matita/matita/lib/arithmetics/bigops.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/types.ma".
  13 include "arithmetics/div_and_mod.ma".
  14
  15 definition sameF_upto: nat → ∀A.relation(nat→A)  ≝
  16 λk.λA.λf,g.∀i. i < k → f i = g i.
  17
  18 definition sameF_p: nat → (nat → bool) →∀A.relation(nat→A)  ≝
  19 λk,p,A,f,g.∀i. i < k → p i = true → f i = g i.
  20
  21 lemma sameF_upto_le: ∀A,f,g,n,m.
  22  n ≤m → sameF_upto m A f g → sameF_upto n A f g.
  23 #A #f #g #n #m #lenm #samef #i #ltin @samef /2/
  24 qed.
  25
  26 lemma sameF_p_le: ∀A,p,f,g,n,m.
  27  n ≤m → sameF_p m p A f g → sameF_p n p A f g.
  28 #A #p #f #g #n #m #lenm #samef #i #ltin #pi @samef /2/
  29 qed.
  30
  31 (*
  32 definition sumF ≝ λA.λf,g:nat → A.λn,i.
  33 if_then_else ? (leb n i) (g (i-n)) (f i).
  34
  35 lemma sumF_unfold: ∀A,f,g,n,i.
  36 sumF A f g n i = if_then_else ? (leb n i) (g (i-n)) (f i).
  37 // qed. *)
  38
  39 definition prodF ≝
  40  λA,B.λf:nat→A.λg:nat→B.λm,x.〈 f(div x m), g(mod x m) 〉.
  41
  42 (* bigop *)
  43 let rec bigop (n:nat) (p:nat → bool) (B:Type[0])
  44    (nil: B) (op: B → B → B)  (f: nat → B) ≝
  45   match n with
  46    [ O ⇒ nil
  47    | S k ⇒
  48       match p k with
  49       [true ⇒ op (f k) (bigop k p B nil op f)
  50       |false ⇒ bigop k p B nil op f]
  51    ].
  52
  53 notation "\big  [ op , nil ]_{ ident i < n | p } f"
  54   with precedence 80
  55 for @{'bigop $n $op $nil (λ${ident i}. $p) (λ${ident i}. $f)}.
  56
  57 notation "\big [ op , nil ]_{ ident i < n } f"
  58   with precedence 80
  59 for @{'bigop $n $op $nil (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f)}.
  60
  61 interpretation "bigop" 'bigop n op nil p f = (bigop n p ? nil op f).
  62
  63 notation "\big  [ op , nil ]_{ ident j ∈ [a,b[ | p } f"
  64   with precedence 80
  65 for @{'bigop ($b-$a) $op $nil (λ${ident j}.((λ${ident j}.$p) (${ident j}+$a)))
  66   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
  67
  68 notation "\big  [ op , nil ]_{ ident j ∈ [a,b[ } f"
  69   with precedence 80
  70 for @{'bigop ($b-$a) $op $nil (λ${ident j}.((λ${ident j}.true) (${ident j}+$a)))
  71   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
  72
  73 (* notation "\big  [ op , nil ]_{( term 55) a ≤ ident j < b | p } f"
  74   with precedence 80
  75 for @{\big[$op,$nil]_{${ident j} < ($b-$a) | ((λ${ident j}.$p) (${ident j}+$a))}((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a))}.
  76 *)
  77
  78 interpretation "bigop" 'bigop n op nil p f = (bigop n p ? nil op f).
  79
  80 lemma bigop_Strue: ∀k,p,B,nil,op.∀f:nat→B. p k = true →
  81   \big[op,nil]_{i < S k | p i}(f i) =
  82     op (f k) (\big[op,nil]_{i < k | p i}(f i)).
  83 #k #p #B #nil #op #f #H normalize >H // qed.
  84
  85 lemma bigop_Sfalse: ∀k,p,B,nil,op.∀f:nat→B. p k = false →
  86   \big[op,nil]_{ i < S k | p i}(f i) =
  87     \big[op,nil]_{i < k | p i}(f i).
  88 #k #p #B #nil #op #f #H normalize >H // qed.
  89
  90 lemma same_bigop : ∀k,p1,p2,B,nil,op.∀f,g:nat→B.
  91   sameF_upto k bool p1 p2 → sameF_p k p1 B f g →
  92   \big[op,nil]_{i < k | p1 i}(f i) =
  93     \big[op,nil]_{i < k | p2 i}(g i).
  94 #k #p1 #p2 #B #nil #op #f #g (elim k) //
  95 #n #Hind #samep #samef normalize >Hind /2/
  96 <(samep … (le_n …)) cases(true_or_false (p1 n)) #H1 >H1
  97 normalize // <(samef … (le_n …) H1) //
  98 qed.
  99
 100 theorem pad_bigop: ∀k,n,p,B,nil,op.∀f:nat→B. n ≤ k →
 101 \big[op,nil]_{i < n | p i}(f i)
 102   = \big[op,nil]_{i < k | if leb n i then false else p i}(f i).
 103 #k #n #p #B #nil #op #f #lenk (elim lenk)
 104   [@same_bigop #i #lti // >(not_le_to_leb_false …) /2/
 105   |#j #leup #Hind >bigop_Sfalse >(le_to_leb_true … leup) //
 106   ] qed.
 107
 108 record Aop (A:Type[0]) (nil:A) : Type[0] ≝
 109   {op :2> A → A → A;
 110    nill:∀a. op nil a = a;
 111    nilr:∀a. op a nil = a;
 112    assoc: ∀a,b,c.op a (op b c) = op (op a b) c
 113   }.
