matita/matita/lib/arithmetics/lstar.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "arithmetics/nat.ma".
  13
  14 (* nat-labeled reflexive and transitive closure *****************************)
  15
  16 definition ltransitive: ∀B:Type[0]. predicate (ℕ→relation B) ≝ λB,R.
  17                         ∀l1,b1,b. R l1 b1 b → ∀l2,b2. R l2 b b2 → R (l1+l2) b1 b2.
  18
  19 definition inv_ltransitive: ∀B:Type[0]. predicate (ℕ→relation B) ≝
  20                             λB,R. ∀l1,l2,b1,b2. R (l1+l2) b1 b2 →
  21                             ∃∃b. R l1 b1 b & R l2 b b2.
  22
  23 inductive lstar (B:Type[0]) (R: relation B): ℕ→relation B ≝
  24 | lstar_O: ∀b. lstar B R 0 b b
  25 | lstar_S: ∀b1,b. R b1 b → ∀l,b2. lstar B R l b b2 → lstar B R (l+1) b1 b2
  26 .
  27
  28 fact lstar_ind_l_aux: ∀B,R,b2. ∀P:relation2 ℕ B.
  29                       P 0 b2 →
  30                       (∀l,b1,b. R b1 b → lstar … R l b b2 → P l b → P (l+1) b1) →
  31                       ∀l,b1,b. lstar … R l b1 b → b = b2 → P l b1.
  32 #B #R #b2 #P #H1 #H2 #l #b1 #b #H elim H -b -b1
  33 [ #b #H destruct /2 width=1/
  34 | #b #b0 #Hb0 #l #b1 #Hb01 #IH #H destruct /3 width=4/
  35 ]
  36 qed-.
  37
  38 (* imporeved version of lstar_ind with "left_parameter" *)
  39 lemma lstar_ind_l: ∀B,R,b2. ∀P:relation2 ℕ B.
  40                    P 0 b2 →
  41                    (∀l,b1,b. R b1 b → lstar … R l b b2 → P l b → P (l+1) b1) →
  42                    ∀l,b1. lstar … R l b1 b2 → P l b1.
  43 #B #R #b2 #P #H1 #H2 #l #b1 #Hb12
  44 @(lstar_ind_l_aux … H1 H2 … Hb12) //
  45 qed-.
  46
  47 lemma lstar_step: ∀B,R,b1,b2. R b1 b2 → lstar B R 1 b1 b2.
  48 /2 width=3/
  49 qed.
  50
  51 lemma lstar_inv_O: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 → 0 = l → b1 = b2.
  52 #B #R #l #b1 #b2 * -l -b1 -b2 //
  53 #b1 #b #_ #l #b2 #_ <plus_n_Sm #H destruct
  54 qed-.
  55
  56 lemma lstar_inv_S: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 →
  57                    ∀l0. l0+1 = l →
  58                    ∃∃b. R b1 b & lstar B R l0 b b2.
  59 #B #R #l #b1 #b2 * -l -b1 -b2
  60 [ #b #l0 <plus_n_Sm #H destruct
  61 | #b1 #b #Hb1 #l #b2 #Hb2 #l0 #H
  62   lapply (injective_plus_l … H) -H #H destruct /2 width=3/
  63 ]
  64 qed-.
  65
  66 lemma lstar_inv_step: ∀B,R,b1,b2. lstar B R 1 b1 b2 → R b1 b2.
  67 #B #R #b1 #b2 #H
  68 elim (lstar_inv_S … 1 … H 0) -H // #b #Hb1 #H
  69 <(lstar_inv_O … R … H ?) -H //
  70 qed-.
  71
  72 theorem lstar_singlevalued: ∀B,R. singlevalued … R →
  73                             ∀l. singlevalued … (lstar B R l).
  74 #B #R #HR #l #c #c1 #H @(lstar_ind_l … l c H) -l -c
  75 [ /2 width=5 by lstar_inv_O/
  76 | #l #b #b1 #Hb1 #_ #IHbc1 #c2 #H
  77   elim (lstar_inv_S … R … H l) -H // #b2 #Hb2 #Hbc2
  78   lapply (HR … Hb1 … Hb2) -b #H destruct /2 width=1/
  79 ]
  80 qed-.
