matita/matita/lib/lambda-delta/ground.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/list.ma".
  13
  14 (* ARITHMETICAL PROPERTIES **************************************************)
  15
  16 lemma plus_plus_comm_23: ∀m,n,p. m + n + p = m + p + n.
  17 // qed.
  18
  19 lemma minus_plus_comm: ∀a,b,c. a - b - c = a - (c + b).
  20 // qed.
  21
  22 lemma arith8: ∀a,b. a < a + b + 1.
  23 // qed.
  24
  25 lemma arith9: ∀a,b,c. c < a + (b + c + 1) + 1.
  26 // qed.
  27
  28 lemma minus_le: ∀m,n. m - n ≤ m.
  29 /2/ qed.
  30
  31 lemma plus_plus_minus_m_m: ∀e1,e2,d. e1 ≤ e2 → d + e1 + (e2 - e1) = d + e2.
  32 /2/ qed.
  33
  34 lemma le_O_to_eq_O: ∀n. n ≤ 0 → n = 0.
  35 /2/ qed.
  36
  37 lemma plus_le_minus: ∀a,b,c. a + b ≤ c → a ≤ c - b.
  38 /2/ qed.
  39
  40 lemma le_plus_minus_comm: ∀n,m,p. p ≤ m → (m + n) - p = (m - p) + n.
  41 #n #m #p #lepm @plus_to_minus <associative_plus
  42 >(commutative_plus p) <plus_minus_m_m //
  43 qed.
  44
  45 lemma le_plus_minus: ∀a,b,c. c ≤ b → a + b - c = a + (b - c).
  46 /2/ qed.
  47
  48 lemma minus_le_minus_minus_comm: ∀m,p,n.
  49                                  p ≤ m → m - p ≤ n → n + p - m = n - (m - p).
  50 #m elim m -m
  51 [ #p #n #H >(le_O_to_eq_O … H) -H //
  52 | #m #IHm #p elim p -p //
  53   #p #_ #n #Hpm <plus_n_Sm @IHm /2/
  54 ]
  55 qed.
  56
  57 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → False.
  58 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2/
  59 qed.
  60
  61 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → False.
  62 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2/
  63 qed.
  64
  65 lemma lt_or_ge: ∀m,n. m < n ∨ n ≤ m.
  66 #m #n elim (decidable_lt m n) /3/
  67 qed.
  68
  69 lemma plus_lt_false: ∀m,n. m + n < m → False.
  70 #m #n #H1 lapply (le_plus_n_r n m) #H2
  71 lapply (le_to_lt_to_lt … H2 H1) -H2 H1 #H
  72 elim (lt_refl_false … H)
  73 qed.
  74
  75 lemma plus_S_eq_O_false: ∀n,m. n + S m = 0 → False.
  76 #n #m <plus_n_Sm #H destruct
  77 qed.
  78
  79 lemma minus_minus_comm: ∀a,b,c. a - b - c = a - c - b.
  80 /3/ qed.
  81
  82 lemma arith1: ∀n,h,m,p. n + h + m ≤ p + h → n + m ≤ p.
  83 /2/ qed.
  84
  85 lemma arith6: ∀m,n. m < n → n - (n - m - 1) = m + 1.
  86 #m #n #H >minus_plus <minus_minus //
  87 qed.
  88
  89 lemma arith4: ∀h,d,e1,e2. d ≤ e1 + e2 → d + h ≤ e1 + h + e2.
  90 /2/ qed.
  91
  92 lemma arith5: ∀i,h,d. i + h ≤ d → d - i - h + (i + h) = d.
  93 /2/ qed.
  94
  95 lemma arith7: ∀i,d. i ≤ d → d - i + i = d.
  96 /2/ qed.
  97
  98 lemma arith2: ∀j,i,e,d. d + e ≤ i → d ≤ i - e + j.
  99 /3/ qed.
 100
 101 lemma arith3: ∀m,n,p. p ≤ m → m + n - (m - p + n) = p.
 102 /3/ qed.
 103