matita/matita/lib/arithmetics/big_pi.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "arithmetics/primes.ma".
  13 include "arithmetics/bigops.ma".
  14
  15 theorem sigma_const: ∀n:nat. ∑_{i<n} 1 = n.
  16 #n elim n // #n1 >bigop_Strue //
  17 qed.
  18
  19 (* monotonicity; these roperty should be expressed at a more
  20 genral level *)
  21
  22 theorem le_pi:
  23 ∀n.∀p:nat → bool.∀g1,g2:nat → nat.
  24   (∀i.i<n → p i = true → g1 i ≤ g2 i ) →
  25   ∏_{i < n | p i} (g1 i) ≤ ∏_{i < n | p i} (g2 i).
  26 #n #p #g1 #g2 elim n
  27   [#_ @le_n
  28   |#n1 #Hind #Hle cases (true_or_false (p n1)) #Hcase
  29     [ >bigop_Strue // >bigop_Strue // @le_times
  30       [@Hle // |@Hind #i #lti #Hpi @Hle [@lt_to_le @le_S_S @lti|@Hpi]]
  31     |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // @Hind
  32      #i #lti #Hpi @Hle [@lt_to_le @le_S_S @lti|@Hpi]
  33     ]
  34   ]
  35 qed.
  36
  37 theorem exp_sigma: ∀n,a,p.
  38   ∏_{i < n | p i} a = exp a (∑_{i < n | p i} 1).
  39 #n #a #p elim n // #n1 cases (true_or_false (p n1)) #Hcase
  40   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //]
  41 qed.
  42
  43 theorem times_pi: ∀n,p,f,g.
  44   ∏_{i<n|p i}(f i*g i) = ∏_{i<n|p i}(f i) * ∏_{i<n|p i}(g i).
  45 #n #p #f #g elim n // #n1 cases (true_or_false (p n1)) #Hcase #Hind
  46   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // >bigop_Strue //
  47   |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //
  48   ]
  49 qed.
  50
  51 theorem pi_1: ∀n,p.
  52   ∏_{i < n | p i} 1 = 1.
  53 #n #p elim n // #n1 #Hind cases (true_or_false (p n1)) #Hc
  54   [>bigop_Strue >Hind // |>bigop_Sfalse // ]
  55 qed.
  56
  57 theorem exp_pi: ∀n,m,p,f.
  58   ∏_{i < n | p i}(exp (f i) m) = exp (∏_{i < n | p i}(f i)) m.
  59 #n #m #p #f elim m
  60   [@pi_1
  61   |#m1 #Hind >times_pi >Hind %
  62   ]
  63 qed.
  64
  65 (*
  66 theorem true_to_pi_p_Sn: ∀n,p,g.
  67   p n = true \to pi_p (S n) p g = (g n)*(pi_p n p g).
  68 intros.
  69 unfold pi_p.
  70 apply true_to_iter_p_gen_Sn.
  71 assumption.
  72 qed.
  73
  74 theorem false_to_pi_p_Sn:
  75 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
  76 p n = false \to pi_p (S n) p g = pi_p n p g.
  77 intros.
  78 unfold pi_p.
  79 apply false_to_iter_p_gen_Sn.
  80 assumption.
  81 qed.
  82
  83 theorem eq_pi_p: \forall p1,p2:nat \to bool.
  84 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  85 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  86 (\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
  87 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  88 intros.
  89 unfold pi_p.
  90 apply eq_iter_p_gen;
  91 assumption.
  92 qed.
  93
  94 theorem eq_pi_p1: \forall p1,p2:nat \to bool.
  95 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  96 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  97 (\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
  98 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  99 intros.
 100 unfold pi_p.
 101 apply eq_iter_p_gen1;
 102 assumption.
 103 qed.
 104
 105 theorem pi_p_false:
 106 \forall g: nat \to nat.\forall n.pi_p n (\lambda x.false) g = S O.
 107 intros.
 108 unfold pi_p.
 109 apply iter_p_gen_false.
 110 qed.
 111
 112 theorem pi_p_times: \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
 113 \forall g: nat \to nat.
 114 pi_p (k+n) p g
 115 = pi_p k (\lambda x.p (x+n)) (\lambda x.g (x+n)) * pi_p n p g.
 116 intros.
 117 unfold pi_p.
 118 apply (iter_p_gen_plusA nat n k p g (S O) times)
 119 [ apply sym_times.
 120 | intros.
 121   apply sym_eq.
 122   apply times_n_SO
 123 | apply associative_times
 124 ]
 125 qed.
