]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/arithmetics/lstar.ma
partial commit ...
[helm.git] / matita / matita / lib / arithmetics / lstar.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic        
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science     
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.                     
5     ||I||                                                                 
6     ||T||  
7     ||A||  This file is distributed under the terms of the 
8     \   /  GNU General Public License Version 2        
9      \ /      
10       V_______________________________________________________________ *)
11
12 include "arithmetics/nat.ma".
13
14 (* nat-labeled reflexive and transitive closure *****************************)
15
16 definition ltransitive: ∀B:Type[0]. predicate (ℕ→relation B) ≝ λB,R.
17                         ∀l1,b1,b. R l1 b1 b → ∀l2,b2. R l2 b b2 → R (l1+l2) b1 b2.
18
19 definition inv_ltransitive: ∀B:Type[0]. predicate (ℕ→relation B) ≝
20                             λB,R. ∀l1,l2,b1,b2. R (l1+l2) b1 b2 →
21                             ∃∃b. R l1 b1 b & R l2 b b2.
22
23 inductive lstar (B:Type[0]) (R: relation B): ℕ→relation B ≝
24 | lstar_O: ∀b. lstar B R 0 b b
25 | lstar_S: ∀b1,b. R b1 b → ∀l,b2. lstar B R l b b2 → lstar B R (l+1) b1 b2
26 .
27
28 fact lstar_ind_l_aux: ∀B,R,b2. ∀P:relation2 ℕ B.
29                       P 0 b2 →
30                       (∀l,b1,b. R b1 b → lstar … R l b b2 → P l b → P (l+1) b1) →
31                       ∀l,b1,b. lstar … R l b1 b → b = b2 → P l b1.
32 #B #R #b2 #P #H1 #H2 #l #b1 #b #H elim H -b -b1
33 [ #b #H destruct /2 width=1/
34 | #b #b0 #Hb0 #l #b1 #Hb01 #IH #H destruct /3 width=4/
35 ]
36 qed-.
37
38 (* imporeved version of lstar_ind with "left_parameter" *)
39 lemma lstar_ind_l: ∀B,R,b2. ∀P:relation2 ℕ B.
40                    P 0 b2 →
41                    (∀l,b1,b. R b1 b → lstar … R l b b2 → P l b → P (l+1) b1) →
42                    ∀l,b1. lstar … R l b1 b2 → P l b1.
43 #B #R #b2 #P #H1 #H2 #l #b1 #Hb12
44 @(lstar_ind_l_aux … H1 H2 … Hb12) //
45 qed-.
46
47 lemma lstar_step: ∀B,R,b1,b2. R b1 b2 → lstar B R 1 b1 b2.
48 /2 width=3/
49 qed.
50
51 lemma lstar_dx: ∀B,R,l,b1,b. lstar B R l b1 b → ∀b2. R b b2 →
52                 lstar B R (l+1) b1 b2.
53 #B #R #l #b1 #b #H @(lstar_ind_l … l b1 H) -l -b1 /2 width=1/ /3 width=3/
54 qed.
55
56 lemma lstar_inv_O: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 → 0 = l → b1 = b2.
57 #B #R #l #b1 #b2 * -l -b1 -b2 //
58 #b1 #b #_ #l #b2 #_ <plus_n_Sm #H destruct
59 qed-.
60
61 lemma lstar_inv_S: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 →
62                    ∀l0. l0+1 = l →
63                    ∃∃b. R b1 b & lstar B R l0 b b2.
64 #B #R #l #b1 #b2 * -l -b1 -b2
65 [ #b #l0 <plus_n_Sm #H destruct
66 | #b1 #b #Hb1 #l #b2 #Hb2 #l0 #H
67   lapply (injective_plus_l … H) -H #H destruct /2 width=3/
68 ]
69 qed-.
70
71 lemma lstar_inv_step: ∀B,R,b1,b2. lstar B R 1 b1 b2 → R b1 b2.
72 #B #R #b1 #b2 #H
73 elim (lstar_inv_S … 1 … H 0) -H // #b #Hb1 #H
74 <(lstar_inv_O … R … H ?) -H //
75 qed-.
76
77 theorem lstar_singlevalued: ∀B,R. singlevalued … R →
78                             ∀l. singlevalued … (lstar B R l).
