matita/matita/lib/lambda-delta/reduction/tpr_tpr.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/lift_fun.ma".
  13 include "lambda-delta/substitution/lift_weight.ma".
  14 include "lambda-delta/reduction/tpr_main.ma".
  15 include "lambda-delta/reduction/tpr_ps.ma".
  16
  17 (* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
  18
  19 (* Confluence lemmas ********************************************************)
  20
  21 lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
  22 /2/ qed.
  23
  24 lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
  25 /2/ qed.
  26
  27 lemma tpr_conf_bind_bind:
  28    ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
  29       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  30       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  31       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  32    ) →
  33    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
  34    ∃∃X. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{I} V2. T2 ⇒ X.
  35 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
  36 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  37 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
  38 qed.
  39
  40 lemma tpr_conf_bind_delta:
  41    ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
  42       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  43       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  44       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  45    ) →
  46    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
  47    T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
  48    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
  49 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #T #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HT2
  50 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  51 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // -V0 T0 #T0 #HT10 #HT20
  52 elim (tpr_ps_bind … HV2 HT20 … HT2) -HT20 HT2 /3 width=5/
  53 qed.
  54
  55 lemma tpr_conf_bind_zeta:
  56    ∀X2,V0,V1,T0,T1,T. (
  57       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 +1 →
  58       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  59       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  60    ) →
  61    V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T ⇒ X2 → ↑[O, 1] T ≡ T0 →
  62    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
  63 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #T #IH #HV01 #HT01 #HTX2 #HT0
  64 elim (tpr_inv_lift … HT01 … HT0) -HT01 #U #HUT1 #HTU
  65 lapply (tw_lift … HT0) -HT0 #HT0
  66 elim (IH … HTX2 … HTU) -HTX2 HTU IH /3/
  67 qed.
  68
  69 lemma tpr_conf_flat_flat:
  70    ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
  71       ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
  72       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  73       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  74    ) →
  75    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
  76    ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
  77 #I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
  78 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  79 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
  80 qed.
  81
  82 lemma tpr_conf_flat_beta:
  83    ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
  84       ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
  85       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
  86       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
  87    ) →
  88    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
  89    U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
  90    ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
  91 #V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
  92 elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
  93 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
  94 elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
  95 qed.
  96
  97 lemma tpr_conf_flat_theta:
  98    ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
  99       ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
 100       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 101       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 102    ) →
 103    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
 104    W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 →  𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
 105    ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
 106 #V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
 107 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
 108 elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
 109 lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
 110 elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
 111 (* case 1: bind *)
 112 [ -HV2 HVV2 #WW #UU #HWW0 #HUU0 #H destruct -T1;
 113   elim (IH … HW02 … HWW0) -HW02 HWW0 // #W #HW2 #HWW
 114   elim (IH … HU02 … HUU0) -HU02 HUU0 IH // #U #HU2 #HUU
 115   @ex2_1_intro [2: @tpr_theta |1:skip |3: @tpr_bind ] /2 width=7/ (**) (* /4 width=7/ is too slow *)
 116 (* case 2: delta *)
 117 | -HV2 HVV2 #WW2 #UU2 #UU #HWW2 #HUU02 #HUU2 #H destruct -T1;
 118   elim (IH … HW02 … HWW2) -HW02 HWW2 // #W #HW02 #HWW2
 119   elim (IH … HU02 … HUU02) -HU02 HUU02 IH // #U #HU2 #HUUU2
 120   elim (tpr_ps_bind … HWW2 HUUU2 … HUU2) -HUU2 HUUU2 #UUU #HUUU2 #HUUU1
 121   @ex2_1_intro
 122   [2: @tpr_theta
 123   |1:skip
 124   |3: @tpr_delta [3: @tpr_flat |1: skip ]
 125   ] /2 width=14/ (**) (* /5 width=14/ is too slow *)
 126 (* case 3: zeta *)
 127 | -HW02 HVV HVVV #UU1 #HUU10 #HUUT1
 128   elim (tpr_inv_lift … HU02 … HUU10) -HU02 #UU #HUU2 #HUU1
 129   lapply (tw_lift … HUU10) -HUU10 #HUU10
 130   elim (IH … HUUT1 … HUU1) -HUUT1 HUU1 IH // -HUU10 #U #HU2 #HUUU2
 131   @ex2_1_intro
 132   [2: @tpr_flat
 133   |1: skip
 134   |3: @tpr_zeta [2: @lift_flat |1: skip |3: @tpr_flat ]
 135   ] /2 width=5/ (**) (* /5 width=5/ is too slow *)
 136 ]
 137 qed.
