matita/matita/lib/lambda-delta/substitution/subst_defs.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/drop_defs.ma".
  13
  14 (* TELESCOPIC SUBSTITUTION **************************************************)
  15
  16 inductive subst: lenv → term → nat → nat → term → Prop ≝
  17 | subst_sort   : ∀L,k,d,e. subst L (⋆k) d e (⋆k)
  18 | subst_lref_lt: ∀L,i,d,e. i < d → subst L (#i) d e (#i)
  19 | subst_lref_be: ∀L,K,V,U1,U2,i,d,e.
  20                  d ≤ i → i < d + e →
  21                  ↑[0, i] K. 𝕓{Abbr} V ≡ L → subst K V 0 (d + e - i - 1) U1 →
  22                  ↑[0, d] U1 ≡ U2 → subst L (#i) d e U2
  23 | subst_lref_ge: ∀L,i,d,e. d + e ≤ i → subst L (#i) d e (#(i - e))
  24 | subst_bind   : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  25                  subst L V1 d e V2 → subst (L. 𝕓{I} V1) T1 (d + 1) e T2 →
  26                  subst L (𝕓{I} V1. T1) d e (𝕓{I} V2. T2)
  27 | subst_flat   : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  28                  subst L V1 d e V2 → subst L T1 d e T2 →
  29                  subst L (𝕗{I} V1. T1) d e (𝕗{I} V2. T2)
  30 .
  31
  32 interpretation "telescopic substritution" 'RSubst L T1 d e T2 = (subst L T1 d e T2).
  33
  34 (* The basic properties *****************************************************)
  35
  36 lemma subst_lift_inv: ∀d,e,T1,T2. ↑[d,e] T1 ≡ T2 → ∀L. L ⊢ ↓[d,e] T2 ≡ T1.
  37 #d #e #T1 #T2 #H elim H -H d e T1 T2 /2/
  38 #i #d #e #Hdi #L >(minus_plus_m_m i e) in ⊢ (? ? ? ? ? %) /3/
  39 qed.
  40 (*
  41 | subst_lref_O : ∀L,V1,V2,e. subst L V1 0 e V2 →
  42                  subst (L. 𝕓{Abbr} V1) #0 0 (e + 1) V2
  43 | subst_lref_S : ∀L,I,V,i,T1,T2,d,e.
  44                  d ≤ i → i < d + e → subst L #i d e T1 → ↑[d,1] T2 ≡ T1 →
  45                  subst (L. 𝕓{I} V) #(i + 1) (d + 1) e T2
  46 *)
  47 (* The basic inversion lemmas ***********************************************)
  48
  49 lemma subst_inv_bind1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ ↓[d, e] U1 ≡ U2 →
  50                            ∀I,V1,T1. U1 = 𝕓{I} V1. T1 →
  51                            ∃∃V2,T2. subst L V1 d e V2 &
  52                                     subst (L. 𝕓{I} V1) T1 (d + 1) e T2 &
  53                                     U2 =  𝕓{I} V2. T2.
  54 #d #e #L #U1 #U2 #H elim H -H d e L U1 U2
  55 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  56 | #L #i #d #e #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  57 | #L #K #V #U1 #U2 #i #d #e #_ #_ #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  58 | #L #i #d #e #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  59 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #_ #_ #I #V #T #H destruct /2 width=5/
  60 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V #T #H destruct
  61 ]
  62 qed.
  63
  64 lemma subst_inv_bind1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ ↓[d, e] 𝕓{I} V1. T1 ≡ U2 →
  65                        ∃∃V2,T2. subst L V1 d e V2 &
  66                                 subst (L. 𝕓{I} V1) T1 (d + 1) e T2 &
  67                                 U2 =  𝕓{I} V2. T2.
  68 /2/ qed.
  69
  70 lemma subst_inv_flat1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ ↓[d, e] U1 ≡ U2 →
  71                            ∀I,V1,T1. U1 = 𝕗{I} V1. T1 →
  72                            ∃∃V2,T2. subst L V1 d e V2 & subst L T1 d e T2 &
  73                                     U2 =  𝕗{I} V2. T2.
  74 #d #e #L #U1 #U2 #H elim H -H d e L U1 U2
  75 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  76 | #L #i #d #e #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  77 | #L #K #V #U1 #U2 #i #d #e #_ #_ #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  78 | #L #i #d #e #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  79 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V #T #H destruct
  80 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #_ #_ #I #V #T #H destruct /2 width=5/
  81 ]
  82 qed.
  83
  84 lemma subst_inv_flat1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ ↓[d, e] 𝕗{I} V1. T1 ≡ U2 →
  85                        ∃∃V2,T2. subst L V1 d e V2 & subst L T1 d e T2 &
  86                                 U2 =  𝕗{I} V2. T2.
  87 /2/ qed.
  88 (*
  89 lemma subst_inv_lref1_be_aux: ∀d,e,L,T,U. L ⊢ ↓[d, e] T ≡ U →
  90                               ∀i. d ≤ i → i < d + e → T = #i →
  91                               ∃∃K,V. ↑[0, i] K. 𝕓{Abbr} V ≡ L &
  92                                      K ⊢ ↓[d, d + e - i - 1] V ≡ U.
  93 #d #e #L #T #U #H elim H -H d e L T U
  94 [ #L #k #d #e #i #_ #_ #H destruct
  95 | #L #j #d #e #Hid #i #Hdi #_ #H destruct -j;
  96   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdi … Hid) -Hdi Hid #Hdd
  97   elim (lt_false … Hdd)
  98 | #L #K #V #U #j #d #e #_ #_ #HLK #HVU #_ #i #Hdi #Hide #H destruct -j /2/
  99 | #L #j #d #e #Hdei #i #_ #Hide #H destruct -j;
 100   lapply (le_to_lt_to_lt … Hdei … Hide) -Hdei Hide #Hdede
 101   elim (lt_false … Hdede)
 102 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #_ #_ #H destruct
 103 | #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #i #_ #_ #H destruct
 104 ]
 105 qed.
 106
 107 lemma subst_inv_lref1_be: ∀d,e,i,L,U. L ⊢ ↓[d, e] #i ≡ U →
 108                           d ≤ i → i < d + e →
 109                           ∃∃K,V. ↑[0, i] K. 𝕓{Abbr} V ≡ L &
 110                                  K ⊢ ↓[d, d + e - i - 1] V ≡ U.
 111 /2/ qed.
 112 *)