  35 definition u0_ex: ∀T:Type[0]. u0_quantifier T ≝ λT,I,P. ∃a. I a ∧ P a.
  36
  37 definition u0_refl (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  38                    u0_all T I (λa. P a a).
  39
  40 definition u0_sym (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  41                   u0_all T I (λa1. u0_all T I (λa2. P a2 a1 → P a1 a2)).
  42
  43 definition u0_trans (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  44                     u0_all T I (λa1. u0_all T I (λa. P a1 a → (u0_all T I (λa2. P a a2 → P a1 a2)))).
  45
  46 definition u0_conf (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  47                    u0_all T I (λa. u0_all T I (λa1. P a a1 → (u0_all T I (λa2. P a a2 → P a1 a2)))).
  48
  49 definition u0_div (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  50                   u0_all T I (λa1. u0_all T I (λa. P a1 a → (u0_all T I (λa2. P a2 a → P a1 a2)))).
  51
  52 definition u0_repl2 (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (Q:u0_predicate2 T) (P:u0_predicate2 T): Prop ≝
  53                     u0_all T I (λa1. u0_all T I (λa2. P a1 a2 → u0_all T I (λb1. u0_all T I (λb2. Q b1 a1 → Q b2 a2 → P b1 b2)))).
  54
  55 definition u0_hom1 (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (U:Type[0]) (f:T → U) (P:u0_predicate1 T) (Q:u0_predicate1 U) : Prop ≝
  56                    u0_all T I (λa. P a → Q (f a)).
  57
  58 definition u0_hom2 (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (U:Type[0]) (f:T → U) (P:u0_predicate2 T) (Q:u0_predicate2 U) : Prop ≝
  59                    u0_all T I (λa1. u0_all T I (λa2. P a1 a2 → Q (f a1) (f a2))).
  60
  61 definition u0_xeq (T:Type[0]) (I:u0_predicate1 T) (U:Type[0]) (Q:u0_predicate2 U): u0_predicate2 (T → U) ≝
  62                   λf,g. u0_all T I (λa. Q (f a) (g a)).
  63
  64 (* Basic properties ***************************************************)
  65
  66 lemma u0_refl_repl_sym: ∀T,I,P. u0_refl T I P → u0_repl2 T I P P → u0_sym T I P.
  67 normalize /3 width=7 by/ qed-.
  68
  69 lemma u0_refl_repl_trans: ∀T,I,P. u0_refl T I P → u0_repl2 T I P P → u0_trans T I P.
  70 normalize /3 width=7 by/ qed-.
  71
  72 lemma u0_refl_repl_conf: ∀T,I,P. u0_refl T I P → u0_repl2 T I P P → u0_conf T I P.
  73 #T #I #P
  74 (*
  75 /3 width=1 by (u0_refl_repl_trans T I P), (u0_refl_repl_sym T I P)/
  76 *)
  77 #H1 #H2 #a #Ha #a1 #Ha1 #Haa1
  78 @(u0_refl_repl_trans T I P) /2 width=7 by/
  79 @(u0_refl_repl_sym T I P) /2 width=7 by/
  80 qed-.
  81
  82 lemma u0_refl_repl_div: ∀T,I,P. u0_refl T I P → u0_repl2 T I P P → u0_div T I P.
  83 #T #I #P #H1 #H2 #a1 #Ha1 #a #Ha #Ha1a #a2 #Ha2 #Ha2a
  84 @(u0_refl_repl_trans T I P … a) /2 width=7 by/
  85 @(u0_refl_repl_sym T I P) /2 width=7 by/
  86 qed-.