matita/matita/lib/lambdaN/reduction.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambdaN/par_reduction.ma".
  13 include "basics/star.ma".
  14
  15 (*
  16 inductive T : Type[0] ≝
  17   | Sort: nat → T
  18   | Rel: nat → T
  19   | App: T → T → T
  20   | Lambda: T → T → T (* type, body *)
  21   | Prod: T → T → T (* type, body *)
  22   | D: T →T
  23 . *)
  24
  25 inductive red : T →T → Prop ≝
  26   | rbeta: ∀P,M,N. red (App (Lambda P M) N) (M[0 ≝ N])
  27   | rappl: ∀M,M1,N. red M M1 → red (App M N) (App M1 N)
  28   | rappr: ∀M,N,N1. red N N1 → red (App M N) (App M N1)
  29   | rlaml: ∀M,M1,N. red M M1 → red (Lambda M N) (Lambda M1 N)
  30   | rlamr: ∀M,N,N1. red N N1 → red(Lambda M N) (Lambda M N1)
  31   | rprodl: ∀M,M1,N. red M M1 → red (Prod M N) (Prod M1 N)
  32   | rprodr: ∀M,N,N1. red N N1 → red (Prod M N) (Prod M N1)
  33   | dl: ∀M,M1,N. red M M1 → red (D M N) (D M1 N)
  34   | dr: ∀M,N,N1. red N N1 → red (D M N) (D M N1).
  35
  36 lemma red_to_pr: ∀M,N. red M N → pr M N.
  37 #M #N #redMN (elim redMN) /2/
  38 qed.
  39
  40 lemma red_d : ∀M,N,P. red (D M N) P →
  41   (∃M1. P = D M1 N ∧ red M M1) ∨
  42   (∃N1. P = D M N1 ∧ red N N1).
  43 #M #N #P #redMP (inversion redMP)
  44   [#P1 #M1 #N1 #eqH destruct
  45   |2,3,4,5,6,7:#Q1 #Q2 #N1 #red1 #_ #eqH destruct
  46   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP
  47    %1 @(ex_intro … M1) /2/
  48   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP
  49    %2 @(ex_intro … N1) /2/
  50   ]
  51 qed.
  52
  53 lemma red_lambda : ∀M,N,P. red (Lambda M N) P →
  54  (∃M1. P = (Lambda M1 N) ∧ red M M1) ∨
  55  (∃N1. P = (Lambda M N1) ∧ red N N1).
  56 #M #N #P #redMNP (inversion redMNP)
  57   [#P1 #M1 #N1 #eqH destruct
  58   |2,3,6,7,8,9:#Q1 #Q2 #N1 #red1 #_ #eqH destruct
  59   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %1
  60    (@(ex_intro … M1)) % //
  61   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %2
  62    (@(ex_intro … N1)) % //
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 lemma red_prod : ∀M,N,P. red (Prod M N) P →
  67  (∃M1. P = (Prod M1 N) ∧ red M M1) ∨
  68  (∃N1. P = (Prod M N1) ∧ red N N1).
  69 #M #N #P #redMNP (inversion redMNP)
  70   [#P1 #M1 #N1 #eqH destruct
  71   |2,3,4,5,8,9:#Q1 #Q2 #N1 #red1 #_ #eqH destruct
  72   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %1
  73    (@(ex_intro … M1)) % //
  74   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %2
  75    (@(ex_intro … N1)) % //
  76   ]
  77 qed.
  78
  79 lemma red_app : ∀M,N,P. red (App M N) P →
  80  (∃M1,N1. M =  (Lambda M1 N1) ∧ P = N1[0:=N]) ∨
  81  (∃M1. P = (App M1 N) ∧ red M M1) ∨
  82  (∃N1. P = (App M N1) ∧ red N N1).
  83 #M #N #P #redMNP (inversion redMNP)
  84   [#P1 #M1 #N1 #eqH destruct #eqP %1 %1
  85    @(ex_intro … P1) @(ex_intro … M1) % //
  86   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %1 %2
  87    (@(ex_intro … M1)) % //
  88   |#Q1 #M1 #N1 #red1 #_ #eqH destruct #eqP %2
  89    (@(ex_intro … N1)) % //
  90   |4,5,6,7,8,9:#Q1 #Q2 #N1 #red1 #_ #eqH destruct
  91   ]
  92 qed.
  93
  94 definition reduct ≝ λn,m. red m n.
  95
  96 definition SN ≝ WF ? reduct.
  97
  98 definition NF ≝ λM. ∀N. ¬ (reduct N M).
  99
 100 theorem NF_to_SN: ∀M. NF M → SN M.
 101 #M #nfM % #a #red @False_ind /2/
 102 qed.
 103
 104 lemma NF_Sort: ∀i. NF (Sort i).
 105 #i #N % #redN (inversion redN)
 106   [1: #P #N #M #H destruct
 107   |2,3,4,5,6,7,8,9: #N #M #P #_ #_ #H destruct
 108   ]
 109 qed.
 110
 111 lemma NF_Rel: ∀i. NF (Rel i).
 112 #i #N % #redN (inversion redN)
 113   [1: #P #N #M #H destruct
 114   |2,3,4,5,6,7,8,9: #N #M #P #_ #_ #H destruct
 115   ]
 116 qed.
