matita/matita/lib/basics/star.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/relations.ma".
  13
  14 (********** relations **********)
  15
  16 inductive star (A:Type[0]) (R:relation A) (a:A): A → Prop ≝
  17   |inj: ∀b,c.star A R a b → R b c → star A R a c
  18   |refl: star A R a a.
  19
  20 theorem trans_star: ∀A,R,a,b,c.
  21   star A R a b → star A R b c → star A R a c.
  22 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (elim Hbc) /2/
  23 qed.
  24
  25 theorem star_star: ∀A,R. exteqR … (star A R) (star A (star A R)).
  26 #A #R #a #b % /2/ #H (elim H) /2/
  27 qed.
  28
  29 definition subR ≝ λA.λR,S:relation A.(∀a,b. R a b → S a b).
  30
  31 lemma monotonic_star: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (star A R) (star A S).
  32 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
  33 qed.
  34
  35 lemma sub_star: ∀A,R,S. subR A R (star A S) →
  36   subR A (star A R) (star A S).
  37 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /3/
  38 qed.
  39
  40 theorem sub_star_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (star A R) →
  41   exteqR … (star A R) (star A S).
  42 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
  43 qed.
  44
  45 (* equiv -- smallest equivalence relation containing R *)
  46
  47 inductive equiv (A:Type[0]) (R:relation A) : A → A → Prop ≝
  48   |inje: ∀a,b,c.equiv A R a b → R b c → equiv A R a c
  49   |refle: ∀a,b.equiv A R a b
  50   |syme: ∀a,b.equiv A R a b → equiv A R b a.
  51
  52 theorem trans_equiv: ∀A,R,a,b,c.
  53   equiv A R a b → equiv A R b c → equiv A R a c.
  54 #A #R #a #b #c #Hab #Hbc (inversion Hbc) /2/
  55 qed.
  56
  57 theorem equiv_equiv: ∀A,R. exteqR … (equiv A R) (equiv A (equiv A R)).
  58 #A #R #a #b % /2/
  59 qed.
  60
  61 lemma monotonic_equiv: ∀A,R,S. subR A R S → subR A (equiv A R) (equiv A S).
  62 #A #R #S #subRS #a #b #H (elim H) /3/
  63 qed.
  64
  65 lemma sub_equiv: ∀A,R,S. subR A R (equiv A S) →
  66   subR A (equiv A R) (equiv A S).
  67 #A #R #S #Hsub #a #b #H (elim H) /2/
  68 qed.
  69
  70 theorem sub_equiv_to_eq: ∀A,R,S. subR A R S → subR A S (equiv A R) →
  71   exteqR … (equiv A R) (equiv A S).
  72 #A #R #S #sub1 #sub2 #a #b % /2/
  73 qed.
  74
  75 (* well founded part of a relation *)
  76
  77 inductive WF (A:Type[0]) (R:relation A) : A → Prop ≝
  78   | wf : ∀b.(∀a. R a b → WF A R a) → WF A R b.
  79
  80 lemma WF_antimonotonic: ∀A,R,S. subR A R S →
  81   ∀a. WF A S a → WF A R a.
  82 #A #R #S #subRS #a #HWF (elim HWF) #b
  83 #H #Hind % #c #Rcb @Hind @subRS //
  84 qed.
  85