 126
 127 theorem false_to_eq_pi_p: \forall n,m:nat.n \le m \to
 128 \forall p:nat \to bool.
 129 \forall g: nat \to nat. (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to
 130 p i = false) \to pi_p m p g = pi_p n p g.
 131 intros.
 132 unfold pi_p.
 133 apply (false_to_eq_iter_p_gen);
 134 assumption.
 135 qed.
 136
 137 theorem or_false_eq_SO_to_eq_pi_p:
 138 \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
 139 \forall g: nat \to nat.
 140 n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false \lor g i = S O)
 141 \to pi_p m p g = pi_p n p g.
 142 intros.
 143 unfold pi_p.
 144 apply or_false_eq_baseA_to_eq_iter_p_gen
 145   [intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity
 146   |assumption
 147   |assumption
 148   ]
 149 qed.
 150
 151 theorem pi_p2 :
 152 \forall n,m:nat.
 153 \forall p1,p2:nat \to bool.
 154 \forall g: nat \to nat \to nat.
 155 pi_p (n*m)
 156   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m)))
 157   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 158 pi_p n p1
 159   (\lambda x.pi_p m p2 (g x)).
 160 intros.
 161 unfold pi_p.
 162 apply (iter_p_gen2 n m p1 p2 nat g (S O) times)
 163 [ apply sym_times
 164 | apply associative_times
 165 | intros.
 166   apply sym_eq.
 167   apply times_n_SO
 168 ]
 169 qed.
 170
 171 theorem pi_p2' :
 172 \forall n,m:nat.
 173 \forall p1:nat \to bool.
 174 \forall p2:nat \to nat \to bool.
 175 \forall g: nat \to nat \to nat.
 176 pi_p (n*m)
 177   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m) (mod x  m)))
 178   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 179 pi_p n p1
 180   (\lambda x.pi_p m (p2 x) (g x)).
 181 intros.
 182 unfold pi_p.
 183 apply (iter_p_gen2' n m p1 p2 nat g (S O) times)
 184 [ apply sym_times
 185 | apply associative_times
 186 | intros.
 187   apply sym_eq.
 188   apply times_n_SO
 189 ]
 190 qed.
 191
 192 lemma pi_p_gi: \forall g: nat \to nat.
 193 \forall n,i.\forall p:nat \to bool.i < n \to p i = true \to
 194 pi_p n p g = g i * pi_p n (\lambda x. andb (p x) (notb (eqb x i))) g.
 195 intros.
 196 unfold pi_p.
 197 apply (iter_p_gen_gi)
 198 [ apply sym_times
 199 | apply associative_times
 200 | intros.
 201   apply sym_eq.
 202   apply times_n_SO
 203 | assumption
 204 | assumption
 205 ]
 206 qed.
 207
 208 theorem eq_pi_p_gh:
 209 \forall g,h,h1: nat \to nat.\forall n,n1.
 210 \forall p1,p2:nat \to bool.
 211 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
 212 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to
 213 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to
 214 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
 215 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to
 216 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to
 217 pi_p n p1 (\lambda x.g(h x)) = pi_p n1 p2 g.
 218 intros.
 219 unfold pi_p.
 220 apply (eq_iter_p_gen_gh nat (S O) times ? ? ? g h h1 n n1 p1 p2)
 221 [ apply sym_times
 222 | apply associative_times
 223 | intros.
 224   apply sym_eq.
 225   apply times_n_SO
 226 | assumption
 227 | assumption
 228 | assumption
 229 | assumption
 230 | assumption
 231 | assumption
 232 ]
 233 qed.
 234
 235 theorem exp_sigma_p: \forall n,a,p.
 236 pi_p n p (\lambda x.a) = (exp a (sigma_p n p (\lambda x.S O))).
 237 intros.
 238 elim n
 239   [reflexivity
 240   |apply (bool_elim ? (p n1))
 241     [intro.
 242      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 243       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 244         [simplify.
 245          rewrite > H.
 246          reflexivity.
 247         |assumption
 248         ]
 249       |assumption
 250       ]
 251     |intro.
 252      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 253       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
 254         [simplify.assumption
 255         |assumption
 256         ]
 257       |assumption
 258       ]
 259     ]
 260   ]
 261 qed.
 262
 263 theorem exp_sigma_p1: \forall n,a,p,f.
 264 pi_p n p (\lambda x.(exp a (f x))) = (exp a (sigma_p n p f)).
 265 intros.
