matita/matita/lib/arithmetics/nat.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/relations.ma".
  13
  14 inductive nat : Type[0] ≝
  15   | O : nat
  16   | S : nat → nat.
  17
  18 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  19
  20 alias num (instance 0) = "natural number".
  21
  22 definition pred ≝
  23  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  24
  25 theorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  26 // qed.
  27
  28 theorem injective_S : injective nat nat S.
  29 // qed.
  30
  31 (*
  32 theorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  33 //. qed. *)
  34
  35 theorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  36 /2/ qed.
  37
  38 definition not_zero: nat → Prop ≝
  39  λn: nat. match n with [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  40
  41 theorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  42 #n @nmk #eqOS (change with (not_zero O)) >eqOS // qed.
  43
  44 theorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  45 #n (elim n) /2/ qed.
  46
  47 theorem nat_case:
  48  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  49   (n=O → P O) → (∀m:nat. n= S m → P (S m)) → P n.
  50 #n #P (elim n) /2/ qed.
  51
  52 theorem nat_elim2 :
  53  ∀R:nat → nat → Prop.
  54   (∀n:nat. R O n)
  55   → (∀n:nat. R (S n) O)
  56   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  57   → ∀n,m:nat. R n m.
  58 #R #ROn #RSO #RSS #n (elim n) // #n0 #Rn0m #m (cases m) /2/ qed.
  59
  60 theorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  61 @nat_elim2 #n [ (cases n) /2/ | /3/ | #m #Hind (cases Hind) /3/]
  62 qed.
  63
  64 (*************************** plus ******************************)
  65
  66 let rec plus n m ≝
  67  match n with [ O ⇒ m | S p ⇒ S (plus p m) ].
  68
  69 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  70
  71 theorem plus_O_n: ∀n:nat. n = O+n.
  72 // qed.
  73
  74 (*
  75 theorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
  76 // qed.
  77 *)
  78
  79 theorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+O.
  80 #n (elim n) normalize // qed.
  81
  82 theorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
  83 #n (elim n) normalize // qed.
  84
  85 (*
  86 theorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
  87 #n (elim n) normalize // qed.
  88 *)
  89
  90 (* deleterio?
  91 theorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
  92 // qed.
  93 *)
  94
  95 theorem commutative_plus: commutative ? plus.
  96 #n (elim n) normalize // qed.
  97
  98 theorem associative_plus : associative nat plus.
  99 #n (elim n) normalize // qed.
 100
 101 theorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 102 // qed.
 103
 104 theorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 105 #n (elim n) normalize /3/ qed.
 106
 107 (* theorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 108 \def injective_plus_r.
 109
 110 theorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 111 /2/ qed. *)
 112
 113 (* theorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 114 \def injective_plus_l. *)
 115
 116 (*************************** times *****************************)
 117
 118 let rec times n m ≝
 119  match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ m+(times p m) ].
 120
 121 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 122
 123 theorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 124 // qed.
 125
 126 theorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 127 // qed.
 128
 129 theorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 130 #n (elim n) // qed.
 131
 132 theorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 133 #n (elim n) normalize // qed.
 134
 135 theorem commutative_times : commutative nat times.
 136 #n (elim n) normalize // qed.
 137
 138 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 139 symmetric_times. *)
 140
 141 theorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 142 #n (elim n) normalize // qed.
 143
 144 theorem distributive_times_plus_r :
 145   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 146 // qed.
 147
 148 theorem associative_times: associative nat times.
 149 #n (elim n) normalize // qed.
 150
 151 lemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 152 // qed.
 153
 154 (* ci servono questi risultati?
 155 theorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 156 napply nat_elim2 /2/
 157 #n #m #H normalize #H1 napply False_ind napply not_eq_O_S
 158 // qed.
 159
 160 theorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 161 #n // qed.
 162
 163 theorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 164 normalize // qed.
 165
 166 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 167 // qed.
