matita/matita/lib/arithmetics/big_pi.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "arithmetics/primes.ma".
  13 include "arithmetics/bigops.ma".
  14
  15 theorem sigma_const: ∀n:nat. ∑_{i<n} 1 = n.
  16 #n elim n // #n1 >bigop_Strue //
  17 qed.
  18
  19 (* monotonicity; these roperty should be expressed at a more
  20 genral level *)
  21
  22 theorem le_pi:
  23 ∀n.∀p:nat → bool.∀g1,g2:nat → nat.
  24   (∀i.i<n → p i = true → g1 i ≤ g2 i ) →
  25   ∏_{i < n | p i} (g1 i) ≤ ∏_{i < n | p i} (g2 i).
  26 #n #p #g1 #g2 elim n
  27   [#_ @le_n
  28   |#n1 #Hind #Hle cases (true_or_false (p n1)) #Hcase
  29     [ >bigop_Strue // >bigop_Strue // @le_times
  30       [@Hle // |@Hind #i #lti #Hpi @Hle [@lt_to_le @le_S_S @lti|@Hpi]]
  31     |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // @Hind
  32      #i #lti #Hpi @Hle [@lt_to_le @le_S_S @lti|@Hpi]
  33     ]
  34   ]
  35 qed.
  36
  37 theorem exp_sigma: ∀n,a,p.
  38   ∏_{i < n | p i} a = exp a (∑_{i < n | p i} 1).
  39 #n #a #p elim n // #n1 cases (true_or_false (p n1)) #Hcase
  40   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //]
  41 qed.
  42
  43 theorem times_pi: ∀n,p,f,g.
  44   ∏_{i<n|p i}(f i*g i) = ∏_{i<n|p i}(f i) * ∏_{i<n|p i}(g i).
  45 #n #p #f #g elim n // #n1 cases (true_or_false (p n1)) #Hcase #Hind
  46   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // >bigop_Strue //
  47   |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //
  48   ]
  49 qed.
  50
  51 (*
  52 theorem true_to_pi_p_Sn: ∀n,p,g.
  53   p n = true \to pi_p (S n) p g = (g n)*(pi_p n p g).
  54 intros.
  55 unfold pi_p.
  56 apply true_to_iter_p_gen_Sn.
  57 assumption.
  58 qed.
  59
  60 theorem false_to_pi_p_Sn:
  61 \forall n:nat. \forall p:nat \to bool. \forall g:nat \to nat.
  62 p n = false \to pi_p (S n) p g = pi_p n p g.
  63 intros.
  64 unfold pi_p.
  65 apply false_to_iter_p_gen_Sn.
  66 assumption.
  67 qed.
  68
  69 theorem eq_pi_p: \forall p1,p2:nat \to bool.
  70 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  71 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  72 (\forall x.  x < n \to g1 x = g2 x) \to
  73 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  74 intros.
  75 unfold pi_p.
  76 apply eq_iter_p_gen;
  77 assumption.
  78 qed.
  79
  80 theorem eq_pi_p1: \forall p1,p2:nat \to bool.
  81 \forall g1,g2: nat \to nat.\forall n.
  82 (\forall x.  x < n \to p1 x = p2 x) \to
  83 (\forall x.  x < n \to p1 x = true \to g1 x = g2 x) \to
  84 pi_p n p1 g1 = pi_p n p2 g2.
  85 intros.
  86 unfold pi_p.
  87 apply eq_iter_p_gen1;
  88 assumption.
  89 qed.
  90
  91 theorem pi_p_false:
  92 \forall g: nat \to nat.\forall n.pi_p n (\lambda x.false) g = S O.
  93 intros.
  94 unfold pi_p.
  95 apply iter_p_gen_false.
  96 qed.
  97
  98 theorem pi_p_times: \forall n,k:nat.\forall p:nat \to bool.
  99 \forall g: nat \to nat.
 100 pi_p (k+n) p g
 101 = pi_p k (\lambda x.p (x+n)) (\lambda x.g (x+n)) * pi_p n p g.
 102 intros.
 103 unfold pi_p.
 104 apply (iter_p_gen_plusA nat n k p g (S O) times)
 105 [ apply sym_times.
 106 | intros.
 107   apply sym_eq.
 108   apply times_n_SO
 109 | apply associative_times
 110 ]
 111 qed.
 112
 113 theorem false_to_eq_pi_p: \forall n,m:nat.n \le m \to
 114 \forall p:nat \to bool.
 115 \forall g: nat \to nat. (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to
 116 p i = false) \to pi_p m p g = pi_p n p g.
 117 intros.
 118 unfold pi_p.
 119 apply (false_to_eq_iter_p_gen);
 120 assumption.
 121 qed.
 122
 123 theorem or_false_eq_SO_to_eq_pi_p:
 124 \forall n,m:nat.\forall p:nat \to bool.
 125 \forall g: nat \to nat.