 114
 115 theorem bigop_sum: ∀k1,k2,p1,p2,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f,g:nat→B.
 116 op (\big[op,nil]_{i<k1|p1 i}(f i)) \big[op,nil]_{i<k2|p2 i}(g i) =
 117       \big[op,nil]_{i<k1+k2|if leb k2 i then p1 (i-k2) else p2 i}
 118         (if leb k2 i then f (i-k2) else g i).
 119 #k1 #k2 #p1 #p2 #B #nil #op #f #g (elim k1)
 120   [normalize >nill @same_bigop #i #lti
 121    >(lt_to_leb_false … lti) normalize /2/
 122   |#i #Hind normalize <minus_plus_m_m (cases (p1 i))
 123    >(le_to_leb_true … (le_plus_n …)) normalize <Hind //
 124    <assoc //
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma plus_minus1: ∀a,b,c. c ≤ b → a + (b -c) = a + b -c.
 129 #a #b #c #lecb @sym_eq @plus_to_minus >(commutative_plus c)
 130 >associative_plus <plus_minus_m_m //
 131 qed.
 132
 133 theorem bigop_I: ∀n,p,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f:nat→B.
 134 \big[op,nil]_{i∈[0,n[ |p i}(f i) = \big[op,nil]_{i < n|p i}(f i).
 135 #n #p #B #nil #op #f <minus_n_O @same_bigop //
 136 qed.
 137
 138 theorem bigop_sumI: ∀a,b,c,p,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f:nat→B.
 139 a ≤ b → b ≤ c →
 140 \big[op,nil]_{i∈[a,c[ |p i}(f i) =
 141   op (\big[op,nil]_{i ∈ [b,c[ |p i}(f i))
 142       \big[op,nil]_{i ∈ [a,b[ |p i}(f i).
 143 #a #b # c #p #B #nil #op #f #leab #lebc
 144 >(plus_minus_m_m (c-a) (b-a)) in ⊢ (??%?); /2/
 145 >minus_plus >(commutative_plus a) <plus_minus_m_m //
 146 >bigop_sum (cut (∀i. b -a ≤ i → i+a = i-(b-a)+b))
 147   [#i #lei >plus_minus // <plus_minus1
 148      [@eq_f @sym_eq @plus_to_minus /2/ | /2/]]
 149 #H @same_bigop #i #ltic @leb_elim normalize // #lei <H //
 150 qed.
 151
 152 theorem bigop_a: ∀a,b,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f:nat→B. a ≤ b →
 153 \big[op,nil]_{i∈[a,S b[ }(f i) =
 154   op (\big[op,nil]_{i ∈ [a,b[ }(f (S i))) (f a).
 155 #a #b #B #nil #op #f #leab
 156 >(bigop_sumI a (S a) (S b)) [|@le_S_S //|//] @eq_f2
 157   [@same_bigop // |<minus_Sn_n normalize @nilr]
 158 qed.
 159
 160 theorem bigop_0: ∀n,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f:nat→B.
 161 \big[op,nil]_{i < S n}(f i) =
 162   op (\big[op,nil]_{i < n}(f (S i))) (f 0).
 163 #n #B #nil #op #f
 164 <bigop_I >bigop_a [|//] @eq_f2 [|//] <minus_n_O
 165 @same_bigop //
 166 qed.
 167
 168 theorem bigop_prod: ∀k1,k2,p1,p2,B.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f: nat →nat → B.
 169 \big[op,nil]_{x<k1|p1 x}(\big[op,nil]_{i<k2|p2 x i}(f x i)) =
 170   \big[op,nil]_{i<k1*k2|andb (p1 (div i k2)) (p2 (div i k2) (i \mod k2))}
 171      (f (div i k2) (i \mod k2)).
 172 #k1 #k2 #p1 #p2 #B #nil #op #f (elim k1) //
 173 #n #Hind cases(true_or_false (p1 n)) #Hp1
 174   [>bigop_Strue // >Hind >bigop_sum @same_bigop
 175    #i #lti @leb_elim // #lei cut (i = n*k2+(i-n*k2)) /2/
 176    #eqi [|#H] >eqi in ⊢ (???%);
 177      >div_plus_times /2/ >Hp1 >(mod_plus_times …) /2/
 178   |>bigop_Sfalse // >Hind >(pad_bigop (S n*k2)) // @same_bigop
 179    #i #lti @leb_elim // #lei cut (i = n*k2+(i-n*k2)) /2/
 180    #eqi >eqi in ⊢ (???%); >div_plus_times /2/
 181   ]
 182 qed.
 183
 184 record ACop (A:Type[0]) (nil:A) : Type[0] ≝
 185   {aop :> Aop A nil;
 186    comm: ∀a,b.aop a b = aop b a
 187   }.
 188
 189 lemma bigop_op: ∀k,p,B.∀nil.∀op:ACop B nil.∀f,g: nat → B.
 190 op (\big[op,nil]_{i<k|p i}(f i)) (\big[op,nil]_{i<k|p i}(g i)) =
 191   \big[op,nil]_{i<k|p i}(op (f i) (g i)).
 192 #k #p #B #nil #op #f #g (elim k) [normalize @nill]
 193 -k #k #Hind (cases (true_or_false (p k))) #H
 194   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // >bigop_Strue //
 195    normalize <assoc <assoc in ⊢ (???%); @eq_f >assoc >comm in ⊢ (??(????%?)?);
 196    <assoc @eq_f @Hind
 197   |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //
 198   ]
 199 qed.