 168
 169 theorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 170 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 171 #n (elim n)
 172   ##[@ /2/
 173   ##|#a #H nelim H #b#ornelim or#aeq
 174     ##[@ b @ 2 //
 175     ##|@ (S b) @ 1 /2/
 176     ##]
 177 qed.
 178 *)
 179
 180 (******************** ordering relations ************************)
 181
 182 inductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 183   | le_n : le n n
 184   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 185
 186 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 187
 188 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 189
 190 definition lt: nat → nat → Prop ≝ λn,m. S n ≤ m.
 191
 192 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 193 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 194
 195 (* lemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 196 // qed. *)
 197
 198 definition ge: nat → nat → Prop ≝ λn,m.m ≤ n.
 199
 200 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 201
 202 definition gt: nat → nat → Prop ≝ λn,m.m<n.
 203
 204 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 205 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 206
 207 theorem transitive_le : transitive nat le.
 208 #a #b #c #leab #lebc (elim lebc) /2/
 209 qed.
 210
 211 (*
 212 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 213 \def transitive_le. *)
 214
 215 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
 216 #a #b #c #ltab #ltbc (elim ltbc) /2/qed.
 217
 218 (*
 219 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 220 \def transitive_lt. *)
 221
 222 theorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 223 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 224
 225 theorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 226 #n (elim n) /2/ qed.
 227
 228 theorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 229 /2/ qed.
 230
 231 theorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 232 #n (elim n) // qed.
 233
 234 theorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 235 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 236
 237 theorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 238 (* demo *)
 239 /2/ qed.
 240
 241 (* this are instances of the le versions
 242 theorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 243 /2/ qed.
 244
 245 theorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 246 /2/ qed. *)
 247
 248 theorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 249 #n #m #Hlt (elim Hlt) // qed.
 250
 251 (* lt vs. le *)
 252 theorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 253 #n @nmk #Hlen0 @(lt_to_not_zero ?? Hlen0) qed.
 254
 255 theorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 256 /3/ qed.
 257
 258 theorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 259 /3/ qed.
 260
 261 theorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 262 @nat_elim2 #n /2/ #m * /3/ qed.
 263
 264 theorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 265 #n #m @decidable_le  qed.
 266
 267 theorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 268 #n (elim n) /2/ qed.
 269
 270 (* this is le_S_S_to_le
 271 theorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 272 /2/ qed.
 273 *)
 274
 275 lemma le_gen: ∀P:nat → Prop.∀n.(∀i. i ≤ n → P i) → P n.
 276 /2/ qed.
 277
 278 theorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 279 @nat_elim2 #n
 280  [#abs @False_ind /2/
 281  |/2/
 282  |#m #Hind #HnotleSS @le_S_S /3/
 283  ]
 284 qed.
 285
 286 theorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 287 #n #m #Hltnm (elim Hltnm) /3/ qed.
 288
 289 theorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 290 /4/ qed.
 291
 292 theorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 293 #n #m #H @lt_to_not_le /2/ (* /3/ *) qed.
 294
 295 (* lt and le trans *)
 296
 297 theorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 298 #n #m #p #H #H1 (elim H1) /2/ qed.
 299
 300 theorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 301 #n #m #p #H (elim H) /3/ qed.
 302
 303 theorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 304 /2/ qed.
 305
 306 theorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 307 /2/ qed.
 308
 309 (*
 310 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 311 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 312 intros.
 313 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 314  apply (lt_pred (S O) n)
 315  [ apply (lt_O_S O)
 316  | assumption
 317  ]
 318 qed. *)
 319
 320 theorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 321   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 322 #n (elim n) // #abs @False_ind /2/
 323 qed.
 324
 325 (*
 326 theorem lt_pred: \forall n,m.
 327   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 328 apply nat_elim2
 329   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 330   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 331   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 332   ]
 333 qed.
 334
 335 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 336 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 337 apply eq_f.apply pred_Sn.
