]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/basics/star.ma
- lambda: - normalization theorem completed!
[helm.git] / matita / matita / lib / basics / star.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic        
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science     
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.                     
5     ||I||                                                                 
6     ||T||  
7     ||A||  This file is distributed under the terms of the 
8     \   /  GNU General Public License Version 2        
9      \ /      
10       V_______________________________________________________________ *)
11
12 include "basics/relations.ma".
13
14 (* transitive closcure (plus) *)
15
16 inductive TC (A:Type[0]) (R:relation A) (a:A): A → Prop ≝
17   |inj: ∀c. R a c → TC A R a c
18   |step : ∀b,c.TC A R a b → R b c → TC A R a c.
19
20 theorem trans_TC: ∀A,R,a,b,c. 
21   TC A R a b → TC A R b c → TC A R a c.
22 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
23 qed.
24
25 theorem TC_idem: ∀A,R. exteqR … (TC A R) (TC A (TC A R)).
26 #A #R #a #b % /2/ #H (elim H) /2/
27 qed.
28
29 lemma monotonic_TC: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (TC A R) (TC A S).
30 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
31 qed.
32
33 lemma sub_TC: ∀A,R,S. subR A R (TC A S) → subR A (TC A R) (TC A S).
34 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /3/
35 qed.
36
37 theorem sub_TC_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (TC A R) → 
38   exteqR … (TC A R) (TC A S).
39 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
40 qed.
41
42 theorem TC_inv: ∀A,R. exteqR ?? (TC A (inv A R)) (inv A (TC A R)).
43 #A #R #a #b %
44 #H (elim H) /2/ normalize #c #d #H1 #H2 #H3 @(trans_TC … H3) /2/
45 qed.
46   
47 (* star *)
48 inductive star (A:Type[0]) (R:relation A) (a:A): A → Prop ≝
49   |sstep: ∀b,c.star A R a b → R b c → star A R a c
50   |srefl: star A R a a.
51
52 lemma R_to_star: ∀A,R,a,b. R a b → star A R a b.
53 #A #R #a #b /2/
54 qed.
55
56 theorem trans_star: ∀A,R,a,b,c. 
57   star A R a b → star A R b c → star A R a c.
58 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
59 qed.
60
61 theorem star_star: ∀A,R. exteqR … (star A R) (star A (star A R)).
62 #A #R #a #b % /2/ #H (elim H) /2/
63 qed.
64
65 lemma monotonic_star: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (star A R) (star A S).
66 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
67 qed.
68
69 lemma sub_star: ∀A,R,S. subR A R (star A S) → 
70   subR A (star A R) (star A S).
71 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /3/
72 qed.
73
74 theorem sub_star_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (star A R) → 
75   exteqR … (star A R) (star A S).
76 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
77 qed.
78
79 theorem star_inv: ∀A,R. 
80   exteqR ?? (star A (inv A R)) (inv A (star A R)).
81 #A #R #a #b %
82 #H (elim H) /2/ normalize #c #d #H1 #H2 #H3 @(trans_star … H3) /2/
83 qed.
84
85 lemma star_decomp_l : 
86   ∀A,R,x,y.star A R x y → x = y ∨ ∃z.R x z ∧ star A R z y.
87 #A #R #x #y #Hstar elim Hstar
88 [ #b #c #Hleft #Hright *
89   [ #H1 %2 @(ex_intro ?? c) % //
90   | * #x0 * #H1 #H2 %2 @(ex_intro ?? x0) % /2/ ]
91 | /2/ ]
92 qed.
93
94 (* right associative version of star *)
95 inductive starl (A:Type[0]) (R:relation A) : A → A → Prop ≝
96   |sstepl: ∀a,b,c.R a b → starl A R b c → starl A R a c
97   |refll: ∀a.starl A R a a.
98  
99 lemma starl_comp : ∀A,R,a,b,c.
100   starl A R a b → R b c → starl A R a c.
101 #A #R #a #b #c #Hstar elim Hstar 
102   [#a1 #b1 #c1 #Rab #sbc #Hind #a1 @(sstepl … Rab) @Hind //
103   |#a1 #Rac @(sstepl … Rac) //
104   ]
105 qed.
106
107 lemma star_compl : ∀A,R,a,b,c.
108   R a b → star A R b c → star A R a c.
109 #A #R #a #b #c #Rab #Hstar elim Hstar 
110   [#b1 #c1 #sbb1 #Rb1c1 #Hind @(sstep … Rb1c1) @Hind
111   |@(sstep … Rab) //
112   ]
113 qed.
