matita/matita/lib/formal_topology/concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/basic_pairs.ma".
  16 (*
  17 (* carr1 e' necessario perche' ci sega via la coercion per gli oggetti di REL!
  18    (confondendola con la coercion per gli oggetti di SET
  19 record concrete_space : Type[1] ≝
  20  { bp:> BP;
  21    converges: ∀a: carr1 (concr bp).∀U,V: carr1 (form bp). a ⊩ U → a ⊩ V → a ⊩ (U ↓ V);
  22    all_covered: ∀x: carr1 (concr bp). x ⊩ form bp
  23  }.
  24
  25 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type[1] ≝
  26  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  27    respects_converges:
  28     ∀b,c.
  29      minus_image ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  30      BPextS CS1 ((minus_image ?? rp \sub\f b) ↓ (minus_image ?? rp \sub\f c));
  31    respects_all_covered:
  32     minus_image ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (full_subset (form CS2))) = BPextS CS1 (full_subset (form CS1))
  33  }.
  34
  35 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  36  intros;
  37  constructor 1;
  38   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  39   | constructor 1;
  40      [ intros;
  41        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  42      | intros 1; apply refl1;
  43      | intros 2; apply sym1;
  44      | intros 3; apply trans1]]
  45 qed.
  46
  47 definition convergent_relation_space_composition:
  48  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  49   binary_morphism1
  50    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  51    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  52    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  53  intros; constructor 1;
  54      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
  55        constructor 1;
  56         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
  57         | intros;
  58           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  59           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
  60             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  61           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
  62             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  63           apply (.= (extS_com ??????));
  64           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
  65           apply (.= (respects_converges ?????));
  66           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
  67           apply refl1;
  68         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  69           apply (.= (extS_com ??????));
  70           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
  71           apply (.= respects_all_covered ???);
  72           apply refl1]
  73      | intros;
  74        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
  75        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
  76        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
  77        apply (.= (H‡H1));
  78        apply refl1]
  79 qed.
  80
  81 definition CSPA: category1.
  82  constructor 1;
  83   [ apply concrete_space
  84   | apply convergent_relation_space_setoid
  85   | intro; constructor 1;
  86      [ apply id1
  87      | intros;
  88        unfold id; simplify;
  89        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
  90        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
  91                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
  92        apply refl1;
  93      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
  94        apply refl1]
  95   | apply convergent_relation_space_composition
  96   | intros; simplify;
  97     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
  98     apply (.= ASSOC1);
  99     apply refl1
 100   | intros; simplify;
 101     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 102     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 103     apply refl1
 104   | intros; simplify;
 105     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 106     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 107     apply refl1]
 108 qed.
 109 *)
 110 *)