]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/lambda/terms/sequential_reduction.ma
update in ground_2
[helm.git] / matita / matita / lib / lambda / terms / sequential_reduction.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "lambda/terms/multiplicity.ma".
16
17 (* SEQUENTIAL REDUCTION (SINGLE STEP) ***************************************)
18
19 (* Note: the application "(A B)" is represented by "@B.A" following:
20          F. Kamareddine and R.P. Nederpelt: "A useful λ-notation".
21          Theoretical Computer Science 155(1), Elsevier (1996), pp. 85-109.
22 *)
23 inductive sred: relation term ≝
24 | sred_beta   : ∀B,A. sred (@B.𝛌.A) ([↙B]A)
25 | sred_abst   : ∀A1,A2. sred A1 A2 → sred (𝛌.A1) (𝛌.A2) 
26 | sred_appl_sn: ∀B1,B2,A. sred B1 B2 → sred (@B1.A) (@B2.A)
27 | sred_appl_dx: ∀B,A1,A2. sred A1 A2 → sred (@B.A1) (@B.A2)
28 .
29
30 interpretation "sequential reduction"
31    'SeqRed M N = (sred M N).
32
33 lemma sred_inv_vref: ∀M,N. M ↦ N → ∀i. #i = M → ⊥.
34 #M #N * -M -N
35 [ #B #A #i #H destruct
36 | #A1 #A2 #_ #i #H destruct
37 | #B1 #B2 #A #_ #i #H destruct
38 | #B #A1 #A2 #_ #i #H destruct
39 ]
40 qed-.
41
42 lemma sred_inv_abst: ∀M,N. M ↦ N → ∀C1. 𝛌.C1 = M →
43                      ∃∃C2. C1 ↦ C2 & 𝛌.C2 = N.
44 #M #N * -M -N
45 [ #B #A #C1 #H destruct
46 | #A1 #A2 #HA12 #C1 #H destruct /2 width=3/
47 | #B1 #B2 #A #_ #C1 #H destruct
48 | #B #A1 #A2 #_ #C1 #H destruct
49 ]
50 qed-.
51
52 lemma sred_inv_appl: ∀M,N. M ↦ N → ∀D,C. @D.C = M →
53                      ∨∨ (∃∃C0.  𝛌.C0 = C & [↙D] C0 = N)
54                       | (∃∃D0. D ↦ D0 & @D0.C = N) 
55                       | (∃∃C0. C ↦ C0 & @D.C0 = N). 
56 #M #N * -M -N
57 [ #B #A #D #C #H destruct /3 width=3/
58 | #A1 #A2 #_ #D #C #H destruct
59 | #B1 #B2 #A #HB12 #D #C #H destruct /3 width=3/
60 | #B #A1 #A2 #HA12 #D #C #H destruct /3 width=3/
61 ]
62 qed-.
63
64 lemma sred_fwd_mult: ∀M,N. M ↦ N → ♯{N} < ♯{M} * ♯{M}.
65 #M #N #H elim H -M -N
66 [ #B #A @(le_to_lt_to_lt … (♯{A}*♯{B})) //
67   normalize /3 width=1 by lt_minus_to_plus_r, lt_times/ (**) (* auto: too slow without trace *) 
68 | //
69 | #B #D #A #_ #IHBD
70   @(lt_to_le_to_lt … (♯{B}*♯{B}+♯{A})) [ /2 width=1/ ] -D
71 | #B #A #C #_ #IHAC
72   @(lt_to_le_to_lt … (♯{B}+♯{A}*♯{A})) [ /2 width=1/ ] -C
73 ]
74 @(transitive_le … (♯{B}*♯{B}+♯{A}*♯{A})) [ /2 width=1/ ]
75 >distributive_times_plus normalize /2 width=1/
76 qed-.
77
78 lemma sred_lift: liftable sred.
79 #h #M1 #M2 #H elim H -M1 -M2 normalize /2 width=1/
80 #B #A #d <dsubst_lift_le //
81 qed.
82
83 lemma sred_inv_lift: deliftable_sn sred.
84 #h #N1 #N2 #H elim H -N1 -N2
85 [ #D #C #d #M1 #H
86   elim (lift_inv_appl … H) -H #B #M #H0 #HM #H destruct
87   elim (lift_inv_abst … HM) -HM #A #H0 #H destruct /3 width=3/
88 | #C1 #C2 #_ #IHC12 #d #M1 #H
89   elim (lift_inv_abst … H) -H #A1 #HAC1 #H
90   elim (IHC12 … HAC1) -C1 #A2 #HA12 #HAC2 destruct
91   @(ex2_intro … (𝛌.A2)) // /2 width=1/
92 | #D1 #D2 #C1 #_ #IHD12 #d #M1 #H
93   elim (lift_inv_appl … H) -H #B1 #A #HBD1 #H1 #H2
94   elim (IHD12 … HBD1) -D1 #B2 #HB12 #HBD2 destruct
95   @(ex2_intro … (@B2.A)) // /2 width=1/
96 | #D1 #C1 #C2 #_ #IHC12 #d #M1 #H
97   elim (lift_inv_appl … H) -H #B #A1 #H1 #HAC1 #H2
98   elim (IHC12 … HAC1) -C1 #A2 #HA12 #HAC2 destruct
99   @(ex2_intro … (@B.A2)) // /2 width=1/
100 ]
101 qed-.
102
103 lemma sred_dsubst: dsubstable_dx sred.
104 #D1 #M1 #M2 #H elim H -M1 -M2 normalize /2 width=1/
105 #D2 #A #d >dsubst_dsubst_ge //
106 qed.