  81
  82 theorem lstar_ltransitive: ∀B,R. ltransitive … (lstar B R).
  83 #B #R #l1 #b1 #b #H @(lstar_ind_l … l1 b1 H) -l1 -b1 // /3 width=3/
  84 qed-.
  85
  86 lemma lstar_inv_ltransitive: ∀B,R. inv_ltransitive … (lstar B R).
  87 #B #R #l1 @(nat_ind_plus … l1) -l1 /2 width=3/
  88 #l1 #IHl1 #l2 #b1 #b2 <plus_plus_comm_23 #H
  89 elim (lstar_inv_S … b2 H (l1+l2)) -H // #b #Hb1 #Hb2
  90 elim (IHl1 … Hb2) -IHl1 -Hb2 /3 width=3/
  91 qed-.
  92
  93 lemma lstar_dx: ∀B,R,l,b1,b. lstar B R l b1 b → ∀b2. R b b2 →
  94                 lstar B R (l+1) b1 b2.
  95 #B #R #l #b1 #b #H @(lstar_ind_l … l b1 H) -l -b1 /2 width=1/ /3 width=3/
  96 qed.
  97
  98 inductive lstar_r (B:Type[0]) (R: relation B): ℕ → relation B ≝
  99 | lstar_r_O: ∀b. lstar_r B R 0 b b
 100 | lstar_r_S: ∀l,b1,b. lstar_r B R l b1 b → ∀b2. R b b2 →
 101              lstar_r B R (l+1) b1 b2
 102 .
 103
 104 lemma lstar_r_sn: ∀B,R,l,b,b2. lstar_r B R l b b2 → ∀b1. R b1 b →
 105                   lstar_r B R (l+1) b1 b2.
 106 #B #R #l #b #b2 #H elim H -l -b2 /2 width=3/
 107 #l #b1 #b #_ #b2 #Hb2 #IHb1 #b0 #Hb01
 108 @(lstar_r_S … (l+1) … Hb2) -b2 /2 width=1/
 109 qed.
 110
 111 lemma lstar_lstar_r: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 → lstar_r B R l b1 b2.
 112 #B #R #l #b1 #b2 #H @(lstar_ind_l … l b1 H) -l -b1 // /2 width=3/
 113 qed.
 114
 115 lemma lstar_r_inv_lstar: ∀B,R,l,b1,b2. lstar_r B R l b1 b2 → lstar B R l b1 b2.
 116 #B #R #l #b1 #b2 #H elim H -l -b1 -b2 // /2 width=3/
 117 qed-.
 118
 119 fact lstar_ind_r_aux: ∀B,R,b1. ∀P:relation2 ℕ B.
 120                       P 0 b1 →
 121                       (∀l,b,b2. lstar … R l b1 b → R b b2 → P l b → P (l+1) b2) →
 122                       ∀l,b,b2. lstar … R l b b2 → b = b1 → P l b2.
 123 #B #R #b1 #P #H1 #H2 #l #b #b2 #H elim (lstar_lstar_r … l b b2 H) -l -b -b2
 124 [ #b #H destruct //
 125 | #l #b #b0 #Hb0 #b2 #Hb02 #IHb02 #H destruct /3 width=4 by lstar_r_inv_lstar/
 126 ]
 127 qed-.
 128
 129 lemma lstar_ind_r: ∀B,R,b1. ∀P:relation2 ℕ B.
 130                    P 0 b1 →
 131                    (∀l,b,b2. lstar … R l b1 b → R b b2 → P l b → P (l+1) b2) →
 132                    ∀l,b2. lstar … R l b1 b2 → P l b2.
 133 #B #R #b1 #P #H1 #H2 #l #b2 #Hb12
 134 @(lstar_ind_r_aux … H1 H2 … Hb12) //
 135 qed-.