 200
 201 lemma bigop_diff: ∀p,B.∀nil.∀op:ACop B nil.∀f:nat → B.∀i,n.
 202   i < n → p i = true →
 203   \big[op,nil]_{x<n|p x}(f x)=
 204     op (f i) (\big[op,nil]_{x<n|andb(notb(eqb i x))(p x)}(f x)).
 205 #p #B #nil #op #f #i #n (elim n)
 206   [#ltO @False_ind /2/
 207   |#n #Hind #lein #pi cases (le_to_or_lt_eq … (le_S_S_to_le …lein)) #Hi
 208     [cut (andb(notb(eqb i n))(p n) = (p n))
 209       [>(not_eq_to_eqb_false … (lt_to_not_eq … Hi)) //] #Hcut
 210      cases (true_or_false (p n)) #pn
 211       [>bigop_Strue // >bigop_Strue //
 212        normalize >assoc >(comm ?? op (f i) (f n)) <assoc >Hind //
 213       |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse // >Hind //
 214       ]
 215     |<Hi >bigop_Strue // @eq_f >bigop_Sfalse
 216        [@same_bigop // #k #ltki >not_eq_to_eqb_false /2/
 217        |>eq_to_eqb_true //
 218        ]
 219      ]
 220    ]
 221 qed.
 222
 223 (* range *)
 224 record range (A:Type[0]): Type[0] ≝
 225   {enum:nat→A; upto:nat; filter:nat→bool}.
 226
 227 definition sub_hk: (nat→nat)→(nat→nat)→∀A:Type[0].relation (range A) ≝
 228 λh,k,A,I,J.∀i.i<(upto A I) → (filter A I i)=true →
 229   (h i < upto A J
 230   ∧ filter A J (h i) = true
 231   ∧ k (h i) = i).
 232
 233 definition iso: ∀A:Type[0].relation (range A) ≝
 234   λA,I,J.∃h,k.
 235     (∀i. i < (upto A I) → (filter A I i) = true →
 236        enum A I i = enum A J (h i)) ∧
 237     sub_hk h k A I J ∧ sub_hk k h A J I.
 238
 239 lemma sub_hkO: ∀h,k,A,I,J. upto A I = 0 → sub_hk h k A I J.
 240 #h #k #A #I #J #up0 #i #lti >up0 @False_ind /2/
 241 qed.
 242
 243 lemma sub0_to_false: ∀h,k,A,I,J. upto A I = 0 → sub_hk h k A J I →
 244   ∀i. i < upto A J → filter A J i = false.
 245 #h #k #A #I #J #up0 #sub #i #lti cases(true_or_false (filter A J i)) //
 246 #ptrue (cases (sub i lti ptrue)) * #hi @False_ind /2/
 247 qed.
 248
 249 lemma sub_lt: ∀A,e,p,n,m. n ≤ m →
 250   sub_hk (λx.x) (λx.x) A (mk_range A e n p) (mk_range A e m p).
 251 #A #e #f #n #m #lenm #i #lti #fi % // % /2/
 252 qed.
 253
 254 theorem transitive_sub: ∀h1,k1,h2,k2,A,I,J,K.
 255   sub_hk h1 k1 A I J → sub_hk h2 k2 A J K →
 256     sub_hk (λx.h2(h1 x)) (λx.k1(k2 x)) A I K.
 257 #h1 #k1 #h2 #k2 #A #I #J #K #sub1 #sub2 #i #lti #fi
 258 cases(sub1 i lti fi) * #lth1i #fh1i #ei
 259 cases(sub2 (h1 i) lth1i fh1i) * #H1 #H2 #H3 % // % //
 260 qed.
 261
 262 theorem bigop_iso: ∀n1,n2,p1,p2,B.∀nil.∀op:ACop B nil.∀f1,f2.
 263   iso B (mk_range B f1 n1 p1) (mk_range B f2 n2 p2) →
 264   \big[op,nil]_{i<n1|p1 i}(f1 i) = \big[op,nil]_{i<n2|p2 i}(f2 i).
 265 #n1 #n2 #p1 #p2 #B #nil #op #f1 #f2 * #h * #k * * #same
 266 @(le_gen ? n1) #i lapply p2 (elim i)
 267   [(elim n2) // #m #Hind #p2 #_ #sub1 #sub2
 268    >bigop_Sfalse
 269     [@(Hind ? (le_O_n ?)) [/2/ | @(transitive_sub … (sub_lt …) sub2) //]
 270     |@(sub0_to_false … sub2) //
 271     ]
 272   |#n #Hind #p2 #ltn #sub1 #sub2 (cut (n ≤n1)) [/2/] #len
 273    cases(true_or_false (p1 n)) #p1n
 274     [>bigop_Strue // (cases (sub1 n (le_n …) p1n)) * #hn #p2hn #eqn
 275      >(bigop_diff … (h n) n2) // >same //
 276      @eq_f @(Hind ? len)
 277       [#i #ltin #p1i (cases (sub1 i (le_S … ltin) p1i)) *
 278        #h1i #p2h1i #eqi % // % // >not_eq_to_eqb_false normalize //
 279        @(not_to_not ??? (lt_to_not_eq ? ? ltin)) //
 280       |#j #ltj #p2j (cases (sub2 j ltj (andb_true_r …p2j))) *
 281        #ltkj #p1kj #eqj % // % //
 282        (cases (le_to_or_lt_eq …(le_S_S_to_le …ltkj))) //
 283        #eqkj @False_ind lapply p2j @eqb_elim
 284        normalize /2/
 285       ]
 286     |>bigop_Sfalse // @(Hind ? len)
 287       [@(transitive_sub … (sub_lt …) sub1) //
 288       |#i #lti #p2i cases(sub2 i lti p2i) * #ltki #p1ki #eqi
 289        % // % // cases(le_to_or_lt_eq …(le_S_S_to_le …ltki)) //
 290        #eqki @False_ind /2/
 291       ]
 292     ]
 293   ]
 294 qed.
