matita/matita/lib/lambda-delta/reduction/tpr_tpr.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/lift_weight.ma".
  13 include "lambda-delta/reduction/tpr_main.ma".
  14
  15 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
  16
  17 (* Confluence lemmas ********************************************************)
  18
  19 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k1. ∃∃T0. ⋆k1 ⇒ T0 & ⋆k1 ⇒ T0.
  20 /2/ qed.
  21
  22 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i1. ∃∃T0. #i1 ⇒ T0 & #i1 ⇒ T0.
  23 /2/ qed.
  24
  25 lemma tpr_conf_bind_bind:
  26    ∀I1,V11,V12,T11,T12,V22,T22. (
  27       ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 + 1 →
  28       ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
  29       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
  30    ) →
  31    V11 ⇒ V12 → T11 ⇒ T12 →
  32    V11 ⇒ V22 → T11 ⇒ T22 →
  33    ∃∃T0. 𝕓{I1} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{I1} V22. T22 ⇒ T0.
  34 #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #V22 #T22 #IH #HV1 #HT1 #HV2 #HT2
  35 elim (IH … HV1 … HV2) -HV1 HV2 // #V #HV1 #HV2
  36 elim (IH … HT1 … HT2) -HT1 HT2 // #T #HT1 #HT2
  37 /3 width=5/
  38 qed.
  39
  40 lemma tpr_conf_bind_zeta:
  41    ∀V11,V12,T11,T12,T22,T20. (
  42       ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 +1 →
  43       ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
  44       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
  45    ) →
  46    V11 ⇒ V12 → T22 ⇒ T20 → T11 ⇒ T12 → ↑[O, 1] T22 ≡ T11 →
  47    ∃∃T0. 𝕓{Abbr} V12. T12 ⇒ T0 & T20 ⇒ T0.
  48 #V11 #V12 #T11 #T12 #T22 #T20 #IH #HV112 #HT202 #HT112 #HT
  49 elim (tpr_inv_lift … HT112 … HT) -HT112 #T #HT12 #HT22
  50 lapply (tw_lift … HT) -HT #HT
  51 elim (IH … HT202 … HT22) -HT202 HT22 IH /3/
  52 qed.
  53
  54 lemma tpr_conf_flat_flat:
  55    ∀I1,V11,V12,T11,T12,V22,T22. (
  56       ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 + 1 →
  57       ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
  58       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
  59    ) →
  60    V11 ⇒ V12 → T11 ⇒ T12 →
  61    V11 ⇒ V22 → T11 ⇒ T22 →
  62    ∃∃T0. 𝕗{I1} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕗{I1} V22. T22 ⇒ T0.
  63 #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #V22 #T22 #IH #HV1 #HT1 #HV2 #HT2
  64 elim (IH … HV1 … HV2) -HV1 HV2 // #V #HV1 #HV2
  65 elim (IH … HT1 … HT2) -HT1 HT2 // #T #HT1 #HT2
  66 /3 width=5/
  67 qed.
  68
  69 (* Confluence ***************************************************************)
  70
  71 lemma tpr_conf_aux:
  72    ∀T. (
  73       ∀T1. #T1 < #T → ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
  74       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
  75          ) →
  76    ∀U1,T1,U2,T2. U1 ⇒ T1 → U2 ⇒ T2 →
  77    U1 = T → U2 = T →
  78    ∃∃T0. T1 ⇒ T0 & T2 ⇒ T0.
  79 #T #IH  #U1 #T1 #U2 #T2
  80 * -U1 T1
  81 [ #k1 * -U2 T2
  82 (* case 1: sort, sort *)
  83   [ #k2 #H1 #H2 destruct -T k2 //
  84 (* case 2: sort, lref (excluded) *)
  85   | #i2 #H1 #H2 destruct
  86 (* case 3: sort, bind (excluded) *)
  87   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
  88 (* case 4: sort, flat (excluded) *)
  89   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
  90 (* case 5: sort, beta (excluded) *)
  91   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
  92 (* case 6: sort, delta (excluded) *)
  93   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
  94 (* case 7: sort, theta (excluded) *)
  95   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
  96 (* case 8: sort, zeta (excluded) *)
  97   | #V2 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #H1 #H2 destruct
  98 (* case 9: sort, tau (excluded) *)
  99   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 100   ]
 101 | #i1 * -U2 T2
 102 (* case 10: lref, sort (excluded) broken *)
 103   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 104 (* case 11: lref, sort (excluded) *)
 105   | #i2 #H1 #H2 destruct -T i2 //
 106 (* case 12: lref, bind (excluded) *)
 107   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 108 (* case 13: lref, flat (excluded) *)
 109   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 110 (* case 14: lref, beta (excluded) *)
 111   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 112 (* case 15: lref, delta (excluded) *)
 113   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 114 (* case 16: lref, theta (excluded) *)
 115   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 116 (* case 17: lref, zeta (excluded) *)
 117   | #V2 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 118 (* case 18: lref, tau (excluded) *)
 119   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 120   ]
 121 | #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #HV112 #HT112 * -U2 T2
 122 (* case 19: bind, sort (excluded) *)
 123   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 124 (* case 20: bind, lref (excluded) *)
 125   | #i2 #H1 #H2 destruct
 126 (* case 21: bind, bind *)
 127   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 128     destruct -T I2 V21 T21 /3 width=7/
 129 (* case 22: bind, flat (excluded) *)
 130   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 131 (* case 23: bind, beta (excluded) *)
 132   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 133 (* case 24: bind, delta (excluded) *)
 134   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 135 (* case 25: bind, theta (excluded) *)
 136   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 137 (* case 26: bind, zeta *)
 138   | #V2 #T21 #T22 #T20 #HT212 #HT220 #H1 #H2
 139     destruct -I1 V2 T21 T /3 width=8/
 140 (* case 27: bind, tau (excluded) *)
 141   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 142   ]
 143 | #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #HV112 #HT112 * -U2 T2
 144 (* case 28: flat, sort (excluded) *)
 145   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 146 (* case 29: flat, lref (excluded) *)
 147   | #i2 #H1 #H2 destruct
 148 (* case 30: flat, bind (excluded) *)
 149   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 150 (* case 31: flat, flat *)
 151   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 152     destruct -T I2 V21 T21 /3 width=7/
 153 (* case 32: flat, beta *)
 154   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 155     destruct -I1 V21 T11 T;
 156
 157 theorem pr_conf: ∀T,T1,T2. T ⇒ T1 → T ⇒ T2 →
 158                  ∃∃T0. T1 ⇒ T0 & T2 ⇒ T0.
 159 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=8/
 160 qed.