79 #B #R #HR #l #c #c1 #H @(lstar_ind_l … l c H) -l -c
80 [ /2 width=5 by lstar_inv_O/
81 | #l #b #b1 #Hb1 #_ #IHbc1 #c2 #H
82   elim (lstar_inv_S … R … H l) -H // #b2 #Hb2 #Hbc2
83   lapply (HR … Hb1 … Hb2) -b #H destruct /2 width=1/
84 ]
85 qed-.
86
87 theorem lstar_ltransitive: ∀B,R. ltransitive … (lstar B R).
88 #B #R #l1 #b1 #b #H @(lstar_ind_l … l1 b1 H) -l1 -b1 // /3 width=3/
89 qed-.
90
91 lemma lstar_inv_ltransitive: ∀B,R. inv_ltransitive … (lstar B R).
92 #B #R #l1 @(nat_ind_plus … l1) -l1 /2 width=3/
93 #l1 #IHl1 #l2 #b1 #b2 <plus_plus_comm_23 #H
94 elim (lstar_inv_S … b2 H (l1+l2)) -H // #b #Hb1 #Hb2
95 elim (IHl1 … Hb2) -IHl1 -Hb2 /3 width=3/
96 qed-.
97
98 lemma lstar_inv_S_dx: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R (l+1) b1 b2 →
99                       ∃∃b. lstar B R l b1 b & R b b2.
100 #B #R #l #b1 #b2 #H
101 elim (lstar_inv_ltransitive B R … H) -H #b #Hb1 #H
102 lapply (lstar_inv_step B R … H) -H /2 width=3/
103 qed-.
104
105 inductive lstar_r (B:Type[0]) (R: relation B): ℕ → relation B ≝
106 | lstar_r_O: ∀b. lstar_r B R 0 b b
107 | lstar_r_S: ∀l,b1,b. lstar_r B R l b1 b → ∀b2. R b b2 →
108              lstar_r B R (l+1) b1 b2
109 .
110
111 lemma lstar_r_sn: ∀B,R,l,b,b2. lstar_r B R l b b2 → ∀b1. R b1 b →
112                   lstar_r B R (l+1) b1 b2.
113 #B #R #l #b #b2 #H elim H -l -b2 /2 width=3/
114 #l #b1 #b #_ #b2 #Hb2 #IHb1 #b0 #Hb01
115 @(lstar_r_S … (l+1) … Hb2) -b2 /2 width=1/
116 qed.
117
118 lemma lstar_lstar_r: ∀B,R,l,b1,b2. lstar B R l b1 b2 → lstar_r B R l b1 b2.
119 #B #R #l #b1 #b2 #H @(lstar_ind_l … l b1 H) -l -b1 // /2 width=3/
120 qed.
121
122 lemma lstar_r_inv_lstar: ∀B,R,l,b1,b2. lstar_r B R l b1 b2 → lstar B R l b1 b2.
123 #B #R #l #b1 #b2 #H elim H -l -b1 -b2 // /2 width=3/
124 qed-.
125
126 fact lstar_ind_r_aux: ∀B,R,b1. ∀P:relation2 ℕ B.
127                       P 0 b1 →
128                       (∀l,b,b2. lstar … R l b1 b → R b b2 → P l b → P (l+1) b2) →
129                       ∀l,b,b2. lstar … R l b b2 → b = b1 → P l b2.
130 #B #R #b1 #P #H1 #H2 #l #b #b2 #H elim (lstar_lstar_r … l b b2 H) -l -b -b2
131 [ #b #H destruct //
132 | #l #b #b0 #Hb0 #b2 #Hb02 #IHb02 #H destruct /3 width=4 by lstar_r_inv_lstar/
133 ]
134 qed-.
135
136 lemma lstar_ind_r: ∀B,R,b1. ∀P:relation2 ℕ B.
137                    P 0 b1 →
138                    (∀l,b,b2. lstar … R l b1 b → R b b2 → P l b → P (l+1) b2) →
139                    ∀l,b2. lstar … R l b1 b2 → P l b2.
140 #B #R #b1 #P #H1 #H2 #l #b2 #Hb12
141 @(lstar_ind_r_aux … H1 H2 … Hb12) //
142 qed-.
143
144 lemma lstar_Conf3: ∀A,B,S,R. Conf3 A B S R → ∀l. Conf3 A B S (lstar … R l).
145 #A #B #S #R #HSR #l #b #a1 #Ha1 #a2 #H @(lstar_ind_r … l a2 H) -l -a2 // /2 width=3/
146 qed-.