matita/matita/lib/basics/star.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/relations.ma".
  13
  14 (* transitive closcure (plus) *)
  15
  16 inductive TC (A:Type[0]) (R:relation A) (a:A): A → Prop ≝
  17   |inj: ∀c. R a c → TC A R a c
  18   |step : ∀b,c.TC A R a b → R b c → TC A R a c.
  19
  20 theorem trans_TC: ∀A,R,a,b,c.
  21   TC A R a b → TC A R b c → TC A R a c.
  22 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
  23 qed.
  24
  25 theorem TC_idem: ∀A,R. exteqR … (TC A R) (TC A (TC A R)).
  26 #A #R #a #b % /2/ #H (elim H) /2/
  27 qed.
  28
  29 lemma monotonic_TC: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (TC A R) (TC A S).
  30 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
  31 qed.
  32
  33 lemma sub_TC: ∀A,R,S. subR A R (TC A S) → subR A (TC A R) (TC A S).
  34 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /3/
  35 qed.
  36
  37 theorem sub_TC_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (TC A R) →
  38   exteqR … (TC A R) (TC A S).
  39 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
  40 qed.
  41
  42 theorem TC_inv: ∀A,R. exteqR ?? (TC A (inv A R)) (inv A (TC A R)).
  43 #A #R #a #b %
  44 #H (elim H) /2/ normalize #c #d #H1 #H2 #H3 @(trans_TC … H3) /2/
  45 qed.
  46
  47 (* star *)
  48 inductive star (A:Type[0]) (R:relation A) (a:A): A → Prop ≝
  49   |sstep: ∀b,c.star A R a b → R b c → star A R a c
  50   |srefl: star A R a a.
  51
  52 lemma R_to_star: ∀A,R,a,b. R a b → star A R a b.
  53 #A #R #a #b /2/
  54 qed.
  55
  56 theorem trans_star: ∀A,R,a,b,c.
  57   star A R a b → star A R b c → star A R a c.
  58 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
  59 qed.
  60
  61 theorem star_star: ∀A,R. exteqR … (star A R) (star A (star A R)).
  62 #A #R #a #b % /2/ #H (elim H) /2/
  63 qed.
  64
  65 lemma monotonic_star: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (star A R) (star A S).
  66 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
  67 qed.
  68
  69 lemma sub_star: ∀A,R,S. subR A R (star A S) →
  70   subR A (star A R) (star A S).
  71 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /3/
  72 qed.
  73
  74 theorem sub_star_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (star A R) →
  75   exteqR … (star A R) (star A S).
  76 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
  77 qed.
  78
  79 theorem star_inv: ∀A,R.
  80   exteqR ?? (star A (inv A R)) (inv A (star A R)).
  81 #A #R #a #b %
  82 #H (elim H) /2/ normalize #c #d #H1 #H2 #H3 @(trans_star … H3) /2/
  83 qed.
  84
  85 lemma star_decomp_l :
  86   ∀A,R,x,y.star A R x y → x = y ∨ ∃z.R x z ∧ star A R z y.
  87 #A #R #x #y #Hstar elim Hstar
  88 [ #b #c #Hleft #Hright *
  89   [ #H1 %2 @(ex_intro ?? c) % //
  90   | * #x0 * #H1 #H2 %2 @(ex_intro ?? x0) % /2/ ]
  91 | /2/ ]
  92 qed.
  93
  94 (* right associative version of star *)
  95 inductive starl (A:Type[0]) (R:relation A) : A → A → Prop ≝
  96   |sstepl: ∀a,b,c.R a b → starl A R b c → starl A R a c
  97   |refll: ∀a.starl A R a a.
  98
  99 lemma starl_comp : ∀A,R,a,b,c.
 100   starl A R a b → R b c → starl A R a c.
