matita/matita/lib/lambda-delta/reduction/tpr_tpr.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/lift_fun.ma".
  13 include "lambda-delta/substitution/lift_weight.ma".
  14 include "lambda-delta/reduction/tpr_main.ma".
  15 include "lambda-delta/reduction/tpr_ps.ma".
  16
  17 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
  18
  19 (* Confluence lemmas ********************************************************)
  20
  21 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
  22 /2/ qed.
  23
  24 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
  25 /2/ qed.
  26
  27 lemma tpr_conf_bind_bind:
  28    ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
  29       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  30       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  31       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  32    ) →
  33    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
  34    ∃∃X. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{I} V2. T2 ⇒ X.
  35 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
  36 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  37 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
  38 qed.
  39
  40 lemma tpr_conf_bind_delta:
  41    ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
  42       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  43       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  44       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  45    ) →
  46    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
  47    T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
  48    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
  49 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #T #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HT2
  50 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  51 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // -V0 T0 #T0 #HT10 #HT20
  52 elim (tpr_ps_bind … HV2 HT20 … HT2) -HT20 HT2 /3 width=5/
  53 qed.
  54
  55 lemma tpr_conf_bind_zeta:
  56    ∀X2,V0,V1,T0,T1,T. (
  57       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 +1 →
  58       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  59       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  60    ) →
  61    V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T ⇒ X2 → ↑[O, 1] T ≡ T0 →
  62    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
  63 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #T #IH #HV01 #HT01 #HTX2 #HT0
  64 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HT0) -HT01 #U #HUT1 #HTU
  65 lapply (tw_lift … HT0) -HT0 #HT0
  66 elim (IH … HTX2 … HTU) -HTX2 HTU IH /3/
  67 qed.
  68
  69 lemma tpr_conf_flat_flat:
  70    ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
  71       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  72       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  73       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  74    ) →
  75    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
  76    ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
  77 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
  78 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  79 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
  80 qed.
  81
  82 lemma tpr_conf_flat_beta:
  83    ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
  84       ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
  85       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  86       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  87    ) →
  88    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
  89    U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
  90    ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
  91 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
  92 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
  93 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  94 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
  95 qed.
  96
  97 lemma tpr_conf_flat_theta:
  98    ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
  99       ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
 100       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 101       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 102    ) →
 103    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
 104    W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 →  𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
 105    ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
 106 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
 107 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
 108 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
 109 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
 110 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
 111 (* case 1: bind *)
 112 [ -HV2 HVV2 #WW #UU #HWW0 #HUU0 #H destruct -T1;
 113   elim (IH … HW02 … HWW0) -HW02 HWW0 // #W #HW2 #HWW
 114   elim (IH … HU02 … HUU0) -HU02 HUU0 IH // #U #HU2 #HUU
 115   @ex2_1_intro
 116   [2: @tpr_theta [5: @HVV1 |6: @HVV |7:// by {}; (*@HWW*) |8: @HUU |1,2,3,4:skip ]
 117   |3: @tpr_bind [ @HW2 | @tpr_flat [ @HVVV | @HU2 ] ]
 118   | skip
 119 (* Confluence ***************************************************************)
 120
 121 lemma tpr_conf_aux:
 122    ∀Y0:term. (
 123       ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 124       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 125          ) →
 126    ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
 127    ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
 128 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
 129 [ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
 130   lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
 131 (* case 1: sort, sort *)
 132   #H1 destruct -X2 //
 133 | #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
 134   lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
 135 (* case 2: lref, lref *)
 136   #H1 destruct -X2 //
 137 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
 138   elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
 139 (* case 3: bind, bind *)
 140   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
 141     @tpr_conf_bind_bind /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
 142 (* case 4: bind, delta *)
 143   | #V2 #T2 #T #HV02 #HT02 #HT2 #H1 #H2 destruct -X2 I
 144     @tpr_conf_bind_delta /2 width=9/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
 145 (* case 5: bind, zeta *)
 146   | #T #HT0 #HTX2 #H destruct -I
 147     @tpr_conf_bind_zeta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
 148   ]
 149 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
 150   elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
 151 (* case 6: flat, flat *)
 152   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
 153     @tpr_conf_flat_flat /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
 154 (* case 7: flat, beta *)
 155   | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
 156     @tpr_conf_flat_beta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
 157 (* case 8: flat, theta *)
 158   | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
 159     //
 160 theorem tpr_conf: ∀T0,T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
 161                   ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
 162 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6/
 163 qed.
 164 *)
 165 lemma tpr_conf_aux:
 166    ∀T. (
 167       ∀T1. #T1 < #T → ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
 168       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
 169          ) →
 170    ∀U1,T1,U2,T2. U1 ⇒ T1 → U2 ⇒ T2 →
 171    U1 = T → U2 = T →
 172    ∃∃T0. T1 ⇒ T0 & T2 ⇒ T0.