 266 elim n
 267   [reflexivity
 268   |apply (bool_elim ? (p n1))
 269     [intro.
 270      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 271       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 272         [simplify.
 273          rewrite > H.
 274          rewrite > exp_plus_times.
 275          reflexivity.
 276         |assumption
 277         ]
 278       |assumption
 279       ]
 280     |intro.
 281      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 282       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
 283         [simplify.assumption
 284         |assumption
 285         ]
 286       |assumption
 287       ]
 288     ]
 289   ]
 290 qed.
 291
 292 theorem times_pi_p: \forall n,p,f,g.
 293 pi_p n p (\lambda x.f x*g x) = pi_p n p f * pi_p n p  g.
 294 intros.
 295 elim n
 296   [simplify.reflexivity
 297   |apply (bool_elim ? (p n1))
 298     [intro.
 299      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 300       [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 301         [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 302           [rewrite > H.autobatch
 303           |assumption
 304           ]
 305         |assumption
 306         ]
 307       |assumption
 308       ]
 309     |intro.
 310      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 311       [rewrite > false_to_pi_p_Sn
 312         [rewrite > false_to_pi_p_Sn;assumption
 313         |assumption
 314         ]
 315       |assumption
 316       ]
 317     ]
 318   ]
 319 qed.
 320
 321
 322 theorem exp_times_pi_p: \forall n,m,k,p,f.
 323 pi_p n p (\lambda x.exp k (m*(f x))) =
 324 exp (pi_p n p (\lambda x.exp k (f x))) m.
 325 intros.
 326 apply (trans_eq ? ? (pi_p n p (\lambda x.(exp (exp k (f x)) m))))
 327   [apply eq_pi_p;intros
 328     [reflexivity
 329     |apply sym_eq.rewrite > sym_times.
 330      apply exp_exp_times
 331     ]
 332   |apply exp_pi_p
 333   ]
 334 qed.
 335
 336
 337 theorem pi_p_knm:
 338 \forall g: nat \to nat.
 339 \forall h2:nat \to nat \to nat.
 340 \forall h11,h12:nat \to nat.
 341 \forall k,n,m.
 342 \forall p1,p21:nat \to bool.
 343 \forall p22:nat \to nat \to bool.
 344 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to
 345 p21 (h11 x) = true ∧ p22 (h11 x) (h12 x) = true
 346 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x
 347 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
 348 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 349 p1 (h2 i j) = true \land
 350 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
 351 \land h2 i j < k) →
 352 (*
 353 Pi z < k | p1 z. g z =
 354 Pi x < n | p21 x. Pi y < m | p22 x y.g (h2 x y).
 355 *)
 356 pi_p k p1 g =
 357 pi_p n p21 (\lambda x:nat.pi_p m (p22 x) (\lambda y. g (h2 x y))).
 358 intros.
 359 unfold pi_p.unfold pi_p.
 360 apply (iter_p_gen_knm nat (S O) times sym_times assoc_times ? ? ? h11 h12)
 361   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 362   |assumption
 363   |assumption
 364   ]
 365 qed.
 366
 367 theorem pi_p_pi_p:
 368 \forall g: nat \to nat \to nat.
 369 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat.
 370 \forall n1,m1,n2,m2.
 371 \forall p11,p21:nat \to bool.
 372 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 373 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 374 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
 375 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
 376 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
 377 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to
 378 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
 379 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
 380 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
 381 pi_p n1 p11
 382      (\lambda x:nat .pi_p m1 (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 383 pi_p n2 p21
 384     (\lambda x:nat .pi_p m2 (p22 x)  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y))).
 385 intros.
 386 unfold pi_p.unfold pi_p.
 387 apply (iter_p_gen_2_eq ? ? ? sym_times assoc_times ? ? ? ? h21 h22)
 388   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 389   |assumption
 390   |assumption
 391   ]
 392 qed.
 393
 394 theorem pi_p_pi_p1:
 395 \forall g: nat \to nat \to nat.
 396 \forall n,m.
 397 \forall p11,p21:nat \to bool.
 398 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 399 (\forall x,y. x < n \to y < m \to
 400  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
 401 pi_p n p11 (\lambda x:nat.pi_p m (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 402 pi_p m p21 (\lambda y:nat.pi_p n (p22 y) (\lambda x. g x y)).
 403 intros.
 404 unfold pi_p.unfold pi_p.
 405 apply (iter_p_gen_iter_p_gen ? ? ? sym_times assoc_times)
 406   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 407   |assumption
 408   ]
 409 qed. *)