 295
 296 (* distributivity *)
 297
 298 record Dop (A:Type[0]) (nil:A): Type[0] ≝
 299   {sum : ACop A nil;
 300    prod: A → A →A;
 301    null: \forall a. prod a nil = nil;
 302    distr: ∀a,b,c:A. prod a (sum b c) = sum (prod a b) (prod a c)
 303   }.
 304
 305 theorem bigop_distr: ∀n,p,B,nil.∀R:Dop B nil.∀f,a.
 306   let aop ≝ sum B nil R in
 307   let mop ≝ prod B nil R in
 308   mop a \big[aop,nil]_{i<n|p i}(f i) =
 309    \big[aop,nil]_{i<n|p i}(mop a (f i)).
 310 #n #p #B #nil #R #f #a normalize (elim n) [@null]
 311 #n #Hind (cases (true_or_false (p n))) #H
 312   [>bigop_Strue // >bigop_Strue // >(distr B nil R) >Hind //
 313   |>bigop_Sfalse // >bigop_Sfalse //
 314   ]
 315 qed.
 316
 317 (* Sigma e Pi *)
 318
 319 notation "∑_{ ident i < n | p } f"
 320   with precedence 80
 321 for @{'bigop $n plus 0 (λ${ident i}. $p) (λ${ident i}. $f)}.
 322
 323 notation "∑_{ ident i < n } f"
 324   with precedence 80
 325 for @{'bigop $n plus 0 (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f)}.
 326
 327 notation "∑_{ ident j ∈ [a,b[ } f"
 328   with precedence 80
 329 for @{'bigop ($b-$a) plus 0 (λ${ident j}.((λ${ident j}.true) (${ident j}+$a)))
 330   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
 331
 332 notation "∑_{ ident j ∈ [a,b[ | p } f"
 333   with precedence 80
 334 for @{'bigop ($b-$a) plus 0 (λ${ident j}.((λ${ident j}.$p) (${ident j}+$a)))
 335   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
 336
 337 notation "∏_{ ident i < n | p} f"
 338   with precedence 80
 339 for @{'bigop $n times 1 (λ${ident i}.$p) (λ${ident i}. $f)}.
 340
 341 notation "∏_{ ident i < n } f"
 342   with precedence 80
 343 for @{'bigop $n times 1 (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f)}.
 344
 345 notation "∏_{ ident j ∈ [a,b[ } f"
 346   with precedence 80
 347 for @{'bigop ($b-$a) times 1 (λ${ident j}.((λ${ident j}.true) (${ident j}+$a)))
 348   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
 349
 350 notation "∏_{ ident j ∈ [a,b[ | p } f"
 351   with precedence 80
 352 for @{'bigop ($b-$a) times 1 (λ${ident j}.((λ${ident j}.$p) (${ident j}+$a)))
 353   (λ${ident j}.((λ${ident j}.$f)(${ident j}+$a)))}.
 354
 355
 356 (*
 357
 358 definition p_ord_times \def
 359 \lambda p,m,x.
 360   match p_ord x p with
 361   [pair q r \Rightarrow r*m+q].
 362
 363 theorem  eq_p_ord_times: \forall p,m,x.
 364 p_ord_times p m x = (ord_rem x p)*m+(ord x p).
 365 intros.unfold p_ord_times. unfold ord_rem.
 366 unfold ord.
 367 elim (p_ord x p).
 368 reflexivity.
 369 qed.
 370
 371 theorem div_p_ord_times:
 372 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_times p m x / m = ord_rem x p.
 373 intros.rewrite > eq_p_ord_times.
 374 apply div_plus_times.
 375 assumption.
 376 qed.
 377
 378 theorem mod_p_ord_times:
 379 \forall p,m,x. ord x p < m \to p_ord_times p m x \mod m = ord x p.
 380 intros.rewrite > eq_p_ord_times.
 381 apply mod_plus_times.
 382 assumption.
 383 qed.
 384
 385 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 386 intros.
 387 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 388   [assumption
 389   |apply False_ind.
 390    rewrite < H1 in H.
 391    rewrite < times_n_O in H.
 392    apply (not_le_Sn_O ? H)
 393   ]
 394 qed.
 395
 396 theorem iter_p_gen_knm:
 397 \forall A:Type.
 398 \forall baseA: A.
 399 \forall plusA: A \to A \to A.
 400 (symmetric A plusA) \to
 401 (associative A plusA) \to
 402 (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)\to
 403 \forall g: nat \to A.
 404 \forall h2:nat \to nat \to nat.
 405 \forall h11,h12:nat \to nat.
 406 \forall k,n,m.
 407 \forall p1,p21:nat \to bool.
 408 \forall p22:nat \to nat \to bool.