 338 qed.
 339
 340 theorem le_pred_to_le:
 341  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 342 intros 2
 343 elim n
 344 [ apply le_O_n
 345 | simplify in H2
 346   rewrite > (S_pred m)
 347   [ apply le_S_S
 348     assumption
 349   | assumption
 350   ]
 351 ].
 352 qed.
 353
 354 *)
 355
 356 (* le to lt or eq *)
 357 theorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 358 #n #m #lenm (elim lenm) /3/ qed.
 359
 360 (* not eq *)
 361 theorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 362 #n #m #H @not_to_not /2/ qed.
 363
 364 (*not lt
 365 theorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 366 intros.
 367 unfold Not.
 368 intros.
 369 rewrite > H in H1.
 370 apply (lt_to_not_eq b b)
 371 [ assumption
 372 | reflexivity
 373 ]
 374 qed.
 375
 376 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 377 intros
 378 unfold Not
 379 intro
 380 unfold lt in H
 381 unfold lt in H1
 382 generalize in match (le_S_S ? ? H)
 383 intro
 384 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1)
 385 intro
 386 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 387 qed. *)
 388
 389 theorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 390 #n #m #Hneq #Hle cases (le_to_or_lt_eq ?? Hle) //
 391 #Heq /3/ qed.
 392 (*
 393 nelim (Hneq Heq) qed. *)
 394
 395 (* le elimination *)
 396 theorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 397 #n (cases n) // #a  #abs @False_ind /2/ qed.
 398
 399 theorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 400 #n (cases n) // #a #abs @False_ind /2/ qed.
 401
 402 theorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 403 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 404 #n #m #Hle #P (elim Hle) /3/ qed.
 405
 406 (* le and eq *)
 407
 408 theorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 409 @nat_elim2 /4/
 410 qed.
 411
 412 theorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 413 /2/ qed.
 414
 415 (*
 416 (* other abstract properties *)
 417 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 418 unfold antisymmetric.intros 2.
 419 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 420 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 421 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 422 intros.apply eq_f.apply H.
 423 apply le_S_S_to_le.assumption.
 424 apply le_S_S_to_le.assumption.
 425 qed.
 426
 427 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 428 \def antisymmetric_le.
 429
 430 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 431 intros
 432 unfold lt in H1
 433 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1)
 434 intro
 435 apply antisym_le
 436 assumption.
 437 qed.
 438 *)
 439
 440 (* well founded induction principles *)
 441
 442 theorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 443 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 444 #n #P #H
 445 cut (∀q:nat. q ≤ n → P q) /2/
 446 (elim n)
 447  [#q #HleO (* applica male *)
 448     @(le_n_O_elim ? HleO)
 449     @H #p #ltpO @False_ind /2/ (* 3 *)
 450  |#p #Hind #q #HleS
 451     @H #a #lta @Hind @le_S_S_to_le /2/
 452  ]
 453 qed.
 454
 455 (* some properties of functions *)
 456 (*
 457 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 458 \forall n:nat. f n < f (S n).
 459
 460 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 461 increasing f \to monotonic nat lt f.
 462 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 463 apply (trans_le ? (f n1)).
 464 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 465 apply le_n_Sn.
 466 apply H.
 467 qed.
 468
 469 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 470 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 471 intros.elim n.
 472 apply le_O_n.
 473 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 474 apply le_S_S.apply H1.
 475 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 476 qed.
 477
 478 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 479 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 480 intros.elim m.
 481 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 482 elim H1.
 483 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 484 apply (trans_le ? (S (f a))).
 485 apply le_S_S.assumption.
 486 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 487 apply H.
 488 qed.
 489
 490 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 491 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 492 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 493 intros.elim H1.
 494 apply (ex_intro ? ? O).
 495 split.apply le_n.apply H.
 496 elim H3.elim H4.
 497 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 498 elim Hcut.
 499 apply (ex_intro ? ? a).