114
115 lemma star_to_starl: ∀A,R,a,b.star A R a b → starl A R a b.
116 #A #R #a #b #Hs elim Hs //
117 #d #c #sad #Rdc #sad @(starl_comp … Rdc) //
118 qed.
119
120 lemma starl_to_star: ∀A,R,a,b.starl A R a b → star A R a b.
121 #A #R #a #b #Hs elim Hs // -Hs -b -a
122 #a #b #c #Rab #sbc #sbc @(star_compl … Rab) //
123 qed.
124
125 fact star_ind_l_aux: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
126                      P a2 →
127                      (∀a1,a. R a1 a → star … R a a2 → P a → P a1) →
128                      ∀a1,a. star … R a1 a → a = a2 → P a1.
129 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #a #Ha1
130 elim (star_to_starl ???? Ha1) -a1 -a
131 [ #a #b #c #Hab #Hbc #IH #H destruct /3 width=4/
132 | #a #H destruct /2 width=1/
133 ]
134 qed-.
135
136 (* imporeved version of star_ind_l with "left_parameter" *)
137 lemma star_ind_l: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
138                   P a2 →
139                   (∀a1,a. R a1 a → star … R a a2 → P a → P a1) →
140                   ∀a1. star … R a1 a2 → P a1.
141 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #Ha12
142 @(star_ind_l_aux … H1 H2 … Ha12) //
143 qed.
144
145 (* RC and star *)
146
147 lemma TC_to_star: ∀A,R,a,b.TC A R a b → star A R a b.
148 #R #A #a #b #TCH (elim TCH) /2/
149 qed.
150
151 lemma star_case: ∀A,R,a,b. star A R a b → a = b ∨ TC A R a b.
152 #A #R #a #b #H (elim H) /2/ #c #d #star_ac #Rcd * #H1 %2 /2/.
153 qed.
154
155 (* equiv -- smallest equivalence relation containing R *)
156
157 inductive equiv (A:Type[0]) (R:relation A) : A → A → Prop ≝
158   |inje: ∀a,b,c.equiv A R a b → R b c → equiv A R a c
159   |refle: ∀a,b.equiv A R a b
160   |syme: ∀a,b.equiv A R a b → equiv A R b a.
161   
162 theorem trans_equiv: ∀A,R,a,b,c. 
163   equiv A R a b → equiv A R b c → equiv A R a c.
164 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
165 qed.
166  
167 theorem equiv_equiv: ∀A,R. exteqR … (equiv A R) (equiv A (equiv A R)).
168 #A #R #a #b % /2/  
169 qed.
170
171 lemma monotonic_equiv: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (equiv A R) (equiv A S).
172 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
173 qed.
174
175 lemma sub_equiv: ∀A,R,S. subR A R (equiv A S) → 
176   subR A (equiv A R) (equiv A S).
177 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /2/
178 qed.
179
180 theorem sub_equiv_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (equiv A R) → 
181   exteqR … (equiv A R) (equiv A S).
182 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
183 qed.
184
185 (* well founded part of a relation *)
186
187 inductive WF (A:Type[0]) (R:relation A) : A → Prop ≝
188   | wf : ∀b.(∀a. R a b → WF A R a) → WF A R b.
189
190 lemma WF_antimonotonic: ∀A,R,S. subR A R S → 
191   ∀a. WF A S a → WF A R a.
192 #A #R #S #subRS #a #HWF (elim HWF) #b
193 #H #Hind % #c #Rcb @Hind @subRS //
194 qed.
195
196 (* added from lambda_delta *)
197
198 lemma TC_strap: ∀A. ∀R:relation A. ∀a1,a,a2.
199                 R a1 a → TC … R a a2 → TC … R a1 a2.
200 /3 width=3/ qed.
201
202 lemma TC_reflexive: ∀A,R. reflexive A R → reflexive A (TC … R).
203 /2 width=1/ qed.
204
205 lemma TC_star_ind: ∀A,R. reflexive A R → ∀a1. ∀P:predicate A.
206                    P a1 → (∀a,a2. TC … R a1 a → R a a2 → P a → P a2) →
207                    ∀a2. TC … R a1 a2 → P a2.
208 #A #R #H #a1 #P #Ha1 #IHa1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a2 /3 width=4/
209 qed-.
210
211 inductive TC_dx (A:Type[0]) (R:relation A): A → A → Prop ≝
212   |inj_dx: ∀a,c. R a c → TC_dx A R a c
213   |step_dx : ∀a,b,c. R a b → TC_dx A R b c → TC_dx A R a c.