 409 (\forall x. x < k \to p1 x = true \to
 410 p21 (h11 x) = true \land p22 (h11 x) (h12 x) = true
 411 \land h2 (h11 x) (h12 x) = x
 412 \land (h11 x) < n \land (h12 x) < m) \to
 413 (\forall i,j. i < n \to j < m \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 414 p1 (h2 i j) = true \land
 415 h11 (h2 i j) = i \land h12 (h2 i j) = j
 416 \land h2 i j < k) \to
 417 iter_p_gen k p1 A g baseA plusA =
 418 iter_p_gen n p21 A (\lambda x:nat.iter_p_gen m (p22 x) A (\lambda y. g (h2 x y)) baseA plusA) baseA plusA.
 419 intros.
 420 rewrite < (iter_p_gen2' n m p21 p22 ? ? ? ? H H1 H2).
 421 apply sym_eq.
 422 apply (eq_iter_p_gen_gh A baseA plusA H H1 H2 g ? (\lambda x.(h11 x)*m+(h12 x)))
 423  [intros.
 424   elim (H4 (i/m) (i \mod m));clear H4
 425    [elim H7.clear H7.
 426     elim H4.clear H4.
 427     assumption
 428    |apply (lt_times_to_lt_div ? ? ? H5)
 429    |apply lt_mod_m_m.
 430     apply (lt_times_to_lt_O ? ? ? H5)
 431    |apply (andb_true_true ? ? H6)
 432    |apply (andb_true_true_r ? ? H6)
 433    ]
 434  |intros.
 435   elim (H4 (i/m) (i \mod m));clear H4
 436    [elim H7.clear H7.
 437     elim H4.clear H4.
 438     rewrite > H10.
 439     rewrite > H9.
 440     apply sym_eq.
 441     apply div_mod.
 442     apply (lt_times_to_lt_O ? ? ? H5)
 443    |apply (lt_times_to_lt_div ? ? ? H5)
 444    |apply lt_mod_m_m.
 445     apply (lt_times_to_lt_O ? ? ? H5)
 446    |apply (andb_true_true ? ? H6)
 447    |apply (andb_true_true_r ? ? H6)
 448    ]
 449  |intros.
 450   elim (H4 (i/m) (i \mod m));clear H4
 451    [elim H7.clear H7.
 452     elim H4.clear H4.
 453     assumption
 454    |apply (lt_times_to_lt_div ? ? ? H5)
 455    |apply lt_mod_m_m.
 456     apply (lt_times_to_lt_O ? ? ? H5)
 457    |apply (andb_true_true ? ? H6)
 458    |apply (andb_true_true_r ? ? H6)
 459    ]
 460  |intros.
 461   elim (H3 j H5 H6).
 462   elim H7.clear H7.
 463   elim H9.clear H9.
 464   elim H7.clear H7.
 465   rewrite > div_plus_times
 466    [rewrite > mod_plus_times
 467      [rewrite > H9.
 468       rewrite > H12.
 469       reflexivity.
 470      |assumption
 471      ]
 472    |assumption
 473    ]
 474  |intros.
 475   elim (H3 j H5 H6).
 476   elim H7.clear H7.
 477   elim H9.clear H9.
 478   elim H7.clear H7.
 479   rewrite > div_plus_times
 480    [rewrite > mod_plus_times
 481      [assumption
 482      |assumption
 483      ]
 484    |assumption
 485    ]
 486  |intros.
 487   elim (H3 j H5 H6).
 488   elim H7.clear H7.
 489   elim H9.clear H9.
 490   elim H7.clear H7.
 491   apply (lt_to_le_to_lt ? ((h11 j)*m+m))
 492    [apply monotonic_lt_plus_r.
 493     assumption
 494    |rewrite > sym_plus.
 495     change with ((S (h11 j)*m) \le n*m).
 496     apply monotonic_le_times_l.
 497     assumption
 498    ]
 499  ]
 500 qed.
 501
 502 theorem iter_p_gen_divides:
 503 \forall A:Type.
 504 \forall baseA: A.
 505 \forall plusA: A \to A \to A.
 506 \forall n,m,p:nat.O < n \to prime p \to Not (divides p n) \to
 507 \forall g: nat \to A.
 508 (symmetric A plusA) \to (associative A plusA) \to (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)
 509
 510 \to
 511
 512 iter_p_gen (S (n*(exp p m))) (\lambda x.divides_b x (n*(exp p m))) A g baseA plusA =
 513 iter_p_gen (S n) (\lambda x.divides_b x n) A
 514   (\lambda x.iter_p_gen (S m) (\lambda y.true) A (\lambda y.g (x*(exp p y))) baseA plusA) baseA plusA.
 515 intros.
 516 cut (O < p)
 517   [rewrite < (iter_p_gen2 ? ? ? ? ? ? ? ? H3 H4 H5).
 518    apply (trans_eq ? ?
 519     (iter_p_gen (S n*S m) (\lambda x:nat.divides_b (x/S m) n) A
 520        (\lambda x:nat.g (x/S m*(p)\sup(x\mod S m)))  baseA plusA) )
 521     [apply sym_eq.
 522      apply (eq_iter_p_gen_gh ? ? ? ? ? ? g ? (p_ord_times p (S m)))
 523       [ assumption
 524       | assumption
 525       | assumption
 526       |intros.
 527        lapply (divides_b_true_to_lt_O ? ? H H7).
 528        apply divides_to_divides_b_true
 529         [rewrite > (times_n_O O).
 530          apply lt_times
 531           [assumption
 532           |apply lt_O_exp.assumption
 533           ]
 534         |apply divides_times
 535           [apply divides_b_true_to_divides.assumption
 536           |apply (witness ? ? (p \sup (m-i \mod (S m)))).
 537            rewrite < exp_plus_times.
 538            apply eq_f.
 539            rewrite > sym_plus.
 540            apply plus_minus_m_m.
