matita/matita/lib/lambda-delta/substitution/lift.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/language/term.ma".
  13
  14 (* RELOCATION ***************************************************************)
  15
  16 inductive lift: term → nat → nat → term → Prop ≝
  17    | lift_sort   : ∀k,d,e. lift (⋆k) d e (⋆k)
  18    | lift_lref_lt: ∀i,d,e. i < d → lift (#i) d e (#i)
  19    | lift_lref_ge: ∀i,d,e. d ≤ i → lift (#i) d e (#(i + e))
  20    | lift_con2   : ∀I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  21                    lift V1 d e V2 → lift T1 (d + 1) e T2 →
  22                    lift (♭I V1. T1) d e (♭I V2. T2)
  23 .
  24
  25 interpretation "relocation" 'RLift T1 d e T2 = (lift T1 d e T2).
  26
  27 (* The basic properties *****************************************************)
  28
  29 lemma lift_lref_ge_minus: ∀d,e,i. d + e ≤ i → ↑[d,e] #(i - e) ≡ #i.
  30 #d #e #i #H >(plus_minus_m_m i e) in ⊢ (? ? ? ? %) /3/
  31 qed.
  32
  33 (* The basic inversion lemmas ***********************************************)
  34
  35 lemma lift_inv_sort2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀k. T2 = ⋆k → T1 = ⋆k.
  36 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2 //
  37    [ #i #d #e #_ #k #H destruct
  38    | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
  39    ]
  40 qed.
  41
  42 lemma lift_inv_sort2: ∀d,e,T1,k. ↑[d,e] T1 ≡ ⋆k → T1 = ⋆k.
  43 #d #e #T1 #k #H lapply (lift_inv_sort2_aux … H) /2/
  44 qed.
  45
  46 lemma lift_inv_lref2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀i. T2 = #i →
  47                           (i < d ∧ T1 = #i) ∨ (d + e ≤ i ∧ T1 = #(i - e)).
  48 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
  49    [ #k #d #e #i #H destruct
  50    | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct /3/
  51    | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct <minus_plus_m_m /4/
  52    | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
  53    ]
  54 qed.
  55
  56 lemma lift_inv_lref2: ∀d,e,T1,i. ↑[d,e] T1 ≡ #i →
  57                       (i < d ∧ T1 = #i) ∨ (d + e ≤ i ∧ T1 = #(i - e)).
  58 #d #e #T1 #i #H lapply (lift_inv_lref2_aux … H) /2/
  59 qed.
  60
  61 lemma lift_inv_con22_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 →
  62                           ∀I,V2,U2. T2 = ♭I V2.U2 →
  63                           ∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 ∧ ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 ∧
  64                                   T1 = ♭I V1.U1.
  65 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
  66    [ #k #d #e #I #V2 #U2 #H destruct
  67    | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
  68    | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
  69    | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V2 #U2 #H destruct /5/
  70 qed.
  71
  72 lemma lift_inv_con22: ∀d,e,T1,I,V2,U2. ↑[d,e] T1 ≡  ♭I V2. U2 →
  73                       ∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 ∧ ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 ∧
  74                               T1 = ♭I V1. U1.
  75 #d #e #T1 #I #V2 #U2 #H lapply (lift_inv_con22_aux … H) /2/
  76 qed.
  77
  78 (* the main properies *******************************************************)
  79
  80 axiom lift_trans_rev: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1,e1] T1 ≡ T →
  81                       ∀d2,e2,T2. ↑[d2 + e1, e2] T2 ≡ T →
  82                       d1 ≤ d2 →
  83                       ∃T0. ↑[d1, e1] T0 ≡ T2 ∧ ↑[d2, e2] T0 ≡ T1.