 126 n \le m \to (\forall i:nat. n \le i \to i < m \to p i = false \lor g i = S O)
 127 \to pi_p m p g = pi_p n p g.
 128 intros.
 129 unfold pi_p.
 130 apply or_false_eq_baseA_to_eq_iter_p_gen
 131   [intros.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity
 132   |assumption
 133   |assumption
 134   ]
 135 qed.
 136
 137 theorem pi_p2 :
 138 \forall n,m:nat.
 139 \forall p1,p2:nat \to bool.
 140 \forall g: nat \to nat \to nat.
 141 pi_p (n*m)
 142   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (mod x m)))
 143   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 144 pi_p n p1
 145   (\lambda x.pi_p m p2 (g x)).
 146 intros.
 147 unfold pi_p.
 148 apply (iter_p_gen2 n m p1 p2 nat g (S O) times)
 149 [ apply sym_times
 150 | apply associative_times
 151 | intros.
 152   apply sym_eq.
 153   apply times_n_SO
 154 ]
 155 qed.
 156
 157 theorem pi_p2' :
 158 \forall n,m:nat.
 159 \forall p1:nat \to bool.
 160 \forall p2:nat \to nat \to bool.
 161 \forall g: nat \to nat \to nat.
 162 pi_p (n*m)
 163   (\lambda x.andb (p1 (div x m)) (p2 (div x m) (mod x  m)))
 164   (\lambda x.g (div x m) (mod x m)) =
 165 pi_p n p1
 166   (\lambda x.pi_p m (p2 x) (g x)).
 167 intros.
 168 unfold pi_p.
 169 apply (iter_p_gen2' n m p1 p2 nat g (S O) times)
 170 [ apply sym_times
 171 | apply associative_times
 172 | intros.
 173   apply sym_eq.
 174   apply times_n_SO
 175 ]
 176 qed.
 177
 178 lemma pi_p_gi: \forall g: nat \to nat.
 179 \forall n,i.\forall p:nat \to bool.i < n \to p i = true \to
 180 pi_p n p g = g i * pi_p n (\lambda x. andb (p x) (notb (eqb x i))) g.
 181 intros.
 182 unfold pi_p.
 183 apply (iter_p_gen_gi)
 184 [ apply sym_times
 185 | apply associative_times
 186 | intros.
 187   apply sym_eq.
 188   apply times_n_SO
 189 | assumption
 190 | assumption
 191 ]
 192 qed.
 193
 194 theorem eq_pi_p_gh:
 195 \forall g,h,h1: nat \to nat.\forall n,n1.
 196 \forall p1,p2:nat \to bool.
 197 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to p2 (h i) = true) \to
 198 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h1 (h i) = i) \to
 199 (\forall i. i < n \to p1 i = true \to h i < n1) \to
 200 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to p1 (h1 j) = true) \to
 201 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h (h1 j) = j) \to
 202 (\forall j. j < n1 \to p2 j = true \to h1 j < n) \to
 203 pi_p n p1 (\lambda x.g(h x)) = pi_p n1 p2 g.
 204 intros.
 205 unfold pi_p.
 206 apply (eq_iter_p_gen_gh nat (S O) times ? ? ? g h h1 n n1 p1 p2)
 207 [ apply sym_times
 208 | apply associative_times
 209 | intros.
 210   apply sym_eq.
 211   apply times_n_SO
 212 | assumption
 213 | assumption
 214 | assumption
 215 | assumption
 216 | assumption
 217 | assumption
 218 ]
 219 qed.
 220
 221 theorem exp_sigma_p: \forall n,a,p.
 222 pi_p n p (\lambda x.a) = (exp a (sigma_p n p (\lambda x.S O))).
 223 intros.
 224 elim n
 225   [reflexivity
 226   |apply (bool_elim ? (p n1))
 227     [intro.
 228      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 229       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 230         [simplify.
 231          rewrite > H.
 232          reflexivity.
 233         |assumption
 234         ]
 235       |assumption
 236       ]
 237     |intro.
 238      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 239       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
 240         [simplify.assumption
 241         |assumption
 242         ]
 243       |assumption
 244       ]
 245     ]
 246   ]
 247 qed.
 248
 249 theorem exp_sigma_p1: \forall n,a,p,f.
 250 pi_p n p (\lambda x.(exp a (f x))) = (exp a (sigma_p n p f)).
 251 intros.
 252 elim n
 253   [reflexivity
 254   |apply (bool_elim ? (p n1))
 255     [intro.
 256      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 257       [rewrite > true_to_sigma_p_Sn
 258         [simplify.
 259          rewrite > H.
 260          rewrite > exp_plus_times.
 261          reflexivity.
 262         |assumption
 263         ]
 264       |assumption
 265       ]
 266     |intro.
 267      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 268       [rewrite > false_to_sigma_p_Sn
 269         [simplify.assumption
 270         |assumption
 271         ]
 272       |assumption
 273       ]
 274     ]
 275   ]
 276 qed.