 541            autobatch by le_S_S_to_le, lt_mod_m_m, lt_O_S;
 542           ]
 543         ]
 544       |intros.
 545        lapply (divides_b_true_to_lt_O ? ? H H7).
 546        unfold p_ord_times.
 547        rewrite > (p_ord_exp1 p ? (i \mod (S m)) (i/S m))
 548         [change with ((i/S m)*S m+i \mod S m=i).
 549          apply sym_eq.
 550          apply div_mod.
 551          apply lt_O_S
 552         |assumption
 553         |unfold Not.intro.
 554          apply H2.
 555          apply (trans_divides ? (i/ S m))
 556           [assumption|
 557            apply divides_b_true_to_divides;assumption]
 558         |apply sym_times.
 559         ]
 560       |intros.
 561        apply le_S_S.
 562        apply le_times
 563         [apply le_S_S_to_le.
 564          change with ((i/S m) < S n).
 565          apply (lt_times_to_lt_l m).
 566          apply (le_to_lt_to_lt ? i);[2:assumption]
 567          autobatch by eq_plus_to_le, div_mod, lt_O_S.
 568         |apply le_exp
 569           [assumption
 570           |apply le_S_S_to_le.
 571            apply lt_mod_m_m.
 572            apply lt_O_S
 573           ]
 574         ]
 575       |intros.
 576        cut (ord j p < S m)
 577         [rewrite > div_p_ord_times
 578           [apply divides_to_divides_b_true
 579             [apply lt_O_ord_rem
 580              [elim H1.assumption
 581              |apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 582                rewrite > (times_n_O O).
 583                apply lt_times
 584                [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 585              ]
 586            |cut (n = ord_rem (n*(exp p m)) p)
 587               [rewrite > Hcut2.
 588                apply divides_to_divides_ord_rem
 589                 [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 590                  rewrite > (times_n_O O).
 591                  apply lt_times
 592                  [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 593                  |rewrite > (times_n_O O).
 594                    apply lt_times
 595                   [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 596                |assumption
 597                |apply divides_b_true_to_divides.
 598                 assumption
 599                ]
 600               |unfold ord_rem.
 601               rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 602                 [reflexivity
 603                |assumption
 604                 |assumption
 605                |apply sym_times
 606                ]
 607              ]
 608             ]
 609           |assumption
 610           ]
 611         |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
 612           [apply le_S_S.
 613            rewrite > Hcut1.
 614            apply divides_to_le_ord
 615             [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 616              rewrite > (times_n_O O).
 617              apply lt_times
 618               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 619             |rewrite > (times_n_O O).
 620              apply lt_times
 621               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 622             |assumption
 623             |apply divides_b_true_to_divides.
 624              assumption
 625             ]
 626           |unfold ord.
 627            rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 628             [reflexivity
 629             |assumption
 630             |assumption
 631             |apply sym_times
 632             ]
 633           ]
 634         ]
 635       |intros.
 636        cut (ord j p < S m)
 637         [rewrite > div_p_ord_times
 638           [rewrite > mod_p_ord_times
 639             [rewrite > sym_times.
 640              apply sym_eq.
 641              apply exp_ord
 642               [elim H1.assumption
 643               |apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 644                rewrite > (times_n_O O).
 645                apply lt_times
 646                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 647               ]
 648            |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
 649              [apply le_S_S.
 650               rewrite > Hcut2.
 651               apply divides_to_le_ord
 652                [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 653                 rewrite > (times_n_O O).
 654                 apply lt_times
 655                  [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 656                |rewrite > (times_n_O O).
 657                 apply lt_times
 658                  [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 659                |assumption
 660                |apply divides_b_true_to_divides.
 661                 assumption
 662                ]
 663              |unfold ord.
 664               rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 665                 [reflexivity
 666                 |assumption
 667                 |assumption
 668                 |apply sym_times
 669                 ]
 670               ]
 671             ]
 672           |assumption
 673           ]
 674         |cut (m = ord (n*(exp p m)) p)
 675           [apply le_S_S.
 676            rewrite > Hcut1.
 677            apply divides_to_le_ord
 678             [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 679              rewrite > (times_n_O O).
 680              apply lt_times
 681               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 682             |rewrite > (times_n_O O).
 683              apply lt_times
 684               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 685             |assumption
 686             |apply divides_b_true_to_divides.
 687              assumption
 688             ]
 689           |unfold ord.
 690            rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 691             [reflexivity
 692             |assumption
 693             |assumption
 694             |apply sym_times
 695             ]
 696           ]
 697         ]
 698       |intros.
 699        rewrite > eq_p_ord_times.
 700        rewrite > sym_plus.
 701        apply (lt_to_le_to_lt ? (S m +ord_rem j p*S m))
 702         [apply lt_plus_l.
 703          apply le_S_S.
 704          cut (m = ord (n*(p \sup m)) p)
 705           [rewrite > Hcut1.
 706            apply divides_to_le_ord
 707             [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 708              rewrite > (times_n_O O).
 709              apply lt_times
 710               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 711             |rewrite > (times_n_O O).
 712              apply lt_times
 713               [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 714             |assumption
 715             |apply divides_b_true_to_divides.
 716              assumption
 717             ]
 718           |unfold ord.
 719            rewrite > sym_times.
 720            rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 721             [reflexivity
 722             |assumption
 723             |assumption
 724             |reflexivity
 725             ]
 726           ]
 727         |change with (S (ord_rem j p)*S m \le S n*S m).
 728          apply le_times_l.
 729          apply le_S_S.
