matita/matita/lib/formal_topology/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/pts.ma".
  16
  17 inductive False: CProp[0] ≝.
  18
  19 interpretation "constructive logical false" 'false = False.
  20
  21 inductive True: CProp[0] ≝
  22 I : True.
  23
  24 interpretation "constructive logical true" 'true = True.
  25
  26 inductive Or (A,B:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  27  | Left : A → Or A B
  28  | Right : B → Or A B.
  29
  30 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  31
  32 inductive Or3 (A,B,C:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  33  | Left3 : A → Or3 A B C
  34  | Middle3 : B → Or3 A B C
  35  | Right3 : C → Or3 A B C.
  36
  37 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  38
  39 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  40
  41 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  42  | Left3 : A → Or4 A B C D
  43  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  44  | Right3 : C → Or4 A B C D
  45  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  46
  47 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  48
  49 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  50
  51 inductive And (A,B:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  52  | Conj : A → B → And A B.
  53
  54 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  55
  56 inductive And3 (A,B,C:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  57  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  58
  59 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  60
  61 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  62
  63 inductive And42 (A,B,C,D:CProp[2]) : CProp[2] ≝
  64  | Conj42 : A → B → C → D → And42 A B C D.
  65
  66 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  67
  68 interpretation "constructive quaternary and2" 'and4 x y z t = (And42 x y z t).
  69
  70 record Iff (A,B:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  71  { if: A → B;
  72    fi: B → A
  73  }.
  74
  75 record Iff1 (A,B:CProp[1]) : CProp[1] ≝
  76  { if1: A → B;
  77    fi1: B → A
  78  }.
  79
  80 notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
  81 interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
  82 interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
  83
  84 inductive exT22 (A:Type[2]) (P:A→CProp[2]) : CProp[2] ≝
  85   ex_introT22: ∀w:A. P w → exT22 A P.
  86
  87 interpretation "CProp[2] exists" 'exists \eta.x = (exT22 ? x).
  88 (*
  89 definition pi1exT22 ≝ λA,P.λx:exT22 A P.match x with [ex_introT22 x _ ⇒ x].
  90 definition pi2exT22 ≝
  91   λA,P.λx:exT22 A P.match x return λx.P (pi1exT22 ?? x) with [ex_introT22 _ p ⇒ p].
  92
  93 interpretation "exT22 \fst" 'pi1 = (pi1exT22 ? ?).
  94 interpretation "exT22 \snd" 'pi2 = (pi2exT22 ? ?).
  95 interpretation "exT22 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT22 ? ? x).
  96 interpretation "exT22 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT22 ? ? x).
  97 interpretation "exT22 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT22 ? ? x y).
  98 interpretation "exT22 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT22 ? ? x y).
  99 *)
 100 inductive exT (A:Type[0]) (P:A→CProp[0]) : CProp[0] ≝
 101   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
 102
 103 interpretation "CProp exists" 'exists \eta.x = (exT ? x).
 104
 105 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
 106 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
 107 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b =
 108   (ex_introT ? ? a b).
 109
 110 (*
 111 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
 112 definition pi2exT ≝
 113   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ?? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
 114
 115 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT ? ?).
 116 interpretation "exT \fst a" 'pi1a x = (pi1exT ? ? x).
 117 interpretation "exT \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT ? ? x y).
 118 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT ? ?).
 119 interpretation "exT \snd a" 'pi2a x = (pi2exT ? ? x).
 120 interpretation "exT \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT ? ? x y).
 121 *)
 122 inductive exT23 (A:Type[0]) (P:A→CProp[0]) (Q:A→CProp[0]) (R:A→A→CProp[0]) : CProp[0] ≝
 123   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
 124 (*
 125 definition pi1exT23 ≝
 126   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
 127 definition pi2exT23 ≝
 128   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
 129
 130 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 ? ? ? ?).
 131 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 ? ? ? ?).
 132 interpretation "exT2 \fst a" 'pi1a x = (pi1exT23 ? ? ? ? x).
 133 interpretation "exT2 \snd a" 'pi2a x = (pi2exT23 ? ? ? ? x).
 134 interpretation "exT2 \fst b" 'pi1b x y = (pi1exT23 ? ? ? ? x y).
 135 interpretation "exT2 \snd b" 'pi2b x y = (pi2exT23 ? ? ? ? x y).
 136 *)
 137 inductive exT2 (A:Type[0]) (P,Q:A→CProp[0]) : CProp[0] ≝
 138   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 139
 140
 141 definition Not : CProp[0] → CProp[0] ≝ λx:CProp[0].x → ⊥.
 142
 143 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 144
 145 definition cotransitive: ∀C:Type[0]. ∀lt:C→C→CProp[0].CProp[0] ≝
 146  λC:Type[0].λlt:C→C→CProp[0].∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 147
 148 definition coreflexive: ∀C:Type[0]. ∀lt:C→C→CProp[0].CProp[0] ≝
 149  λC:Type[0].λlt:C→C→CProp[0]. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 150
 151 definition symmetric: ∀C:Type[0]. ∀lt:C→C→CProp[0].CProp[0] ≝
 152  λC:Type[0].λlt:C→C→CProp[0]. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 153
 154 definition antisymmetric: ∀A:Type[0]. ∀R:A→A→CProp[0]. ∀eq:A→A→Prop.CProp[0] ≝
 155  λA:Type[0].λR:A→A→CProp[0].λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 156
 157 definition reflexive: ∀C:Type[0]. ∀lt:C→C→CProp[0].CProp[0] ≝ λA:Type[0].λR:A→A→CProp[0].∀x:A.R x x.
 158
 159 definition transitive: ∀C:Type[0]. ∀lt:C→C→CProp[0].CProp[0] ≝ λA:Type[0].λR:A→A→CProp[0].∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 160
 161 definition reflexive1: ∀A:Type[1].∀R:A→A→CProp[1].CProp[1] ≝ λA:Type[1].λR:A→A→CProp[1].∀x:A.R x x.
 162 definition symmetric1: ∀A:Type[1].∀R:A→A→CProp[1].CProp[1] ≝ λC:Type[1].λlt:C→C→CProp[1]. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 163 definition transitive1: ∀A:Type[1].∀R:A→A→CProp[1].CProp[1] ≝ λA:Type[1].λR:A→A→CProp[1].∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 164
 165 definition reflexive2: ∀A:Type[2].∀R:A→A→CProp[2].CProp[2] ≝ λA:Type[2].λR:A→A→CProp[2].∀x:A.R x x.
 166 definition symmetric2: ∀A:Type[2].∀R:A→A→CProp[2].CProp[2] ≝ λC:Type[2].λlt:C→C→CProp[2]. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 167 definition transitive2: ∀A:Type[2].∀R:A→A→CProp[2].CProp[2] ≝ λA:Type[2].λR:A→A→CProp[2].∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 168
 169 definition reflexive3: ∀A:Type[3].∀R:A→A→CProp[3].CProp[3] ≝ λA:Type[3].λR:A→A→CProp[3].∀x:A.R x x.
 170 definition symmetric3: ∀A:Type[3].∀R:A→A→CProp[3].CProp[3] ≝ λC:Type[3].λlt:C→C→CProp[3]. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 171 definition transitive3: ∀A:Type[3].∀R:A→A→CProp[3].CProp[3] ≝ λA:Type[3].λR:A→A→CProp[3].∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.