214
215 lemma TC_dx_strap: ∀A. ∀R: relation A.
216                    ∀a,b,c. TC_dx A R a b → R b c → TC_dx A R a c.
217 #A #R #a #b #c #Hab elim Hab -a -b /3 width=3/
218 qed.
219
220 lemma TC_to_TC_dx: ∀A. ∀R: relation A.
221                    ∀a1,a2. TC … R a1 a2 → TC_dx … R a1 a2.
222 #A #R #a1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a2 /2 width=3/
223 qed.
224
225 lemma TC_dx_to_TC: ∀A. ∀R: relation A.
226                    ∀a1,a2. TC_dx … R a1 a2 → TC … R a1 a2.
227 #A #R #a1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -a1 -a2 /2 width=3/
228 qed.
229
230 fact TC_ind_dx_aux: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
231                     (∀a1. R a1 a2 → P a1) →
232                     (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
233                     ∀a1,a. TC … R a1 a → a = a2 → P a1.
234 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #a #Ha1
235 elim (TC_to_TC_dx ???? Ha1) -a1 -a
236 [ #a #c #Hac #H destruct /2 width=1/
237 | #a #b #c #Hab #Hbc #IH #H destruct /3 width=4/
238 ]
239 qed-.
240
241 lemma TC_ind_dx: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
242                  (∀a1. R a1 a2 → P a1) →
243                  (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
244                  ∀a1. TC … R a1 a2 → P a1.
245 #A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #Ha12
246 @(TC_ind_dx_aux … H1 H2 … Ha12) //
247 qed-.
248
249 lemma TC_symmetric: ∀A,R. symmetric A R → symmetric A (TC … R).
250 #A #R #HR #x #y #H @(TC_ind_dx ??????? H) -x /3 width=1/ /3 width=3/
251 qed.
252
253 lemma TC_star_ind_dx: ∀A,R. reflexive A R →
254                       ∀a2. ∀P:predicate A. P a2 →
255                       (∀a1,a. R a1 a → TC … R a a2 → P a → P a1) →
256                       ∀a1. TC … R a1 a2 → P a1.
257 #A #R #HR #a2 #P #Ha2 #H #a1 #Ha12
258 @(TC_ind_dx … P ? H … Ha12) /3 width=4/
259 qed-.
260
261 definition Conf3: ∀A,B. relation2 A B → relation A → Prop ≝ λA,B,S,R.
262                   ∀b,a1. S a1 b → ∀a2. R a1 a2 → S a2 b.
263
264 lemma TC_Conf3: ∀A,B,S,R. Conf3 A B S R → Conf3 A B S (TC … R).
265 #A #B #S #R #HSR #b #a1 #Ha1 #a2 #H elim H -a2 /2 width=3/
266 qed.
267
268 inductive bi_TC (A,B:Type[0]) (R:bi_relation A B) (a:A) (b:B): relation2 A B ≝
269   |bi_inj : ∀c,d. R a b c d → bi_TC A B R a b c d
270   |bi_step: ∀c,d,e,f. bi_TC A B R a b c d → R c d e f → bi_TC A B R a b e f.
271
272 lemma bi_TC_strap: ∀A,B. ∀R:bi_relation A B. ∀a1,a,a2,b1,b,b2.
273                    R a1 b1 a b → bi_TC … R a b a2 b2 → bi_TC … R a1 b1 a2 b2.
274 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 #HR #H elim H -a2 -b2 /2 width=4/ /3 width=4/
275 qed.
276
277 lemma bi_TC_reflexive: ∀A,B,R. bi_reflexive A B R →
278                        bi_reflexive A B (bi_TC … R).
279 /2 width=1/ qed.
280
281 inductive bi_TC_dx (A,B:Type[0]) (R:bi_relation A B): bi_relation A B ≝
282   |bi_inj_dx  : ∀a1,a2,b1,b2. R a1 b1 a2 b2 → bi_TC_dx A B R a1 b1 a2 b2
283   |bi_step_dx : ∀a1,a,a2,b1,b,b2. R a1 b1 a b → bi_TC_dx A B R a b a2 b2 →
284                 bi_TC_dx A B R a1 b1 a2 b2.
285
286 lemma bi_TC_dx_strap: ∀A,B. ∀R: bi_relation A B.
287                       ∀a1,a,a2,b1,b,b2. bi_TC_dx A B R a1 b1 a b →
288                       R a b a2 b2 → bi_TC_dx A B R a1 b1 a2 b2.
289 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 #H1 elim H1 -a -b /3 width=4/
290 qed.
