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10 V_______________________________________________________________ *)
12 include "lambda-delta/substitution/lift_fun.ma".
13 include "lambda-delta/substitution/lift_weight.ma".
14 include "lambda-delta/substitution/ps_ps.ma".
15 include "lambda-delta/reduction/tpr_main.ma".
16 include "lambda-delta/reduction/tpr_ps.ma".
18 lemma ps_inv_lift_eq: ∀L,U1,U2,d,e.
19 L ⊢ U1 [d, e] ≫ U2 → ∀T1. ↑[d, e] T1 ≡ U1 → U1 = U2.
20 #L #U1 #U2 #d #e #H elim H -H L U1 U2 d e
23 | #L #K #V #U1 #U2 #i #d #e #Hdi #Hide #_ #_ #_ #_ #T1 #H
24 elim (lift_inv_lref2 … H) -H * #H
25 [ lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … H) -Hdi H #H
26 elim (lt_refl_false … H)
27 | lapply (lt_to_le_to_lt … Hide … H) -Hide H #H
28 elim (lt_refl_false … H)
30 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
31 elim (lift_inv_bind2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
33 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #IHV12 #IHT12 #X #HX
34 elim (lift_inv_flat2 … HX) -HX #V #T #HV1 #HT1 #H destruct -X
39 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
41 (* Confluence lemmas ********************************************************)
43 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
46 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
49 lemma tpr_conf_bind_bind:
50 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
51 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
52 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
55 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
56 ∃∃X. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{I} V2. T2 ⇒ X.
57 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
58 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
59 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
62 lemma tpr_conf_bind_delta:
63 ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
64 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
65 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
69 T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
70 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
71 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #T #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HT2
72 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
73 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // -V0 T0 #T0 #HT10 #HT20
74 elim (tpr_ps_bind … HV2 HT20 … HT2) -HT20 HT2 /3 width=5/
77 lemma tpr_conf_bind_zeta:
79 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 +1 →
80 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
83 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T ⇒ X2 → ↑[O, 1] T ≡ T0 →
84 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
85 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #T #IH #HV01 #HT01 #HTX2 #HT0
86 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HT0) -HT01 #U #HUT1 #HTU
87 lapply (tw_lift … HT0) -HT0 #HT0
88 elim (IH … HTX2 … HTU) -HTX2 HTU IH /3/
91 lemma tpr_conf_flat_flat:
92 ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
93 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
94 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
97 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
98 ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
99 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
100 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
101 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
104 lemma tpr_conf_flat_beta:
105 ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
106 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
107 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
111 U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
112 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
113 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
114 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
115 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
116 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
119 lemma tpr_conf_flat_theta:
120 ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
121 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
122 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
125 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
126 W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
127 ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
128 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
129 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
130 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
131 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
132 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
134 [ -HV2 HVV2 #WW #UU #HWW0 #HUU0 #H destruct -T1;
135 elim (IH … HW02 … HWW0) -HW02 HWW0 // #W #HW2 #HWW
136 elim (IH … HU02 … HUU0) -HU02 HUU0 IH // #U #HU2 #HUU
137 @ex2_1_intro [2: @tpr_theta |1:skip |3: @tpr_bind ] /2 width=7/ (**) (* /4 width=7/ is too slow *)
139 | -HV2 HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct -T1;
140 elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 HWW2 // #W #HW02 #HWW2
141 elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 HUU02 IH // #U #HU2 #HUUU2
142 elim (tpr_ps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -HUU2 HUUU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
146 |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ]
147 ] /2 width=14/ (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
149 | -HW02 HVV HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
150 elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
151 lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
152 elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 HUU1 IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
156 |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
157 ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
161 lemma tpr_conf_flat_cast:
163 ∀X0:term. #X0 < #V0 + # T0 + 1 →
164 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
167 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
168 ∃∃X. 𝕗{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
169 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
170 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3/
173 lemma tpr_conf_beta_beta:
174 ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
175 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
176 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
179 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
180 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
181 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
182 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 //
183 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
186 lemma tpr_conf_delta_delta:
187 ∀V0,V1,T0,T1,TT1,V2,T2,TT2. (
188 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
189 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
192 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
193 ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O, 1] ≫ TT1 →
194 ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O, 1] ≫ TT2 →
195 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. TT2 ⇒ X.
196 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #V2 #T2 #TT2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HTT1 #HTT2
197 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
198 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
199 elim (tpr_ps_bind … HV1 HT1 … HTT1) -HT1 HTT1 #U1 #TTU1 #HTU1
200 elim (tpr_ps_bind … HV2 HT2 … HTT2) -HT2 HTT2 #U2 #TTU2 #HTU2
201 elim (ps_conf … HTU1 … HTU2) -HTU1 HTU2 #U #HU1 #HU2
202 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_delta |1: skip ] /width=10/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
205 lemma tpr_conf_delta_zeta:
206 ∀X2,V0,V1,T0,T1,TT1,T2. (
207 ∀X0:term. #X0 < #V0 +#T0 + 1→
208 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
211 V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → ⋆. 𝕓{Abbr} V1 ⊢ T1 [O,1] ≫ TT1 →
212 T2 ⇒ X2 → ↑[O, 1] T2 ≡ T0 →
213 ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. TT1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
214 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #T2 #IH #_ #HT01 #HTT1 #HTX2 #HTT20
215 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HTT20) -HT01 #TT2 #HTT21 #HTT2
216 lapply (ps_inv_lift_eq … HTT1 … HTT21) -HTT1 #HTT1 destruct -T1;
217 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
218 elim (IH … HTX2 … HTT2) -HTX2 HTT2 IH /3/
221 lemma tpr_conf_theta_theta:
222 ∀VV1,V0,V1,W0,W1,T0,T1,V2,VV2,W2,T2. (
223 ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
224 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
227 V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → W0 ⇒ W1 → W0 ⇒ W2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
228 ↑[O, 1] V1 ≡ VV1 → ↑[O, 1] V2 ≡ VV2 →
229 ∃∃X. 𝕓{Abbr} W1. 𝕗{Appl} VV1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} VV2. T2 ⇒ X.
