matita/matita/lib/lambda-delta/reduction/tpr_defs.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/ps_defs.ma".
  13
  14 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
  15
  16 inductive tpr: term → term → Prop ≝
  17 | tpr_sort : ∀k. tpr (⋆k) (⋆k)
  18 | tpr_lref : ∀i. tpr (#i) (#i)
  19 | tpr_bind : ∀I,V1,V2,T1,T2. tpr V1 V2 → tpr T1 T2 →
  20              tpr (𝕓{I} V1. T1) (𝕓{I} V2. T2)
  21 | tpr_flat : ∀I,V1,V2,T1,T2. tpr V1 V2 → tpr T1 T2 →
  22              tpr (𝕗{I} V1. T1) (𝕗{I} V2. T2)
  23 | tpr_beta : ∀V1,V2,W,T1,T2.
  24              tpr V1 V2 → tpr T1 T2 →
  25              tpr (𝕚{Appl} V1. 𝕚{Abst} W. T1) (𝕚{Abbr} V2. T2)
  26 | tpr_delta: ∀V1,V2,T1,T2,T.
  27              tpr V1 V2 → tpr T1 T2 → ⋆.  𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T →
  28              tpr (𝕚{Abbr} V1. T1) (𝕚{Abbr} V2. T)
  29 | tpr_theta: ∀V,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
  30              tpr V1 V2 → ↑[0,1] V2 ≡ V → tpr W1 W2 → tpr T1 T2 →
  31              tpr (𝕚{Appl} V1. 𝕚{Abbr} W1. T1) (𝕚{Abbr} W2. 𝕚{Appl} V. T2)
  32 | tpr_zeta : ∀V,T,T1,T2. ↑[0,1] T1 ≡ T → tpr T1 T2 →
  33              tpr (𝕚{Abbr} V. T) T2
  34 | tpr_tau  : ∀V,T1,T2. tpr T1 T2 → tpr (𝕚{Cast} V. T1) T2
  35 .
  36
  37 interpretation
  38    "context-free parallel reduction (term)"
  39    'PRed T1 T2 = (tpr T1 T2).
  40
  41 (* Basic properties *********************************************************)
  42
  43 lemma tpr_refl: ∀T. T ⇒ T.
  44 #T elim T -T //
  45 #I elim I -I /2/
  46 qed.
  47
  48 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  49
  50 lemma tpr_inv_sort1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀k. U1 = ⋆k → U2 = ⋆k.
  51 #U1 #U2 * -U1 U2
  52 [ #k0 #k #H destruct -k0 //
  53 | #i #k #H destruct
  54 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
  55 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
  56 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
  57 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #k #H destruct
  58 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
  59 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #k #H destruct
  60 | #V #T1 #T2 #_ #k #H destruct
  61 ]
  62 qed.
  63
  64 lemma tpr_inv_sort1: ∀k,U2. ⋆k ⇒ U2 → U2 = ⋆k.
  65 /2/ qed.
  66
  67 lemma tpr_inv_lref1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀i. U1 = #i → U2 = #i.
  68 #U1 #U2 * -U1 U2
  69 [ #k #i #H destruct
  70 | #j #i #H destruct -j //
  71 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
  72 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
  73 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
  74 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #i #H destruct
  75 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
  76 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
  77 | #V #T1 #T2 #_ #i #H destruct
  78 ]
  79 qed.
  80
  81 lemma tpr_inv_lref1: ∀i,U2. #i ⇒ U2 → U2 = #i.
  82 /2/ qed.
  83
  84 lemma tpr_inv_abbr1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀V1,T1. U1 = 𝕚{Abbr} V1. T1 →
  85                          ∨∨ ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Abbr} V2. T2
  86                           | ∃∃V2,T2,T. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
  87                                        ⋆.  𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T &
  88                                        U2 = 𝕚{Abbr} V2. T
  89                           | ∃∃T. ↑[0,1] T ≡ T1 & T ⇒ U2.
  90 #U1 #U2 * -U1 U2
  91 [ #k #V #T #H destruct
  92 | #i #V #T #H destruct
  93 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #V #T #H destruct -I V1 T1 /3 width=5/
  94 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
  95 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
  96 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #HV12 #HT12 #HT2 #V0 #T0 #H destruct -V1 T1 /3 width=7/
  97 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
  98 | #V #T #T1 #T2 #HT1 #HT12 #V0 #T0 #H destruct -V T /3/
  99 | #V #T1 #T2 #_ #V0 #T0 #H destruct
 100 ]
 101 qed.
 102
 103 lemma tpr_inv_abbr1: ∀V1,T1,U2. 𝕚{Abbr} V1. T1 ⇒ U2 →
 104                      ∨∨ ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Abbr} V2. T2
 105                       | ∃∃V2,T2,T. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
 106                                    ⋆.  𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [0, 1] ≫ T &
 107                                    U2 = 𝕚{Abbr} V2. T
 108                       | ∃∃T. ↑[0,1] T ≡ T1 & tpr T U2.
 109 /2/ qed.
 110
 111 lemma tpr_inv_abst1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀V1,T1. U1 = 𝕚{Abst} V1. T1 →
 112                          ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Abst} V2. T2.