 277
 278 theorem times_pi_p: \forall n,p,f,g.
 279 pi_p n p (\lambda x.f x*g x) = pi_p n p f * pi_p n p  g.
 280 intros.
 281 elim n
 282   [simplify.reflexivity
 283   |apply (bool_elim ? (p n1))
 284     [intro.
 285      rewrite > true_to_pi_p_Sn
 286       [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 287         [rewrite > true_to_pi_p_Sn
 288           [rewrite > H.autobatch
 289           |assumption
 290           ]
 291         |assumption
 292         ]
 293       |assumption
 294       ]
 295     |intro.
 296      rewrite > false_to_pi_p_Sn
 297       [rewrite > false_to_pi_p_Sn
 298         [rewrite > false_to_pi_p_Sn;assumption
 299         |assumption
 300         ]
 301       |assumption
 302       ]
 303     ]
 304   ]
 305 qed.
 306
 307 theorem pi_p_SO: \forall n,p.
 308 pi_p n p (\lambda i.S O) = S O.
 309 intros.elim n
 310   [reflexivity
 311   |simplify.elim (p n1)
 312     [simplify.rewrite < plus_n_O.assumption
 313     |simplify.assumption
 314     ]
 315   ]
 316 qed.
 317
 318 theorem exp_pi_p: \forall n,m,p,f.
 319 pi_p n p (\lambda x.exp (f x) m) = exp (pi_p n p f) m.
 320 intros.
 321 elim m
 322   [simplify.apply pi_p_SO
 323   |simplify.
 324    rewrite > times_pi_p.
 325    rewrite < H.
 326    reflexivity
 327   ]
 328 qed.
 329
 330 theorem exp_times_pi_p: \forall n,m,k,p,f.
 331 pi_p n p (\lambda x.exp k (m*(f x))) =
 332 exp (pi_p n p (\lambda x.exp k (f x))) m.
 333 intros.
 334 apply (trans_eq ? ? (pi_p n p (\lambda x.(exp (exp k (f x)) m))))
 335   [apply eq_pi_p;intros
 336     [reflexivity
 337     |apply sym_eq.rewrite > sym_times.
 338      apply exp_exp_times
 339     ]
 340   |apply exp_pi_p
 341   ]
 342 qed.
 343
 344
 345 theorem pi_p_knm:
 346 \forall g: nat \to nat.
 347 \forall h2:nat \to nat \to nat.
 348 \forall h11,h12:nat \to nat.
 349 \forall k,n,m.
 350 \forall p1,p21:nat \to bool.
 351 \forall p22:nat \to nat \to bool.
 352 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to
 353 p21 (h11 x) = true ∧ p22 (h11 x) (h12 x) = true
 354 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x
 355 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
 356 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 357 p1 (h2 i j) = true \land
 358 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
 359 \land h2 i j < k) →
 360 (*
 361 Pi z < k | p1 z. g z =
 362 Pi x < n | p21 x. Pi y < m | p22 x y.g (h2 x y).
 363 *)
 364 pi_p k p1 g =
 365 pi_p n p21 (\lambda x:nat.pi_p m (p22 x) (\lambda y. g (h2 x y))).
 366 intros.
 367 unfold pi_p.unfold pi_p.
 368 apply (iter_p_gen_knm nat (S O) times sym_times assoc_times ? ? ? h11 h12)
 369   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 370   |assumption
 371   |assumption
 372   ]
 373 qed.
 374
 375 theorem pi_p_pi_p:
 376 \forall g: nat \to nat \to nat.
 377 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat.
 378 \forall n1,m1,n2,m2.
 379 \forall p11,p21:nat \to bool.
 380 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 381 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 382 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
 383 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
 384 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
 385 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to
 386 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
 387 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
 388 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
 389 pi_p n1 p11
 390      (\lambda x:nat .pi_p m1 (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 391 pi_p n2 p21
 392     (\lambda x:nat .pi_p m2 (p22 x)  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y))).
 393 intros.
 394 unfold pi_p.unfold pi_p.
 395 apply (iter_p_gen_2_eq ? ? ? sym_times assoc_times ? ? ? ? h21 h22)
 396   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 397   |assumption
 398   |assumption
 399   ]
 400 qed.
 401
 402 theorem pi_p_pi_p1:
 403 \forall g: nat \to nat \to nat.
 404 \forall n,m.
 405 \forall p11,p21:nat \to bool.
 406 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 407 (\forall x,y. x < n \to y < m \to
 408  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
 409 pi_p n p11 (\lambda x:nat.pi_p m (p12 x) (\lambda y. g x y)) =
 410 pi_p m p21 (\lambda y:nat.pi_p n (p22 y) (\lambda x. g x y)).
 411 intros.
 412 unfold pi_p.unfold pi_p.
 413 apply (iter_p_gen_iter_p_gen ? ? ? sym_times assoc_times)
 414   [intros.apply sym_eq.apply times_n_SO.
 415   |assumption
 416   ]
 417 qed. *)