 500 split.apply le_S. assumption.assumption.
 501 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 502 split.rewrite < H7.apply le_n.
 503 rewrite > H7.
 504 apply H.
 505 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 506 qed.
 507 *)
 508
 509 (*********************** monotonicity ***************************)
 510 theorem monotonic_le_plus_r:
 511 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 512 #n #a #b (elim n) normalize //
 513 #m #H #leab @le_S_S /2/ qed.
 514
 515 (*
 516 theorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 517 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 518
 519 theorem monotonic_le_plus_l:
 520 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 521 /2/ qed.
 522
 523 (*
 524 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 525 \def monotonic_le_plus_l. *)
 526
 527 theorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 528 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 529 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(transitive_le ? (n1+m2))
 530 /2/ qed.
 531
 532 theorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 533 /2/ qed.
 534
 535 lemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 536 /2/ qed.
 537
 538 lemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 539 /2/ qed.
 540
 541 theorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 542 /2/ qed.
 543
 544 theorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 545 // qed.
 546
 547 theorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 548 #a (elim a) normalize /3/ qed.
 549
 550 theorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 551 /2/ qed.
 552
 553 (* plus & lt *)
 554
 555 theorem monotonic_lt_plus_r:
 556 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 557 /2/ qed.
 558
 559 (*
 560 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 561 monotonic_lt_plus_r. *)
 562
 563 theorem monotonic_lt_plus_l:
 564 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 565 /2/ qed.
 566
 567 (*
 568 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 569 monotonic_lt_plus_l. *)
 570
 571 theorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 572 #n #m #p #q #ltnm #ltpq
 573 @(transitive_lt ? (n+q))/2/ qed.
 574
 575 theorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 576 /2/ qed.
 577
 578 theorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 579 /2/ qed.
 580
 581 (*
 582 theorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 583 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 584 (* bello /2/ un po' lento *)
 585 #a #b #c #d #leac #lebd
 586 normalize napplyS le_plus // qed.
 587 *)
 588
 589 (* times *)
 590 theorem monotonic_le_times_r:
 591 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 592 #n #x #y #lexy (elim n) normalize//(* lento /2/*)
 593 #a #lea @le_plus //
 594 qed.
 595
 596 (*
 597 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 598 \def monotonic_le_times_r. *)
 599
 600 (*
 601 theorem monotonic_le_times_l:
 602 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 603 /2/ qed.
 604 *)
 605
 606 (*
 607 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 608 \def monotonic_le_times_l. *)
 609
 610 theorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 611 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 612 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(transitive_le ? (n1*m2)) /2/
 613 qed.
 614
 615 (* interessante *)
 616 theorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 617 #n #m #H /2/ qed.
 618
 619 theorem le_times_to_le:
 620 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 621 #a @nat_elim2 normalize
 622   [//
 623   |#n #H1 #H2
 624      @(transitive_le ? (a*S n)) /2/
 625   |#n #m #H #lta #le
 626      @le_S_S @H /2/
 627   ]
 628 qed.
 629
 630 (*
 631 theorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 632 #n #m #posm #lenm  (* interessante *)
 633 applyS (le_plus n m) // qed. *)
 634
 635 (* times & lt *)
 636 (*
 637 theorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 638 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 639 qed. *)
 640
 641 (*
 642 theorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 643 O < a → a * b = O → b = O.
 644 intros.
 645 apply (nat_case1 b)
 646 [ intros.
 647   reflexivity
 648 | intros.
 649   rewrite > H2 in H1.
 650   rewrite > (S_pred a) in H1
 651   [ apply False_ind.
 652     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 653     [ apply sym_eq.
 654       assumption
 655     | apply lt_O_times_S_S
 656     ]
 657   | assumption
 658   ]
 659 ]
 660 qed.
 661
 662 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 663 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 664 intros.
 665 apply (nat_case1 a)
 666 [ intros.