 101 #A #R #a #b #c #Hstar elim Hstar
 102   [#a1 #b1 #c1 #Rab #sbc #Hind #a1 @(sstepl … Rab) @Hind //
 103   |#a1 #Rac @(sstepl … Rac) //
 104   ]
 105 qed.
 106
 107 lemma star_compl : ∀A,R,a,b,c.
 108   R a b → star A R b c → star A R a c.
 109 #A #R #a #b #c #Rab #Hstar elim Hstar
 110   [#b1 #c1 #sbb1 #Rb1c1 #Hind @(sstep … Rb1c1) @Hind
 111   |@(sstep … Rab) //
 112   ]
 113 qed.
 114
 115 lemma star_to_starl: ∀A,R,a,b.star A R a b → starl A R a b.
 116 #A #R #a #b #Hs elim Hs //
 117 #d #c #sad #Rdc #sad @(starl_comp … Rdc) //
 118 qed.
 119
 120 lemma starl_to_star: ∀A,R,a,b.starl A R a b → star A R a b.
 121 #A #R #a #b #Hs elim Hs // -Hs -b -a
 122 #a #b #c #Rab #sbc #sbc @(star_compl … Rab) //
 123 qed.
 124
 125 lemma star_ind_l :
 126   ∀A:Type[0].∀R:relation A.∀Q:A → A → Prop.
 127   (∀a.Q a a) →
 128   (∀a,b,c.R a b → star A R b c → Q b c → Q a c) →
 129   ∀a,b.star A R a b → Q a b.
 130 #A #R #Q #H1 #H2 #a #b #H0
 131 elim (star_to_starl ???? H0) // -H0 -b -a
 132 #a #b #c #Rab #slbc @H2 // @starl_to_star //
 133 qed.
 134
 135 (* RC and star *)
 136
 137 lemma TC_to_star: ∀A,R,a,b.TC A R a b → star A R a b.
 138 #R #A #a #b #TCH (elim TCH) /2/
 139 qed.
 140
 141 lemma star_case: ∀A,R,a,b. star A R a b → a = b ∨ TC A R a b.
 142 #A #R #a #b #H (elim H) /2/ #c #d #star_ac #Rcd * #H1 %2 /2/.
 143 qed.
 144
 145 (* equiv -- smallest equivalence relation containing R *)
 146
 147 inductive equiv (A:Type[0]) (R:relation A) : A → A → Prop ≝
 148   |inje: ∀a,b,c.equiv A R a b → R b c → equiv A R a c
 149   |refle: ∀a,b.equiv A R a b
 150   |syme: ∀a,b.equiv A R a b → equiv A R b a.
 151
 152 theorem trans_equiv: ∀A,R,a,b,c.
 153   equiv A R a b → equiv A R b c → equiv A R a c.
 154 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
 155 qed.
 156
 157 theorem equiv_equiv: ∀A,R. exteqR … (equiv A R) (equiv A (equiv A R)).
 158 #A #R #a #b % /2/
 159 qed.
 160
 161 lemma monotonic_equiv: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (equiv A R) (equiv A S).
 162 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
 163 qed.
 164
 165 lemma sub_equiv: ∀A,R,S. subR A R (equiv A S) →
 166   subR A (equiv A R) (equiv A S).
 167 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /2/
 168 qed.
 169
 170 theorem sub_equiv_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (equiv A R) →
 171   exteqR … (equiv A R) (equiv A S).
 172 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
 173 qed.
 174
 175 (* well founded part of a relation *)
 176
 177 inductive WF (A:Type[0]) (R:relation A) : A → Prop ≝
 178   | wf : ∀b.(∀a. R a b → WF A R a) → WF A R b.
 179
 180 lemma WF_antimonotonic: ∀A,R,S. subR A R S →
 181   ∀a. WF A S a → WF A R a.
 182 #A #R #S #subRS #a #HWF (elim HWF) #b
 183 #H #Hind % #c #Rcb @Hind @subRS //
 184 qed.
