matita/matita/lib/lambda-delta/substitution/lift_defs.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/syntax/term.ma".
  13
  14 (* RELOCATION ***************************************************************)
  15
  16 inductive lift: term → nat → nat → term → Prop ≝
  17 | lift_sort   : ∀k,d,e. lift (⋆k) d e (⋆k)
  18 | lift_lref_lt: ∀i,d,e. i < d → lift (#i) d e (#i)
  19 | lift_lref_ge: ∀i,d,e. d ≤ i → lift (#i) d e (#(i + e))
  20 | lift_bind   : ∀I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  21                 lift V1 d e V2 → lift T1 (d + 1) e T2 →
  22                 lift (𝕓{I} V1. T1) d e (𝕓{I} V2. T2)
  23 | lift_flat   : ∀I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  24                 lift V1 d e V2 → lift T1 d e T2 →
  25                 lift (𝕗{I} V1. T1) d e (𝕗{I} V2. T2)
  26 .
  27
  28 interpretation "relocation" 'RLift T1 d e T2 = (lift T1 d e T2).
  29
  30 (* The basic properties *****************************************************)
  31
  32 lemma lift_lref_ge_minus: ∀d,e,i. d + e ≤ i → ↑[d,e] #(i - e) ≡ #i.
  33 #d #e #i #H >(plus_minus_m_m i e) in ⊢ (? ? ? ? %) /3/
  34 qed.
  35
  36 (* The basic inversion lemmas ***********************************************)
  37
  38 lemma lift_inv_sort1_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀k. T1 = ⋆k → T2 = ⋆k.
  39 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2 //
  40 [ #i #d #e #_ #k #H destruct
  41 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
  42 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
  43 ]
  44 qed.
  45
  46 lemma lift_inv_sort1: ∀d,e,T2,k. ↑[d,e] ⋆k ≡ T2 → T2 = ⋆k.
  47 #d #e #T2 #k #H lapply (lift_inv_sort1_aux … H) /2/
  48 qed.
  49
  50 lemma lift_inv_lref1_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀i. T1 = #i →
  51                           (i < d ∧ T2 = #i) ∨ (d ≤ i ∧ T2 = #(i + e)).
  52 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
  53 [ #k #d #e #i #H destruct
  54 | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct /3/
  55 | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct /3/
  56 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
  57 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
  58 ]
  59 qed.
  60
  61 lemma lift_inv_lref1: ∀d,e,T2,i. ↑[d,e] #i ≡ T2 →
  62                       (i < d ∧ T2 = #i) ∨ (d ≤ i ∧ T2 = #(i + e)).
  63 #d #e #T2 #i #H lapply (lift_inv_lref1_aux … H) /2/
  64 qed.
  65
  66 lemma lift_inv_bind1_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 →
  67                           ∀I,V1,U1. T1 = 𝕓{I} V1.U1 →
  68                           ∃∃V2,U2. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 &
  69                                    T2 = 𝕓{I} V2. U2.
  70 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
  71 [ #k #d #e #I #V1 #U1 #H destruct
  72 | #i #d #e #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  73 | #i #d #e #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  74 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V1 #U1 #H destruct /2 width=5/
  75 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  76 ]
  77 qed.
  78
  79 lemma lift_inv_bind1: ∀d,e,T2,I,V1,U1. ↑[d,e] 𝕓{I} V1. U1 ≡ T2 →
  80                       ∃∃V2,U2. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 &
  81                                T2 = 𝕓{I} V2. U2.
  82 #d #e #T2 #I #V1 #U1 #H lapply (lift_inv_bind1_aux … H) /2/
  83 qed.
  84
  85 lemma lift_inv_flat1_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 →
  86                           ∀I,V1,U1. T1 = 𝕗{I} V1.U1 →
  87                           ∃∃V2,U2. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d,e] U1 ≡ U2 &
  88                                    T2 = 𝕗{I} V2. U2.
  89 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
  90 [ #k #d #e #I #V1 #U1 #H destruct
  91 | #i #d #e #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  92 | #i #d #e #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  93 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V1 #U1 #H destruct
  94 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V1 #U1 #H destruct /2 width=5/
  95 ]
  96 qed.