 667   rewrite > H1 in H.
 668   simplify in H.
 669   assumption
 670 | intros.
 671   apply lt_O_S
 672 ]
 673 qed.
 674
 675 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 676 intros.
 677 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 678   [assumption
 679   |apply False_ind.
 680    rewrite < H1 in H.
 681    rewrite < times_n_O in H.
 682    apply (not_le_Sn_O ? H)
 683   ]
 684 qed. *)
 685
 686 (*
 687 theorem monotonic_lt_times_r:
 688 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 689 /2/
 690 simplify.
 691 intros.elim n.
 692 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 693 apply lt_plus.assumption.assumption.
 694 qed. *)
 695
 696 theorem monotonic_lt_times_l:
 697   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 698 #c #posc #n #m #ltnm
 699 (elim ltnm) normalize
 700   [/2/
 701   |#a #_ #lt1 @(transitive_le … lt1) //
 702   ]
 703 qed.
 704
 705 theorem monotonic_lt_times_r:
 706   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 707 /2/ qed.
 708
 709 theorem lt_to_le_to_lt_times:
 710 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 711 #n #m #p #q #ltnm #lepq #posq
 712 @(le_to_lt_to_lt ? (n*q))
 713   [@monotonic_le_times_r //
 714   |@monotonic_lt_times_l //
 715   ]
 716 qed.
 717
 718 theorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 719 #n #m #p #q #ltnm #ltpq @lt_to_le_to_lt_times/2/
 720 qed.
 721
 722 theorem lt_times_n_to_lt_l:
 723 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 724 #n #p #q #Hlt (elim (decidable_lt p q)) //
 725 #nltpq @False_ind @(absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt))
 726 applyS monotonic_le_times_r /2/
 727 qed.
 728
 729 theorem lt_times_n_to_lt_r:
 730 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 731 /2/ qed.
 732
 733 (*
 734 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 735 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 736 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 737 apply nat_compare_elim.
 738 intro.reflexivity.
 739 intro.absurd (p=q).
 740 apply (inj_times_r n).assumption.
 741 apply lt_to_not_eq. assumption.
 742 intro.absurd (q<p).
 743 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 744 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 745 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 746 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 747 absurd (p<q).
 748 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 749 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 750 intro.absurd (q=p).
 751 symmetry.
 752 apply (inj_times_r n).assumption.
 753 apply lt_to_not_eq.assumption.
 754 intro.reflexivity.
 755 qed. *)
 756
 757 (* times and plus
 758 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 759 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 760 intros 3.
 761 apply (nat_case n)
 762   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 763   |intros.simplify.
 764    rewrite < sym_plus.
 765    unfold.
 766    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 767    apply le_plus
 768     [assumption
 769     |apply le_times
 770       [apply le_S_S_to_le.assumption
 771       |apply le_n
 772       ]
 773     ]
 774   ]
 775 qed. *)
 776
 777 (************************** minus ******************************)
 778
 779 let rec minus n m ≝
 780  match n with
 781  [ O ⇒ O
 782  | S p ⇒
 783         match m with
 784           [ O ⇒ S p
 785     | S q ⇒ minus p q ]].
 786
 787 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 788
 789 theorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 790 // qed.
 791
 792 theorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 793 #n (cases n) // qed.
 794
 795 theorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 796 #n (cases n) // qed.
 797
 798 theorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 799 #n (elim n) // qed.
 800
 801 theorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 802 #n (elim n) normalize // qed.
 803
 804 theorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 805 (* qualcosa da capire qui
 806 #n #m #lenm nelim lenm napplyS refl_eq. *)
 807 @nat_elim2
 808   [//
 809   |#n #abs @False_ind /2/
 810   |#n #m #Hind #c applyS Hind /2/
 811   ]
 812 qed.
 813
 814 (*
 815 theorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 816   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 817 #n * #m (cases m// #m normalize
 818 #H #H1 napply le_S_S_to_le
 819 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1)
 820 qed. *)
 821
 822 theorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 823 @nat_elim2 normalize // qed.