291
292 lemma bi_TC_to_bi_TC_dx: ∀A,B. ∀R: bi_relation A B.
293                          ∀a1,a2,b1,b2. bi_TC … R a1 b1 a2 b2 →
294                          bi_TC_dx … R a1 b1 a2 b2.
295 #A #B #R #a1 #a2 #b1 #b2 #H12 elim H12 -a2 -b2 /2 width=4/
296 qed.
297
298 lemma bi_TC_dx_to_bi_TC: ∀A,B. ∀R: bi_relation A B.
299                          ∀a1,a2,b1,b2. bi_TC_dx … R a1 b1 a2 b2 →
300                          bi_TC … R a1 b1 a2 b2.
301 #A #b #R #a1 #a2 #b1 #b2 #H12 elim H12 -a1 -a2 -b1 -b2 /2 width=4/
302 qed.
303
304 fact bi_TC_ind_dx_aux: ∀A,B,R,a2,b2. ∀P:relation2 A B.
305                        (∀a1,b1. R a1 b1 a2 b2 → P a1 b1) →
306                        (∀a1,a,b1,b. R a1 b1 a b → bi_TC … R a b a2 b2 → P a b → P a1 b1) →
307                        ∀a1,a,b1,b. bi_TC … R a1 b1 a b → a = a2 → b = b2 → P a1 b1.
308 #A #B #R #a2 #b2 #P #H1 #H2 #a1 #a #b1 #b #H1
309 elim (bi_TC_to_bi_TC_dx ??????? H1) -a1 -a -b1 -b
310 [ #a1 #x #b1 #y #H1 #Hx #Hy destruct /2 width=1/
311 | #a1 #a #x #b1 #b #y #H1 #H #IH #Hx #Hy destruct /3 width=5/
312 ]
313 qed-.
314
315 lemma bi_TC_ind_dx: ∀A,B,R,a2,b2. ∀P:relation2 A B.
316                     (∀a1,b1. R a1 b1 a2 b2 → P a1 b1) →
317                     (∀a1,a,b1,b. R a1 b1 a b → bi_TC … R a b a2 b2 → P a b → P a1 b1) →
318                     ∀a1,b1. bi_TC … R a1 b1 a2 b2 → P a1 b1.
319 #A #B #R #a2 #b2 #P #H1 #H2 #a1 #b1 #H12
320 @(bi_TC_ind_dx_aux ?????? H1 H2 … H12) //
321 qed-.
322
323 lemma bi_TC_symmetric: ∀A,B,R. bi_symmetric A B R →
324                        bi_symmetric A B (bi_TC … R).
325 #A #B #R #HR #a1 #a2 #b1 #b2 #H21
326 @(bi_TC_ind_dx ?????????? H21) -a2 -b2 /3 width=1/ /3 width=4/
327 qed.
328
329 lemma bi_TC_transitive: ∀A,B,R. bi_transitive A B (bi_TC … R).
330 #A #B #R #a1 #a #b1 #b #H elim H -a -b /2 width=4/ /3 width=4/
331 qed.
332
333 definition bi_Conf3: ∀A,B,C. relation3 A B C → bi_relation A B → Prop ≝ λA,B,C,S,R.
334                      ∀c,a1,b1. S a1 b1 c → ∀a2,b2. R a1 b1 a2 b2 → S a2 b2 c.
335
336 lemma bi_TC_Conf3: ∀A,B,C,S,R. bi_Conf3 A B C S R → bi_Conf3 A B C S (bi_TC … R).
337 #A #B #C #S #R #HSR #c #a1 #b1 #Hab1 #a2 #b2 #H elim H -a2 -b2 /2 width=4/
338 qed.
339
340 lemma bi_TC_star_ind: ∀A,B,R. bi_reflexive A B R → ∀a1,b1. ∀P:relation2 A B.
341                       P a1 b1 → (∀a,a2,b,b2. bi_TC … R a1 b1 a b → R a b a2 b2 → P a b → P a2 b2) →
342                       ∀a2,b2. bi_TC … R a1 b1 a2 b2 → P a2 b2.
343 #A #B #R #HR #a1 #b1 #P #H1 #IH #a2 #b2 #H12 elim H12 -a2 -b2 /3 width=5/
344 qed-.