  97
  98 lemma lift_inv_flat1: ∀d,e,T2,I,V1,U1. ↑[d,e] 𝕗{I} V1. U1 ≡ T2 →
  99                       ∃∃V2,U2. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d,e] U1 ≡ U2 &
 100                                T2 = 𝕗{I} V2. U2.
 101 #d #e #T2 #I #V1 #U1 #H lapply (lift_inv_flat1_aux … H) /2/
 102 qed.
 103
 104 lemma lift_inv_sort2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀k. T2 = ⋆k → T1 = ⋆k.
 105 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2 //
 106 [ #i #d #e #_ #k #H destruct
 107 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
 108 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #k #H destruct
 109 ]
 110 qed.
 111
 112 lemma lift_inv_sort2: ∀d,e,T1,k. ↑[d,e] T1 ≡ ⋆k → T1 = ⋆k.
 113 #d #e #T1 #k #H lapply (lift_inv_sort2_aux … H) /2/
 114 qed.
 115
 116 lemma lift_inv_lref2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀i. T2 = #i →
 117                           (i < d ∧ T1 = #i) ∨ (d + e ≤ i ∧ T1 = #(i - e)).
 118 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
 119 [ #k #d #e #i #H destruct
 120 | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct /3/
 121 | #j #d #e #Hj #i #Hi destruct <minus_plus_m_m /4/
 122 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
 123 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
 124 ]
 125 qed.
 126
 127 lemma lift_inv_lref2: ∀d,e,T1,i. ↑[d,e] T1 ≡ #i →
 128                       (i < d ∧ T1 = #i) ∨ (d + e ≤ i ∧ T1 = #(i - e)).
 129 #d #e #T1 #i #H lapply (lift_inv_lref2_aux … H) /2/
 130 qed.
 131
 132 lemma lift_inv_bind2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 →
 133                           ∀I,V2,U2. T2 = 𝕓{I} V2.U2 →
 134                           ∃∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 &
 135                                    T1 = 𝕓{I} V1. U1.
 136 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
 137 [ #k #d #e #I #V2 #U2 #H destruct
 138 | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 139 | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 140 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V2 #U2 #H destruct /2 width=5/
 141 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 142 ]
 143 qed.
 144
 145 lemma lift_inv_bind2: ∀d,e,T1,I,V2,U2. ↑[d,e] T1 ≡  𝕓{I} V2. U2 →
 146                       ∃∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d+1,e] U1 ≡ U2 &
 147                                T1 = 𝕓{I} V1. U1.
 148 #d #e #T1 #I #V2 #U2 #H lapply (lift_inv_bind2_aux … H) /2/
 149 qed.
 150
 151 lemma lift_inv_flat2_aux: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 →
 152                           ∀I,V2,U2. T2 = 𝕗{I} V2.U2 →
 153                           ∃∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d,e] U1 ≡ U2 &
 154                                    T1 = 𝕗{I} V1. U1.
 155 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2
 156 [ #k #d #e #I #V2 #U2 #H destruct
 157 | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 158 | #i #d #e #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 159 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V2 #U2 #H destruct
 160 | #J #W1 #W2 #T1 #T2 #d #e #HW #HT #_ #_ #I #V2 #U2 #H destruct /2 width = 5/
 161 ]
 162 qed.
 163
 164 lemma lift_inv_flat2: ∀d,e,T1,I,V2,U2. ↑[d,e] T1 ≡  𝕗{I} V2. U2 →
 165                       ∃∃V1,U1. ↑[d,e] V1 ≡ V2 & ↑[d,e] U1 ≡ U2 &
 166                                T1 = 𝕗{I} V1. U1.
 167 #d #e #T1 #I #V2 #U2 #H lapply (lift_inv_flat2_aux … H) /2/
 168 qed.