 185
 186 (* added from lambda_delta *)
 187
 188 lemma TC_strap: ∀A. ∀R:relation A. ∀a1,a,a2.
 189                 R a1 a → TC … R a a2 → TC … R a1 a2.
 190 /3 width=3/ qed.
 191
 192 lemma TC_reflexive: ∀A,R. reflexive A R → reflexive A (TC … R).
 193 /2 width=1/ qed.
 194
 195 lemma TC_star_ind: ∀A,R. reflexive A R → ∀a1. ∀P:predicate A.
 196                    P a1 → (∀a,a2. TC … R a1 a → R a a2 → P a → P a2) →
 197                    ∀a2. TC … R a1 a2 → P a2.
 198 #A #R #H #a1 #P #Ha1 #IHa1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a2 /3 width=4/
 199 qed.
 200
 201 inductive TC_dx (A:Type[0]) (R:relation A): A → A → Prop ≝
 202   |inj_dx: ∀a,c. R a c → TC_dx A R a c
 203   |step_dx : ∀a,b,c. R a b → TC_dx A R b c → TC_dx A R a c.
 204
 205 lemma TC_dx_strap: ∀A. ∀R: relation A.
 206                    ∀a,b,c. TC_dx A R a b → R b c → TC_dx A R a c.
 207 #A #R #a #b #c #Hab elim Hab -a -b /3 width=3/
 208 qed.
 209
 210 lemma TC_to_TC_dx: ∀A. ∀R: relation A.
 211                    ∀a1,a2. TC … R a1 a2 → TC_dx … R a1 a2.
 212 #A #R #a1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a2 /2 width=3/
 213 qed.
 214
 215 lemma TC_dx_to_TC: ∀A. ∀R: relation A.
 216                    ∀a1,a2. TC_dx … R a1 a2 → TC … R a1 a2.
 217 #A #R #a1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a1 -a2 /2 width=3/
 218 qed.
 219
 220 fact TC_ind_dx_aux: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
 221                     (∀a1. R a1 a2 → P a1) →
 222                     (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
 223                     ∀a1,a. TC … R a1 a → a = a2 → P a1.
 224 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #a #Ha1
 225 elim (TC_to_TC_dx ???? Ha1) -a1 -a
 226 [ #a #c #Hac #H destruct /2 width=1/
 227 | #a #b #c #Hab #Hbc #IH #H destruct /3 width=4/
 228 ]
 229 qed-.
 230
 231 lemma TC_ind_dx: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
 232                  (∀a1. R a1 a2 → P a1) →
 233                  (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
 234                  ∀a1. TC … R a1 a2 → P a1.
 235 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #Ha12
 236 @(TC_ind_dx_aux … H1 H2 … Ha12) //
 237 qed-.
 238
 239 lemma TC_symmetric: ∀A,R. symmetric A R → symmetric A (TC … R).
 240 #A #R #HR #x #y #H @(TC_ind_dx ??????? H) -x /3 width=1/ /3 width=3/
 241 qed.
 242
 243 lemma TC_star_ind_dx: ∀A,R. reflexive A R →
 244                       ∀a2. ∀P:predicate A. P a2 →
 245                       (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
 246                       ∀a1. TC … R a1 a2 → P a1.
 247 #A #R #HR #a2 #P #Ha2 #H #a1 #Ha12
 248 @(TC_ind_dx … P ? H … Ha12) /3 width=4/
 249 qed-.
 250
 251 definition Conf3: ∀A,B. relation2 A B → relation A → Prop ≝ λA,B,S,R.
 252                   ∀b,a1. S a1 b → ∀a2. R a1 a2 → S a2 b.
 253
 254 lemma TC_Conf3: ∀A,B,S,R. Conf3 A B S R → Conf3 A B S (TC … R).
 255 #A #B #S #R #HSR #b #a1 #Ha1 #a2 #H elim H -a2 /2 width=3/
 256 qed.