matita/matita/lib/formal_topology/basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/relations.ma".
  16 include "formal_topology/saturations.ma".
  17 (*
  18 record basic_topology: Type[1] ≝
  19  { carrbt:> REL;
  20    A: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
  21    J: Ω^carrbt ⇒_1 Ω^carrbt;
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U ≬ J V) =_1 (U ≬ J V)
  25  }.
  26
  27 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type[1] ≝
  28  { cont_rel:> S ⇒_\r1 T;
  29    reduced: ∀U. U =_1 J ? U → image_coercion ?? cont_rel U =_1 J ? (image_coercion ?? cont_rel U);
  30    saturated: ∀U. U =_1 A ? U → (cont_rel)⎻* U = _1A ? ((cont_rel)⎻* U)
  31  }.
  32
  33 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  34  intros (S T); constructor 1;
  35   [ apply (continuous_relation S T)
  36   | constructor 1;
  37      [ apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. A ? (ext ?? r b) = A ? (ext ?? s b));
  38      | simplify; intros; apply refl1;
  39      | simplify; intros (x y H); apply sym1; apply H
  40      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply f |3: apply f1; |1: skip]]]
  41 qed.
  42
  43 definition continuos_relation_of_continuous_relation_setoid :
  44  ∀P,Q. continuous_relation_setoid P Q → continuous_relation P Q ≝ λP,Q,x.x.
  45 coercion continuos_relation_of_continuous_relation_setoid.
  46
  47 axiom continuous_relation_eq':
  48  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  49   a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
  50 (*
  51  intros; split; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  52   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  53     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  54     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  55     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  56     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  57      [ apply I | assumption ]
  58   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  59     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  60     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  61     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  62     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  63      [ apply I | assumption ]]
  64 qed.*)
  65
  66 lemma continuous_relation_eq_inv':
  67  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  68   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  69  intros 6;
  70  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  71   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) →
  72    ∀V:o2. A ? (ext ?? a' V) ⊆ A ? (ext ?? a V));
  73   [2: clear b f a' a; intros;
  74       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  75        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  76        cut (∀V:Ω^o2.V ⊆ a⎻* (A ? (extS ?? a V)));
  77         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  78             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  79        clear Hletin;
  80        cut (∀V:Ω^o2.V ⊆ a'⎻* (A ? (extS ?? a V)));
  81         [2: intro; apply (. #‡(f ?)^-1); apply Hcut] clear f Hcut;
  82        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  83       intro; lapply (Hcut1 {(V)}); clear Hcut1;
  84       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  85       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  86       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  87       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  88        [ apply refl | unfold foo; apply H; ]
  89       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  90       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)^-1));
  91       assumption;]
  92  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply f]
  93 qed.
  94
  95 definition continuous_relation_comp:
  96  ∀o1,o2,o3.
  97   continuous_relation_setoid o1 o2 →
  98    continuous_relation_setoid o2 o3 →
  99     continuous_relation_setoid o1 o3.
 100  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 101   [ alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
 102 apply (s ∘ r)
 103   | intros;
 104     apply sym1;
 105     (*change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? %) ?) with (image_coercion ?? (s ∘ r) U);*)
 106     apply (.= †(image_comp ??????));
 107     apply (.= (reduced ?? s (image_coercion ?? r U) ?)^-1);
 108      [ apply (.= (reduced ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 109      | change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((image_coercion ?? s ∘ image_coercion ?? r) U);
 110        apply (.= (image_comp ??????)^-1);
 111        apply refl1]
 112      | intros;
 113        apply sym1;
 114        apply (.= †(minus_star_image_comp ??? s r ?));
 115        apply (.= (saturated ?? s ((r)⎻* U) ?)^-1);
 116         [ apply (.= (saturated ?????)); [ assumption | apply refl1 ]
 117         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((s⎻* ∘ r⎻* ) U);
 118           apply (.= (minus_star_image_comp ??????)^-1);
 119           apply refl1]]
 120 qed.
 121
 122 definition BTop: category1.
 123  constructor 1;
 124   [ apply basic_topology
 125   | apply continuous_relation_setoid
 126   | intro; constructor 1;
 127      [ apply id1
 128      | intros;
 129        apply (.= (image_id ??));
 130        apply sym1;
 131        apply (.= †(image_id ??));
 132        apply sym1;
 133        assumption
 134      | intros;
 135        apply (.= (minus_star_image_id ??));
 136        apply sym1;
 137        apply (.= †(minus_star_image_id ??));
 138        apply sym1;
 139        assumption]
 140   | intros; constructor 1;
 141      [ apply continuous_relation_comp;
 142      | intros; simplify; intro x; simplify;
 143        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e) as H';
 144        lapply depth=0 (continuous_relation_eq' ???? e1) as H1';
 145        letin K ≝ (λX.H1' ((a)⎻* (A ? X))); clearbody K;
 146        cut (∀X:Ω \sup o1.
 147               (b)⎻* (A o2 ((a)⎻* (A o1 X)))
 148             =_1 (b')⎻* (A o2 ((a')⎻* (A o1 X))));
 149         [2: intro; apply sym1;
 150             apply (.= (†(†((H' X)^-1)))); apply sym1; apply (K X);]
 151        clear K H' H1';
 152 alias symbol "powerset" (instance 5) = "powerset low".
 153 alias symbol "compose" (instance 2) = "category1 composition".
 154 cut (∀X:Ω^o1.
 155               ((b ∘ a))⎻* (A o1 X) =_1 ((b'∘a'))⎻* (A o1 X));
 156         [2: intro; unfold foo;
 157             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 158             change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((b)⎻* ((a)⎻* (A o1 X)));
 159             apply (.= †(saturated ?????));
 160              [ apply ((saturation_idempotent ????)^-1); apply A_is_saturation ]
 161             apply sym1;
 162             apply (.= (minus_star_image_comp ??????));
 163             change in ⊢ (? ? ? % ?) with ((b')⎻* ((a')⎻* (A o1 X)));
 164             apply (.= †(saturated ?????));
 165              [ apply ((saturation_idempotent ????)^-1); apply A_is_saturation ]
 166            apply ((Hcut X)^-1)]
 167        clear Hcut; generalize in match x; clear x;
 168        apply (continuous_relation_eq_inv');
 169        apply Hcut1;]
 170   | intros; simplify; intro; do 2 (unfold continuous_relation_comp); simplify;
 171     alias symbol "trans" (instance 1) = "trans1".
 172 alias symbol "refl" (instance 5) = "refl1".
 173 alias symbol "prop2" (instance 3) = "prop21".
 174 alias symbol "prop1" (instance 2) = "prop11".
 175 alias symbol "assoc" (instance 4) = "category1 assoc".
 176 apply (.= †(ASSOC‡#));
 177     apply refl1
 178   | intros; simplify; intro; unfold continuous_relation_comp; simplify;
 179     apply (.= †((id_neutral_right1 ????)‡#));
 180     apply refl1
 181   | intros; simplify; intro; simplify;
 182     apply (.= †((id_neutral_left1 ????)‡#));
 183     apply refl1]
 184 qed.
 185
 186 (*
 187 (*CSC: unused! *)
 188 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 189 theorem continuous_relation_eqS:
 190  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 191   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 192  intros;
 193  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 194   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 195       try assumption; split; assumption]
 196  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 197   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 198       apply (. #‡(H1 ?));
 199       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 200       assumption;] clear Hcut;
 201  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 202   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 203   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 204  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 205   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 206       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 207  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 208   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 209  apply Hcut2; assumption.
 210 qed.
 211 *)
 212 *)