230 #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #V2 #VV2 #W2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HW01 #HW02 #HT01 #HT02 #HVV1 #HVV2
231 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
232 elim (IH … HW01 … HW02) -HW01 HW02 // #W #HW1 #HW2
233 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // #T #HT1 #HT2
234 elim (lift_total V 0 1) #VV #HVV
235 lapply (tpr_lift … HV1 … HVV1 … HVV) -HV1 HVV1 #HVV1
236 lapply (tpr_lift … HV2 … HVV2 … HVV) -HV2 HVV2 HVV #HVV2
237 @ex2_1_intro [2,3: @tpr_bind |1:skip ] /2 width=5/ (**) (* /4 width=5/ is too slow *)
240 lemma tpr_conf_zeta_zeta:
241 ∀V0:term. ∀X2,TT0,T0,T1,T2. (
242 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #TT0 + 1 →
243 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
247 ↑[O, 1] T0 ≡ TT0 → ↑[O, 1] T2 ≡ TT0 →
248 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
249 #V0 #X2 #TT0 #T0 #T1 #T2 #IH #HT01 #HTX2 #HTT0 #HTT20
250 lapply (lift_inj … HTT0 … HTT20) -HTT0 #H destruct -T0;
251 lapply (tw_lift … HTT20) -HTT20 #HTT20
252 elim (IH … HT01 … HTX2) -HT01 HTX2 IH /2/
255 lemma tpr_conf_tau_tau:
256 ∀V0,T0:term. ∀X2,T1. (
257 ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
258 ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
262 ∃∃X. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
263 #V0 #T0 #X2 #T1 #IH #HT01 #HT02
264 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /2/
267 (* Confluence ***************************************************************)
271 ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
274 ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
275 ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
276 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
277 [ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
278 lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
279 (* case 1: sort, sort *)
281 | #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
282 lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
283 (* case 2: lref, lref *)
285 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
286 elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
287 (* case 3: bind, bind *)
288 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
289 /3 width=7 by tpr_conf_bind_bind/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
290 (* case 4: bind, delta *)
291 | #V2 #T2 #T #HV02 #HT02 #HT2 #H1 #H2 destruct -X2 I
292 /3 width=9 by tpr_conf_bind_delta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
293 (* case 5: bind, zeta *)
294 | #T #HT0 #HTX2 #H destruct -I
295 /3 width=8 by tpr_conf_bind_zeta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
297 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
298 elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
299 (* case 6: flat, flat *)
300 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
301 /3 width=7 by tpr_conf_flat_flat/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
302 (* case 7: flat, beta *)
303 | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
304 /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
305 (* case 8: flat, theta *)
306 | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
307 /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
308 (* case 9: flat, tau *)
309 | #HT02 #H destruct -I
310 /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
312 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
313 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
314 (* case 10: beta, flat (repeated) *)
315 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
316 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_flat_beta/
317 (* case 11: beta, beta *)
318 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
319 /3 width=8 by tpr_conf_beta_beta/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
320 (* case 12, beta, theta (excluded) *)
321 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
323 | #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #HT01 #HTT1 #H1 #H2 destruct -Y0;
324 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
325 (* case 13: delta, bind (repeated) *)
326 [ #V2 #T2 #HV02 #T02 #H destruct -X2
327 @ex2_1_comm /3 width=9 by tpr_conf_bind_delta/
328 (* case 14: delta, delta *)
329 | #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
330 /3 width=11 by tpr_conf_delta_delta/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
331 (* case 15: delta, zata *)
333 /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/ (**) (* /3 width=10/ is too slow *)
335 | #VV1 #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T1 #HV01 #HVV1 #HW01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
336 elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
337 (* case 16: theta, flat (repeated) *)
338 [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
339 @ex2_1_comm /3 width=11 by tpr_conf_flat_theta/
340 (* case 17: theta, beta (repeated) *)
341 | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #_ #_ #H destruct
342 (* case 18: theta, theta *)
343 | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #V02 #HW02 #HT02 #HVV2 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
344 /3 width=14 by tpr_conf_theta_theta/ (**) (* /3 width=14/ is too slow *)
346 | #V0 #TT0 #T0 #T1 #HTT0 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
347 elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
348 (* case 19: zeta, bind (repeated) *)
349 [ #V2 #T2 #HV02 #T02 #H destruct -X2
350 @ex2_1_comm /3 width=8 by tpr_conf_bind_zeta/
351 (* case 20: zeta, delta (repeated) *)
352 | #V2 #T2 #TT2 #HV02 #HT02 #HTT2 #H destruct -X2
353 @ex2_1_comm /3 width=10 by tpr_conf_delta_zeta/
354 (* case 21: zeta, zeta *)
356 /3 width=9 by tpr_conf_zeta_zeta/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
358 | #V0 #T0 #T1 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
359 elim (tpr_inv_cast1 … H1) -H1
360 (* case 22: tau, flat (repeated) *)
361 [ * #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
362 @ex2_1_comm /3 width=6 by tpr_conf_flat_cast/
363 (* case 23: tau, tau *)
365 /2 by tpr_conf_tau_tau/
370 theorem tpr_conf: ∀T0:term. ∀T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
371 ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
372 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6 by tpr_conf_aux/