 173 #T #IH  #U1 #T1 #U2 #T2
 174 * -U1 T1
 175 [ #k1 * -U2 T2
 176 (* case 1: sort, sort *)
 177   [ #k2 #H1 #H2 destruct -T k2 //
 178 (* case 2: sort, lref (excluded) *)
 179   | #i2 #H1 #H2 destruct
 180 (* case 3: sort, bind (excluded) *)
 181   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 182 (* case 4: sort, flat (excluded) *)
 183   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 184 (* case 5: sort, beta (excluded) *)
 185   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 186 (* case 6: sort, delta (excluded) *)
 187   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 188 (* case 7: sort, theta (excluded) *)
 189   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 190 (* case 8: sort, zeta (excluded) *)
 191   | #V2 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 192 (* case 9: sort, tau (excluded) *)
 193   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 194   ]
 195 | #i1 * -U2 T2
 196 (* case 10: lref, sort (excluded) broken *)
 197   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 198 (* case 11: lref, sort (excluded) *)
 199   | #i2 #H1 #H2 destruct -T i2 //
 200 (* case 12: lref, bind (excluded) *)
 201   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 202 (* case 13: lref, flat (excluded) *)
 203   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 204 (* case 14: lref, beta (excluded) *)
 205   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 206 (* case 15: lref, delta (excluded) *)
 207   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 208 (* case 16: lref, theta (excluded) *)
 209   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 210 (* case 17: lref, zeta (excluded) *)
 211   | #V2 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 212 (* case 18: lref, tau (excluded) *)
 213   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 214   ]
 215 | #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #HV112 #HT112 * -U2 T2
 216 (* case 19: bind, sort (excluded) *)
 217   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 218 (* case 20: bind, lref (excluded) *)
 219   | #i2 #H1 #H2 destruct
 220 (* case 21: bind, bind *)
 221   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 222     destruct -T I2 V21 T21 /3 width=7/
 223 (* case 22: bind, flat (excluded) *)
 224   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 225 (* case 23: bind, beta (excluded) *)
 226   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 227 (* case 24: bind, delta (excluded) *)
 228   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 229 (* case 25: bind, theta (excluded) *)
 230   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #_ #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 231 (* case 26: bind, zeta *)
 232   | #V2 #T21 #T22 #T20 #HT212 #HT220 #H1 #H2
 233     destruct -I1 V2 T21 T /3 width=8/
 234 (* case 27: bind, tau (excluded) *)
 235   | #V2 #T21 #T22 #_ #H1 #H2 destruct
 236   ]
 237 | #I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #HV112 #HT112 * -U2 T2
 238 (* case 28: flat, sort (excluded) *)
 239   [ #k2 #H1 #H2 destruct
 240 (* case 29: flat, lref (excluded) *)
 241   | #i2 #H1 #H2 destruct
 242 (* case 30: flat, bind (excluded) *)
 243   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #_ #_ #H1 #H2 destruct
 244 (* case 31: flat, flat *)
 245   | #I2 #V21 #V22 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 246     destruct -T I2 V21 T21 /3 width=7/
 247 (* case 32: flat, beta *)
 248   | #V21 #V22 #W2 #T21 #T22 #HV212 #HT212 #H1 #H2
 249     destruct -I1 V21 T11 T /3 width=8/ (**) (* slow *)
 250 (* case 33: flat, delta (excluded) *)
 251   | #V21 #V22 #T21 #T22 #T20 #_ #_ #_ #H1 #H2 destruct
 252 (* case 34: flat, theta *)
 253   | #V2 #V21 #V22 #W21 #W22 #T21 #T22 #H212 #HV222 #HW212 #HT212 #H1 #H2
 254     destruct -I1 V21 T11 T //
 255
 256 lemma tpr_conf_flat_theta:
 257    ∀V11,V12,T12,V2,V22,W21,W22,T21,T22. (
 258       ∀T1. #T1 < #V11 + (#W21 + #T21 + 1) + 1 →
 259       ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
 260       ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒T0
 261    ) →
 262    V11 ⇒ V12 → V11 ⇒ V22 → ↑[O,1] V22 ≡ V2 →
 263    W21 ⇒ W22 → T21 ⇒ T22 →  𝕓{Abbr} W21. T21 ⇒ T12 →
 264    ∃∃T0. 𝕗{Appl} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{Abbr} W22. 𝕗{Appl} V2. T22 ⇒T0.
 265
 266 lemma tpr_conf_bind_delta:
 267    ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
 268       ∀X. #X < #V0 + #T0 + 1 →
 269       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 270       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2⇒X
 271    ) →
 272    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
 273    T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
 274    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.