345
346 lemma bi_TC_star_ind_dx: ∀A,B,R. bi_reflexive A B R →
347                          ∀a2,b2. ∀P:relation2 A B. P a2 b2 →
348                          (∀a1,a,b1,b. R a1 b1 a b → bi_TC … R a b a2 b2 → P a b → P a1 b1) →
349                          ∀a1,b1. bi_TC … R a1 b1 a2 b2 → P a1 b1.
350 #A #B #R #HR #a2 #b2 #P #H2 #IH #a1 #b1 #H12
351 @(bi_TC_ind_dx … P ? IH … H12) /3 width=5/
352 qed-.
353
354 definition bi_star: ∀A,B,R. bi_relation A B ≝ λA,B,R,a1,b1,a2,b2.
355                     (a1 = a2 ∧ b1 = b2) ∨ bi_TC A B R a1 b1 a2 b2.
356
357 lemma bi_star_bi_reflexive: ∀A,B,R. bi_reflexive A B (bi_star … R).
358 /3 width=1/ qed.
359
360 lemma bi_TC_to_bi_star: ∀A,B,R,a1,b1,a2,b2.
361                         bi_TC A B R a1 b1 a2 b2 → bi_star A B R a1 b1 a2 b2.
362 /2 width=1/ qed.
363
364 lemma bi_R_to_bi_star: ∀A,B,R,a1,b1,a2,b2.
365                        R a1 b1 a2 b2 → bi_star A B R a1 b1 a2 b2.
366 /3 width=1/ qed.
367
368 lemma bi_star_strap1: ∀A,B,R,a1,a,a2,b1,b,b2. bi_star A B R a1 b1 a b →
369                       R a b a2 b2 → bi_star A B R a1 b1 a2 b2.
370 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 *
371 [ * #H1 #H2 destruct /2 width=1/
372 | /3 width=4/
373 ]
374 qed.
375
376 lemma bi_star_strap2: ∀A,B,R,a1,a,a2,b1,b,b2. R a1 b1 a b →
377                       bi_star A B R a b a2 b2 → bi_star A B R a1 b1 a2 b2.
378 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 #H *
379 [ * #H1 #H2 destruct /2 width=1/
380 | /3 width=4/
381 ]
382 qed.
383
384 lemma bi_star_to_bi_TC_to_bi_TC: ∀A,B,R,a1,a,a2,b1,b,b2. bi_star A B R a1 b1 a b →
385                                  bi_TC A B R a b a2 b2 → bi_TC A B R a1 b1 a2 b2.
386 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 *
387 [ * #H1 #H2 destruct /2 width=1/
388 | /2 width=4/
389 ]
390 qed.
391
392 lemma bi_TC_to_bi_star_to_bi_TC: ∀A,B,R,a1,a,a2,b1,b,b2. bi_TC A B R a1 b1 a b →
393                                  bi_star A B R a b a2 b2 → bi_TC A B R a1 b1 a2 b2.
394 #A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 #H *
395 [ * #H1 #H2 destruct /2 width=1/
396 | /2 width=4/
397 ]
398 qed.
399
400 lemma bi_tansitive_bi_star: ∀A,B,R. bi_transitive A B (bi_star … R).
401 #A #B #R #a1 #a #b1 #b #H #a2 #b2 *
402 [ * #H1 #H2 destruct /2 width=1/
403 | /3 width=4/
404 ]
405 qed.
406
407 lemma bi_star_ind: ∀A,B,R,a1,b1. ∀P:relation2 A B. P a1 b1 →
408                    (∀a,a2,b,b2. bi_star … R a1 b1 a b → R a b a2 b2 → P a b → P a2 b2) →
409                    ∀a2,b2. bi_star … R a1 b1 a2 b2 → P a2 b2.
410 #A #B #R #a1 #b1 #P #H #IH #a2 #b2 *
411 [ * #H1 #H2 destruct //
412 | #H12 elim H12 -a2 -b2 /2 width=5/ -H /3 width=5/
413 ]
414 qed-.
415
416 lemma bi_star_ind_dx: ∀A,B,R,a2,b2. ∀P:relation2 A B. P a2 b2 →
417                       (∀a1,a,b1,b. R a1 b1 a b → bi_star … R a b a2 b2 → P a b → P a1 b1) →
418                       ∀a1,b1. bi_star … R a1 b1 a2 b2 → P a1 b1.
419 #A #B #R #a2 #b2 #P #H #IH #a1 #b1 *
420 [ * #H1 #H2 destruct //
421 | #H12 @(bi_TC_ind_dx ?????????? H12) -a1 -b1 /2 width=5/ -H /3 width=5/
422 ]
423 qed-.