 730          cut (n = ord_rem (n*(p \sup m)) p)
 731           [rewrite > Hcut1.
 732            apply divides_to_le
 733             [apply lt_O_ord_rem
 734               [elim H1.assumption
 735               |rewrite > (times_n_O O).
 736                apply lt_times
 737                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 738               ]
 739             |apply divides_to_divides_ord_rem
 740               [apply (divides_b_true_to_lt_O ? ? ? H7).
 741                rewrite > (times_n_O O).
 742                apply lt_times
 743                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 744               |rewrite > (times_n_O O).
 745                apply lt_times
 746                 [assumption|apply lt_O_exp.assumption]
 747               |assumption
 748               |apply divides_b_true_to_divides.
 749                assumption
 750               ]
 751             ]
 752         |unfold ord_rem.
 753          rewrite > sym_times.
 754          rewrite > (p_ord_exp1 p ? m n)
 755           [reflexivity
 756           |assumption
 757           |assumption
 758           |reflexivity
 759           ]
 760         ]
 761       ]
 762     ]
 763   |apply eq_iter_p_gen
 764
 765     [intros.
 766      elim (divides_b (x/S m) n);reflexivity
 767     |intros.reflexivity
 768     ]
 769   ]
 770 |elim H1.apply lt_to_le.assumption
 771 ]
 772 qed.
 773
 774
 775
 776 theorem iter_p_gen_2_eq:
 777 \forall A:Type.
 778 \forall baseA: A.
 779 \forall plusA: A \to A \to A.
 780 (symmetric A plusA) \to
 781 (associative A plusA) \to
 782 (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)\to
 783 \forall g: nat \to nat \to A.
 784 \forall h11,h12,h21,h22: nat \to nat \to nat.
 785 \forall n1,m1,n2,m2.
 786 \forall p11,p21:nat \to bool.
 787 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 788 (\forall i,j. i < n2 \to j < m2 \to p21 i = true \to p22 i j = true \to
 789 p11 (h11 i j) = true \land p12 (h11 i j) (h12 i j) = true
 790 \land h21 (h11 i j) (h12 i j) = i \land h22 (h11 i j) (h12 i j) = j
 791 \land h11 i j < n1 \land h12 i j < m1) \to
 792 (\forall i,j. i < n1 \to j < m1 \to p11 i = true \to p12 i j = true \to
 793 p21 (h21 i j) = true \land p22 (h21 i j) (h22 i j) = true
 794 \land h11 (h21 i j) (h22 i j) = i \land h12 (h21 i j) (h22 i j) = j
 795 \land (h21 i j) < n2 \land (h22 i j) < m2) \to
 796 iter_p_gen n1 p11 A
 797      (\lambda x:nat .iter_p_gen m1 (p12 x) A (\lambda y. g x y) baseA plusA)
 798      baseA plusA =
 799 iter_p_gen n2 p21 A
 800     (\lambda x:nat .iter_p_gen m2 (p22 x) A  (\lambda y. g (h11 x y) (h12 x y)) baseA plusA )
 801     baseA plusA.
 802
 803 intros.
 804 rewrite < (iter_p_gen2' ? ? ? ? ? ? ? ? H H1 H2).
 805 letin ha:= (\lambda x,y.(((h11 x y)*m1) + (h12 x y))).
 806 letin ha12:= (\lambda x.(h21 (x/m1) (x \mod m1))).
 807 letin ha22:= (\lambda x.(h22 (x/m1) (x \mod m1))).
 808
 809 apply (trans_eq ? ?
 810 (iter_p_gen n2 p21 A (\lambda x:nat. iter_p_gen m2 (p22 x) A
 811  (\lambda y:nat.(g (((h11 x y)*m1+(h12 x y))/m1) (((h11 x y)*m1+(h12 x y))\mod m1))) baseA plusA ) baseA plusA))
 812 [
 813   apply (iter_p_gen_knm A baseA plusA H H1 H2 (\lambda e. (g (e/m1) (e \mod m1))) ha ha12 ha22);intros
 814   [ elim (and_true ? ? H6).
 815     cut(O \lt m1)
 816     [ cut(x/m1 < n1)
 817       [ cut((x \mod m1) < m1)
 818         [ elim (H4 ? ? Hcut1 Hcut2 H7 H8).
 819           elim H9.clear H9.
 820           elim H11.clear H11.
 821           elim H9.clear H9.
 822           elim H11.clear H11.
 823           split
 824           [ split
 825             [ split
 826               [ split
 827                 [ assumption
 828                 | assumption
 829                 ]
 830               | unfold ha.
 831                 unfold ha12.
 832                 unfold ha22.
 833                 rewrite > H14.
 834                 rewrite > H13.
 835                 apply sym_eq.
 836                 apply div_mod.
 837                 assumption
 838               ]
 839             | assumption
 840             ]
 841           | assumption
 842           ]
 843         | apply lt_mod_m_m.
 844           assumption
 845         ]
 846       | apply (lt_times_n_to_lt m1)
 847         [ assumption
 848         | apply (le_to_lt_to_lt ? x)
 849           [ apply (eq_plus_to_le ? ? (x \mod m1)).
 850             apply div_mod.
 851             assumption
 852           | assumption
 853         ]
 854       ]
 855     ]
 856     | apply not_le_to_lt.unfold.intro.
 857       generalize in match H5.
 858       apply (le_n_O_elim ? H9).
 859       rewrite < times_n_O.
 860       apply le_to_not_lt.
 861       apply le_O_n.