 113 #U1 #U2 * -U1 U2
 114 [ #k #V #T #H destruct
 115 | #i #V #T #H destruct
 116 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #V #T #H destruct -I V1 T1 /2 width=5/
 117 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
 118 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
 119 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 120 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 121 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 122 | #V #T1 #T2 #_ #V0 #T0 #H destruct
 123 ]
 124 qed.
 125
 126 lemma tpr_inv_abst1: ∀V1,T1,U2. 𝕚{Abst} V1. T1 ⇒ U2 →
 127                      ∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Abst} V2. T2.
 128 /2/ qed.
 129
 130 lemma tpr_inv_appl1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀V1,U0. U1 = 𝕚{Appl} V1. U0 →
 131                          ∨∨ ∃∃V2,T2.            V1 ⇒ V2 & U0 ⇒ T2 &
 132                                                 U2 = 𝕚{Appl} V2. T2
 133                           | ∃∃V2,W,T1,T2.       V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
 134                                                 U0 = 𝕚{Abst} W. T1 &
 135                                                 U2 = 𝕓{Abbr} V2. T2
 136                           | ∃∃V2,V,W1,W2,T1,T2. V1 ⇒ V2 & W1 ⇒ W2 & T1 ⇒ T2 &
 137                                                 ↑[0,1] V2 ≡ V &
 138                                                 U0 = 𝕚{Abbr} W1. T1 &
 139                                                 U2 = 𝕚{Abbr} W2. 𝕚{Appl} V. T2.
 140 #U1 #U2 * -U1 U2
 141 [ #k #V #T #H destruct
 142 | #i #V #T #H destruct
 143 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
 144 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #V #T #H destruct -I V1 T1 /3 width=5/
 145 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #HV12 #HT12 #V #T #H destruct -V1 T /3 width=8/
 146 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 147 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HV2 #HW12 #HT12 #V0 #T0 #H
 148   destruct -V1 T0 /3 width=12/
 149 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 150 | #V #T1 #T2 #_ #V0 #T0 #H destruct
 151 ]
 152 qed.
 153
 154 lemma tpr_inv_appl1: ∀V1,U0,U2. 𝕚{Appl} V1. U0 ⇒ U2 →
 155                      ∨∨ ∃∃V2,T2.            V1 ⇒ V2 & U0 ⇒ T2 &
 156                                             U2 = 𝕚{Appl} V2. T2
 157                       | ∃∃V2,W,T1,T2.       V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 &
 158                                             U0 = 𝕚{Abst} W. T1 &
 159                                             U2 = 𝕓{Abbr} V2. T2
 160                       | ∃∃V2,V,W1,W2,T1,T2. V1 ⇒ V2 & W1 ⇒ W2 & T1 ⇒ T2 &
 161                                             ↑[0,1] V2 ≡ V &
 162                                             U0 = 𝕚{Abbr} W1. T1 &
 163                                             U2 = 𝕚{Abbr} W2. 𝕚{Appl} V. T2.
 164 /2/ qed.
 165
 166 lemma tpr_inv_cast1_aux: ∀U1,U2. U1 ⇒ U2 → ∀V1,T1. U1 = 𝕚{Cast} V1. T1 →
 167                            (∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Cast} V2. T2)
 168                          ∨ T1 ⇒ U2.
 169 #U1 #U2 * -U1 U2
 170 [ #k #V #T #H destruct
 171 | #i #V #T #H destruct
 172 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
 173 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #V #T #H destruct -I V1 T1 /3 width=5/
 174 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #V #T #H destruct
 175 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 176 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 177 | #V #T #T1 #T2 #_ #_ #V0 #T0 #H destruct
 178 | #V #T1 #T2 #HT12 #V0 #T0 #H destruct -V T1 /2/
 179 ]
 180 qed.
 181
 182 lemma tpr_inv_cast1: ∀V1,T1,U2. 𝕚{Cast} V1. T1 ⇒ U2 →
 183                        (∃∃V2,T2. V1 ⇒ V2 & T1 ⇒ T2 & U2 = 𝕚{Cast} V2. T2)
 184                      ∨ T1 ⇒ U2.
 185 /2/ qed.
 186
 187 lemma tpr_inv_lref2_aux: ∀T1,T2. T1 ⇒ T2 → ∀i. T2 = #i →
 188                          ∨∨           T1 = #i
 189                           | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & T0 ⇒ #i &
 190                                       T1 = 𝕚{Abbr} V. T
 191                           | ∃∃V,T.    T ⇒ #i & T1 = 𝕚{Cast} V. T.
 192 #T1 #T2 * -T1 T2
 193 [ #k #i #H destruct
 194 | #j #i /2/
 195 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
 196 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
 197 | #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #i #H destruct
 198 | #V1 #V2 #T1 #T2 #T #_ #_ #_ #i #H destruct
 199 | #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
 200 | #V #T #T1 #T2 #HT1 #HT12 #i #H destruct /3 width=6/
 201 | #V #T1 #T2 #HT12 #i #H destruct /3/
 202 ]
 203 qed.
 204
 205 lemma tpr_inv_lref2: ∀T1,i. T1 ⇒ #i →
 206                      ∨∨           T1 = #i
 207                       | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & T0 ⇒ #i &
 208                                   T1 = 𝕓{Abbr} V. T
 209                       | ∃∃V,T.    T ⇒ #i & T1 = 𝕗{Cast} V. T.
 210 /2/ qed.