matita/matita/lib/lambda-delta/substitution/lift_main.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "lambda-delta/substitution/lift_defs.ma".
  16
  17 (* RELOCATION ***************************************************************)
  18
  19 (* the main properies *******************************************************)
  20
  21 lemma lift_div_le: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
  22                    ∀d2,e2,T2. ↑[d2 + e1, e2] T2 ≡ T →
  23                    d1 ≤ d2 →
  24                    ∃∃T0. ↑[d1, e1] T0 ≡ T2 & ↑[d2, e2] T0 ≡ T1.
  25 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -H d1 e1 T1 T
  26 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #Hk #Hd12
  27   lapply (lift_inv_sort2 … Hk) -Hk #Hk destruct -T2 /3/
  28 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
  29   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
  30   lapply (lift_inv_lref2_lt … Hi ?) -Hi /3/
  31 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #Hi #Hd12
  32   elim (lift_inv_lref2 … Hi) -Hi * #Hid2 #H destruct -T2
  33   [ -Hd12; lapply (lt_plus_to_lt_l … Hid2) -Hid2 #Hid2 /3/
  34   | -Hid1; lapply (arith1 … Hid2) -Hid2 #Hid2
  35     @(ex2_1_intro … #(i - e2))
  36     [ >le_plus_minus_comm [ @lift_lref_ge @(transitive_le … Hd12) -Hd12 /2/ | -Hd12 /2/ ]
  37     | -Hd12 >(plus_minus_m_m i e2) in ⊢ (? ? ? ? %) /3/
  38     ]
  39   ]
  40 | #I #W1 #W #U1 #U #d1 #e1 #_ #_ #IHW #IHU #d2 #e2 #T2 #H #Hd12
  41   lapply (lift_inv_bind2 … H) -H * #W2 #U2 #HW2 #HU2 #H destruct -T2;
  42   elim (IHW … HW2 ?) // -IHW HW2 #W0 #HW2 #HW1
  43   >plus_plus_comm_23 in HU2 #HU2 elim (IHU … HU2 ?) /3 width = 5/
  44 | #I #W1 #W #U1 #U #d1 #e1 #_ #_ #IHW #IHU #d2 #e2 #T2 #H #Hd12
  45   lapply (lift_inv_flat2 … H) -H * #W2 #U2 #HW2 #HU2 #H destruct -T2;
  46   elim (IHW … HW2 ?) // -IHW HW2 #W0 #HW2 #HW1
  47   elim (IHU … HU2 ?) /3 width = 5/
  48 ]
  49 qed.
  50
  51 lemma lift_free: ∀d1,e2,T1,T2. ↑[d1, e2] T1 ≡ T2 → ∀d2,e1.
  52                                d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + e1 → e1 ≤ e2 →
  53                                ∃∃T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T & ↑[d2, e2 - e1] T ≡ T2.
  54 #d1 #e2 #T1 #T2 #H elim H -H d1 e2 T1 T2
  55 [ /3/
  56 | #i #d1 #e2 #Hid1 #d2 #e1 #Hd12 #_ #_
  57   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2 /4/
  58 | #i #d1 #e2 #Hid1 #d2 #e1 #_ #Hd21 #He12
  59   lapply (transitive_le …(i+e1) Hd21 ?) /2/ -Hd21 #Hd21
  60   <(plus_plus_minus_m_m e1 e2 i) /3/
  61 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e2 #_ #_ #IHV #IHT #d2 #e1 #Hd12 #Hd21 #He12
  62   elim (IHV … Hd12 Hd21 He12) -IHV #V0 #HV0a #HV0b
  63   elim (IHT (d2+1) … ? ? He12) /3 width = 5/
  64 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e2 #_ #_ #IHV #IHT #d2 #e1 #Hd12 #Hd21 #He12
  65   elim (IHV … Hd12 Hd21 He12) -IHV #V0 #HV0a #HV0b
  66   elim (IHT d2 … ? ? He12) /3 width = 5/
  67 ]
  68 qed.
  69
  70 lemma lift_trans_be: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
  71                      ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 →
  72                      d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + e1 → ↑[d1, e1 + e2] T1 ≡ T2.
  73 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -H d1 e1 T1 T
  74 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #_
  75   >(lift_inv_sort1 … HT2) -HT2 //
  76 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #Hd12 #_
  77   lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
  78   lapply (lift_inv_lref1_lt … HT2 Hid2) /2/
  79 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #T2 #HT2 #_ #Hd21
  80   lapply (lift_inv_lref1_ge … HT2 ?) -HT2
  81   [ @(transitive_le … Hd21 ?) -Hd21 /2/
  82   | -Hd21 /2/
  83   ]
  84 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
  85   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
  86   lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 HV20 #HV10
  87   lapply (IHT12 … HT20 ? ?) /2/
  88 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd12 #Hd21
  89   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
  90   lapply (IHV12 … HV20 ? ?) // -IHV12 HV20 #HV10
  91   lapply (IHT12 … HT20 ? ?) /2/
  92 ]
  93 qed.
  94
  95 lemma lift_trans_le: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
  96                      ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 → d2 ≤ d1 →
  97                      ∃∃T0. ↑[d2, e2] T1 ≡ T0 & ↑[d1 + e2, e1] T0 ≡ T2.
  98 #d1 #e1 #T1 #T #H elim H -H d1 e1 T1 T
  99 [ #k #d1 #e1 #d2 #e2 #X #HX #_
 100   >(lift_inv_sort1 … HX) -HX /2/
 101 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #_
 102   lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+e2) Hid1 ?) // #Hie2
 103   elim (lift_inv_lref1 … HX) -HX * #Hid2 #HX destruct -X /4/
 104 | #i #d1 #e1 #Hid1 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 105   lapply (transitive_le … Hd21 Hid1) -Hd21 #Hid2
 106   lapply (lift_inv_lref1_ge … HX ?) -HX /2/ #HX destruct -X;
 107   >plus_plus_comm_23 /4/
 108 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 109   elim (lift_inv_bind1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
 110   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 HV20 //
 111   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 HT20 /3 width=5/
 112 | #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d1 #e1 #_ #_ #IHV12 #IHT12 #d2 #e2 #X #HX #Hd21
 113   elim (lift_inv_flat1 … HX) -HX #V0 #T0 #HV20 #HT20 #HX destruct -X;
 114   elim (IHV12 … HV20 ?) -IHV12 HV20 //
 115   elim (IHT12 … HT20 ?) -IHT12 HT20 /3 width=5/
 116 ]
 117 qed.
 118
 119 axiom lift_trans_ge: ∀d1,e1,T1,T. ↑[d1, e1] T1 ≡ T →
 120                      ∀d2,e2,T2. ↑[d2, e2] T ≡ T2 → d1 + e1 ≤ d2 →
 121                      ∃∃T0. ↑[d2 - e1, e2] T1 ≡ T0 & ↑[d1, e1] T0 ≡ T2.