 862     ]
 863   | elim (H3 ? ? H5 H6 H7 H8).
 864     elim H9.clear H9.
 865     elim H11.clear H11.
 866     elim H9.clear H9.
 867     elim H11.clear H11.
 868     cut(((h11 i j)*m1 + (h12 i j))/m1 = (h11 i j))
 869     [ cut(((h11 i j)*m1 + (h12 i j)) \mod m1 = (h12 i j))
 870       [ split
 871         [ split
 872           [ split
 873             [ apply true_to_true_to_andb_true
 874               [ rewrite > Hcut.
 875                 assumption
 876               | rewrite > Hcut1.
 877                 rewrite > Hcut.
 878                 assumption
 879               ]
 880             | unfold ha.
 881               unfold ha12.
 882               rewrite > Hcut1.
 883               rewrite > Hcut.
 884               assumption
 885             ]
 886           | unfold ha.
 887             unfold ha22.
 888             rewrite > Hcut1.
 889             rewrite > Hcut.
 890             assumption
 891           ]
 892         | cut(O \lt m1)
 893           [ cut(O \lt n1)
 894             [ apply (lt_to_le_to_lt ? ((h11 i j)*m1 + m1) )
 895               [ unfold ha.
 896                 apply (lt_plus_r).
 897                 assumption
 898               | rewrite > sym_plus.
 899                 rewrite > (sym_times (h11 i j) m1).
 900                 rewrite > times_n_Sm.
 901                 rewrite > sym_times.
 902                 apply (le_times_l).
 903                 assumption
 904               ]
 905             | apply not_le_to_lt.unfold.intro.
 906               generalize in match H12.
 907               apply (le_n_O_elim ? H11).
 908               apply le_to_not_lt.
 909               apply le_O_n
 910             ]
 911           | apply not_le_to_lt.unfold.intro.
 912             generalize in match H10.
 913             apply (le_n_O_elim ? H11).
 914             apply le_to_not_lt.
 915             apply le_O_n
 916           ]
 917         ]
 918       | rewrite > (mod_plus_times m1 (h11 i j) (h12 i j)).
 919         reflexivity.
 920         assumption
 921       ]
 922     | rewrite > (div_plus_times m1 (h11 i j) (h12 i j)).
 923       reflexivity.
 924       assumption
 925     ]
 926   ]
 927 | apply (eq_iter_p_gen1)
 928   [ intros. reflexivity
 929   | intros.
 930     apply (eq_iter_p_gen1)
 931     [ intros. reflexivity
 932     | intros.
 933       rewrite > (div_plus_times)
 934       [ rewrite > (mod_plus_times)
 935         [ reflexivity
 936         | elim (H3 x x1 H5 H7 H6 H8).
 937           assumption
 938         ]
 939       | elim (H3 x x1 H5 H7 H6 H8).
 940         assumption
 941       ]
 942     ]
 943   ]
 944 ]
 945 qed.
 946
 947 theorem iter_p_gen_iter_p_gen:
 948 \forall A:Type.
 949 \forall baseA: A.
 950 \forall plusA: A \to A \to A.
 951 (symmetric A plusA) \to
 952 (associative A plusA) \to
 953 (\forall a:A.(plusA a  baseA) = a)\to
 954 \forall g: nat \to nat \to A.
 955 \forall n,m.
 956 \forall p11,p21:nat \to bool.
 957 \forall p12,p22:nat \to nat \to bool.
 958 (\forall x,y. x < n \to y < m \to
 959  (p11 x \land p12 x y) = (p21 y \land p22 y x)) \to
 960 iter_p_gen n p11 A
 961   (\lambda x:nat.iter_p_gen m (p12 x) A (\lambda y. g x y) baseA plusA)
 962   baseA plusA =
 963 iter_p_gen m p21 A
 964   (\lambda y:nat.iter_p_gen n (p22 y) A  (\lambda x. g x y) baseA plusA )
 965   baseA plusA.
 966 intros.
 967 apply (iter_p_gen_2_eq A baseA plusA H H1 H2 (\lambda x,y. g x y) (\lambda x,y.y) (\lambda x,y.x) (\lambda x,y.y) (\lambda x,y.x)
 968        n m m n p11 p21 p12 p22)
 969   [intros.split
 970     [split
 971       [split
 972         [split
 973           [split
 974             [apply (andb_true_true ? (p12 j i)).
 975              rewrite > H3
 976               [rewrite > H6.rewrite > H7.reflexivity
 977               |assumption
 978               |assumption
 979               ]
 980             |apply (andb_true_true_r (p11 j)).
 981              rewrite > H3
 982               [rewrite > H6.rewrite > H7.reflexivity
 983               |assumption
 984               |assumption
 985               ]
 986             ]
 987           |reflexivity
 988           ]
 989         |reflexivity
 990         ]
 991       |assumption
 992       ]
 993     |assumption
 994     ]
 995   |intros.split
 996     [split
 997       [split
 998         [split
 999           [split
1000             [apply (andb_true_true ? (p22 j i)).
1001              rewrite < H3
1002               [rewrite > H6.rewrite > H7.reflexivity
1003               |assumption
1004               |assumption
1005               ]
1006             |apply (andb_true_true_r (p21 j)).
1007              rewrite < H3
1008               [rewrite > H6.rewrite > H7.reflexivity
1009               |assumption
1010               |assumption
1011               ]
1012             ]
1013           |reflexivity
1014           ]
1015         |reflexivity
1016         ]
1017       |assumption
1018       ]
1019     |assumption
1020     ]
1021   ]
1022 qed. *)