 824
 825 theorem plus_minus:
 826 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 827 @nat_elim2
 828   [//
 829   |#n #p #abs @False_ind /2/
 830   |normalize/3/
 831   ]
 832 qed.
 833
 834 theorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 835 /2/ qed.
 836
 837 theorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 838   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 839 #n #m #lemn @sym_eq /2/ qed.
 840
 841 theorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 842 #n (elim n) // #a #Hind #m (cases m) // normalize #n/2/
 843 qed.
 844
 845 theorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 846   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 847 #n #m #p #lemn #eqp (applyS plus_minus_m_m) //
 848 qed.
 849
 850 theorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 851 #n #m #p #eqp @sym_eq (applyS (minus_plus_m_m p m))
 852 qed.
 853
 854 theorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 855 pred n - pred m = n - m.
 856 #n #m #posn #posm @(lt_O_n_elim n posn) @(lt_O_n_elim m posm) //.
 857 qed.
 858
 859 (*
 860
 861 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 862 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 863 rewrite > minus_Sn_m.
 864 apply le_S.assumption.
 865 apply lt_to_le.assumption.
 866 qed.
 867
 868 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 869 intros.
 870 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 871 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 872 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 873 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 874 intros.simplify.apply H.
 875 qed.
 876
 877 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 878 intros 3.intro.
 879 (* autobatch *)
 880 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 881 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 882 apply minus_le_S_minus_S.
 883 assumption.
 884 qed.
 885
 886 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 887 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 888 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 889 intros.simplify.apply le_n.
 890 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 891 qed.
 892
 893 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 894 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 895 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 896 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 897 qed.
 898
 899 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 900 intros 2.
 901 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 902 intros.apply le_O_n.
 903 simplify.intros. assumption.
 904 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 905 qed.
 906 *)
 907
 908 (* monotonicity and galois *)
 909
 910 theorem monotonic_le_minus_l:
 911 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 912 @nat_elim2 #p #q
 913   [#lePO @(le_n_O_elim ? lePO) //
 914   |//
 915   |#Hind #n (cases n) // #a #leSS @Hind /2/
 916   ]
 917 qed.
 918
 919 theorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 920 #n #m #p #lep @transitive_le
 921   [|@le_plus_minus_m_m | @monotonic_le_plus_l // ]
 922 qed.
 923
 924 theorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
 925 #n #m #p #lep /2/ qed.
 926
 927 theorem monotonic_le_minus_r:
 928 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
 929 #p #q #n #lepq @le_plus_to_minus
 930 @(transitive_le … (le_plus_minus_m_m ? q)) /2/
 931 qed.
 932
 933 theorem eq_minus_O: ∀n,m:nat.
 934   n ≤ m → n-m = O.
 935 #n #m #lenm @(le_n_O_elim (n-m)) /2/
 936 qed.
 937
 938 theorem distributive_times_minus: distributive ? times minus.
 939 #a #b #c
 940 (cases (decidable_lt b c)) #Hbc
 941  [>(eq_minus_O …) /2/ >(eq_minus_O …) //
 942   @monotonic_le_times_r /2/
 943  |@sym_eq (applyS plus_to_minus) <(distributive_times_plus …)
 944  (* STRANO *)
 945   @(eq_f …b) (applyS plus_minus_m_m) /2/
 946 qed.
 947
 948 (*********************** boolean arithmetics ********************)
 949 include "basics/bool.ma".
 950
 951 let rec eqb n m ≝
 952 match n with
 953   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
 954   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
 955   ].
 956
 957 theorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
 958 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
 959 @nat_elim2
 960   [#n (cases n) normalize /3/
 961   |normalize /3/
 962   |normalize /4/
 963   ]
 964 qed.
 965
 966 theorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
 967 #n (elim n) normalize // qed.