 138
 139 lemma tpr_conf_flat_cast:
 140    ∀X2,V0,V1,T0,T1. (
 141       ∀X0:term. #X0 < #V0 + # T0 + 1 →
 142       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 143       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 144    ) →
 145    V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ X2 →
 146    ∃∃X. 𝕗{Cast} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
 147 #X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #IH #_ #HT01 #HT02
 148 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3/
 149 qed.
 150
 151 lemma tpr_conf_beta_beta:
 152    ∀W0:term. ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
 153       ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
 154       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 155       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 156    ) →
 157    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
 158    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
 159 #W0 #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
 160 elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 //
 161 elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
 162 qed.
 163
 164 (* Confluence ***************************************************************)
 165
 166 lemma tpr_conf_aux:
 167    ∀Y0:term. (
 168       ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 169       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 170          ) →
 171    ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
 172    ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
 173 #Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
 174 [ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
 175   lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
 176 (* case 1: sort, sort *)
 177   #H1 destruct -X2 //
 178 | #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
 179   lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
 180 (* case 2: lref, lref *)
 181   #H1 destruct -X2 //
 182 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
 183   elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
 184 (* case 3: bind, bind *)
 185   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
 186     @tpr_conf_bind_bind /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
 187 (* case 4: bind, delta *)
 188   | #V2 #T2 #T #HV02 #HT02 #HT2 #H1 #H2 destruct -X2 I
 189     @tpr_conf_bind_delta /2 width=9/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
 190 (* case 5: bind, zeta *)
 191   | #T #HT0 #HTX2 #H destruct -I
 192     @tpr_conf_bind_zeta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
 193   ]
 194 | #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
 195   elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
 196 (* case 6: flat, flat *)
 197   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
 198     @tpr_conf_flat_flat /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
 199 (* case 7: flat, beta *)
 200   | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
 201     @tpr_conf_flat_beta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
 202 (* case 8: flat, theta *)
 203   | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
 204     @tpr_conf_flat_theta /2 width=11/ (**) (* /3 width=11/ is too slow *)
 205 (* case 9: flat, tau *)
 206   | #HT02 #H destruct -I
 207     @tpr_conf_flat_cast /2 width=6/ (**) (* /3 width=6/ is too slow *)
 208   ]
 209 | #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
 210   elim (tpr_inv_appl1 … H1) -H1 *
 211 (* case 10: beta, flat (repeated) *)
 212   [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
 213     @ex2_1_comm @tpr_conf_flat_beta /2 width=8/
 214 (* case 11: beta, beta *)
 215   | #V2 #WW0 #TT0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 destruct -W0 T0 X2
 216     @tpr_conf_beta_beta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
 217 (* case 12, beta, theta (excluded) *)
 218   | #V2 #VV2 #WW0 #W2 #TT0 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
 219   ]
 220 | #V0 #V1 #T0 #T1 #TT1 #HV01 #T01 #HTT1 #H1 #H2 destruct -Y0
 221   elim (tpr_inv_abbr1 … H1) -H1 *
 222 (* case 13: delta, bind (repeated) *)
 223   [ #V2 #T2 #HV02 #T02 #H destruct -X2
 224     @ex2_1_comm @tpr_conf_bind_delta /2 width=9/
 225
 226
 227
 228 lemma tpr_conf_beta_beta:
 229    ∀V0,V1,W0,T0,T1,V2,T2. (
 230       ∀X0:term. #X0 ≤ #V0 + (#W0 + #T0 + 1) + 1 →
 231       ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
 232       ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
 233    ) →
 234    V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
 235    ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
 236 #V0 #V1 #W0 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
 237
 238
 239
 240
 241 theorem tpr_conf: ∀T0,T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
 242                   ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
 243 #T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6/
 244 qed.