 968
 969 theorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
 970 #n #m @(eqb_elim n m) // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
 971
 972 theorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
 973 #n #m @(eqb_elim n m) /2/ qed.
 974
 975 theorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.n = m → eqb n m = true.
 976 // qed.
 977
 978 theorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
 979   n ≠  m → eqb n m = false.
 980 #n #m #noteq @eqb_elim// #Heq @False_ind /2/ qed.
 981
 982 let rec leb n m ≝
 983 match n with
 984     [ O ⇒ true
 985     | (S p) ⇒
 986         match m with
 987         [ O ⇒ false
 988               | (S q) ⇒ leb p q]].
 989
 990 theorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
 991 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
 992 @nat_elim2 normalize
 993   [/2/
 994   |/3/
 995   |#n #m #Hind #P #Pt #Pf @Hind
 996     [#lenm @Pt @le_S_S // |#nlenm @Pf /2/ ]
 997   ]
 998 qed.
 999
1000 theorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1001 #n #m @leb_elim // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
1002
1003 theorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1004   leb n m = false → n ≰ m.
1005 #n #m @leb_elim // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
1006
1007 theorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1008 #n #m @leb_elim // #H #H1 @False_ind /2/ qed.
1009
1010 theorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1011 #n #m @leb_elim // #H #H1 @False_ind /2/ qed.
1012
1013 theorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1014 /3/ qed.
1015
1016 (* serve anche ltb?
1017 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1018
1019 theorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1020 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1021 #n #m #P #Hlt #Hnlt
1022 napply leb_elim /3/ qed.
1023
1024 theorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1025 #n #m #Hltb napply leb_true_to_le nassumption
1026 qed.
1027
1028 theorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1029   ltb n m = false → n ≮ m.
1030 #n #m #Hltb napply leb_false_to_not_le nassumption
1031 qed.
1032
1033 theorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1034 #n #m #Hltb napply le_to_leb_true nassumption
1035 qed.
1036
1037 theorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1038 #n #m #Hltb napply lt_to_leb_false /2/
1039 qed. *)
1040
1041 (* min e max *)
1042 definition min: nat →nat →nat ≝
1043 λn.λm. if_then_else ? (leb n m) n m.
1044
1045 definition max: nat →nat →nat ≝
1046 λn.λm. if_then_else ? (leb n m) m n.
1047
1048 lemma commutative_min: commutative ? min.
1049 #n #m normalize @leb_elim
1050   [@leb_elim normalize /2/
1051   |#notle >(le_to_leb_true …) // @(transitive_le ? (S m)) /2/
1052   ] qed.
1053
1054 lemma le_minr: ∀i,n,m. i ≤ min n m → i ≤ m.
1055 #i #n #m normalize @leb_elim normalize /2/ qed.
1056
1057 lemma le_minl: ∀i,n,m. i ≤ min n m → i ≤ n.
1058 /2/ qed.
1059
1060 lemma to_min: ∀i,n,m. i ≤ n → i ≤ m → i ≤ min n m.
1061 #i #n #m #lein #leim normalize (cases (leb n m))
1062 normalize // qed.
1063
1064 lemma commutative_max: commutative ? max.
1065 #n #m normalize @leb_elim
1066   [@leb_elim normalize /2/
1067   |#notle >(le_to_leb_true …) // @(transitive_le ? (S m)) /2/
1068   ] qed.
1069
1070 lemma le_maxl: ∀i,n,m. max n m ≤ i → n ≤ i.
1071 #i #n #m normalize @leb_elim normalize /2/ qed.
1072
1073 lemma le_maxr: ∀i,n,m. max n m ≤ i → m ≤ i.
1074 /2/ qed.
1075
1076 lemma to_max: ∀i,n,m. n ≤ i → m ≤ i → max n m ≤ i.
1077 #i #n #m #leni #lemi normalize (cases (leb n m))
1078 normalize // qed.
1079