 117
 118 lemma red_subst : ∀N,M,M1,i. red M M1 → red M[i≝N] M1[i≝N].
 119 #N @Telim_size #P (cases P)
 120   [1,2:#j #Hind #M1 #i #r1 @False_ind /2/
 121   |#P #Q #Hind #M1 #i #r1 (cases (red_app … r1))
 122     [*
 123       [* #M2 * #N2 * #eqP #eqM1 >eqP normalize
 124        >eqM1 >(plus_n_O i) >(subst_lemma N2) <(plus_n_O i)
 125        (cut (i+1 =S i)) [//] #Hcut >Hcut @rbeta
 126       |* #M2 * #eqM1 #rP >eqM1 normalize @rappl @Hind /2/
 127       ]
 128     |* #N2 * #eqM1 #rQ >eqM1 normalize @rappr @Hind /2/
 129     ]
 130   |#P #Q #Hind #M1 #i #r1 (cases (red_lambda …r1))
 131     [* #P1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @rlaml @Hind /2/
 132     |* #Q1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @rlamr @Hind /2/
 133     ]
 134   |#P #Q #Hind #M1 #i #r1 (cases (red_prod …r1))
 135     [* #P1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @rprodl @Hind /2/
 136     |* #P1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @rprodr @Hind /2/
 137     ]
 138   |#P #Q #Hind #M1 #i #r1 (cases (red_d …r1))
 139     [* #P1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @dl @Hind /2/
 140     |* #P1 * #eqM1 #redP >eqM1 normalize @dr @Hind /2/
 141     ]
 142 qed.
 143
 144 lemma red_lift: ∀N,N1,n. red N N1 → ∀k. red (lift N k n) (lift N1 k n).
 145 #N #N1 #n #r1 (elim r1) normalize /2/
 146 qed.
 147
 148 (* star red *)
 149 lemma star_appl: ∀M,M1,N. star … red M M1 →
 150   star … red (App M N) (App M1 N).
 151 #M #M1 #N #star1 (elim star1) //
 152 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 153 qed.
 154
 155 lemma star_appr: ∀M,N,N1. star … red N N1 →
 156   star … red (App M N) (App M N1).
 157 #M #N #N1 #star1 (elim star1) //
 158 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 159 qed.
 160
 161 lemma star_app: ∀M,M1,N,N1. star … red M M1 → star … red N N1 →
 162   star … red (App M N) (App M1 N1).
 163 #M #M1 #N #N1 #redM #redN @(trans_star ??? (App M1 N)) /2/
 164 qed.
 165
 166 lemma star_laml: ∀M,M1,N. star … red M M1 →
 167   star … red (Lambda M N) (Lambda M1 N).
 168 #M #M1 #N #star1 (elim star1) //
 169 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 170 qed.
 171
 172 lemma star_lamr: ∀M,N,N1. star … red N N1 →
 173   star … red (Lambda M N) (Lambda M N1).
 174 #M #N #N1 #star1 (elim star1) //
 175 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 176 qed.
 177
 178 lemma star_lam: ∀M,M1,N,N1. star … red M M1 → star … red N N1 →
 179   star … red (Lambda M N) (Lambda M1 N1).
 180 #M #M1 #N #N1 #redM #redN @(trans_star ??? (Lambda M1 N)) /2/
 181 qed.
 182
 183 lemma star_prodl: ∀M,M1,N. star … red M M1 →
 184   star … red (Prod M N) (Prod M1 N).
 185 #M #M1 #N #star1 (elim star1) //
 186 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 187 qed.
 188
 189 lemma star_prodr: ∀M,N,N1. star … red N N1 →
 190   star … red (Prod M N) (Prod M N1).
 191 #M #N #N1 #star1 (elim star1) //
 192 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 193 qed.
 194
 195 lemma star_prod: ∀M,M1,N,N1. star … red M M1 → star … red N N1 →
 196   star … red (Prod M N) (Prod M1 N1).
 197 #M #M1 #N #N1 #redM #redN @(trans_star ??? (Prod M1 N)) /2/
 198 qed.
 199
 200 lemma star_dl: ∀M,M1,N. star … red M M1 →
 201   star … red (D M N) (D M1 N).
 202 #M #M1 #N #star1 (elim star1) //
 203 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 204 qed.
 205
 206 lemma star_dr: ∀M,N,N1. star … red N N1 →
 207   star … red (D M N) (D M N1).
 208 #M #N #N1 #star1 (elim star1) //
 209 #B #C #starMB #redBC #H @(inj … H) /2/
 210 qed.
 211
 212 lemma star_d: ∀M,M1,N,N1. star … red M M1 → star … red N N1 →
 213   star … red (D M N) (D M1 N1).
 214 #M #M1 #N #N1 #redM #redN @(trans_star ??? (D M1 N)) /2/
 215 qed.
 216
 217 lemma red_subst1 : ∀M,N,N1,i. red N N1 →
 218  (star … red) M[i≝N] M[i≝N1].
 219 #M (elim M)
 220   [//
 221   |#i #P #Q #n #r1 (cases (true_or_false (leb i n)))
 222     [#lein (cases (le_to_or_lt_eq i n (leb_true_to_le … lein)))
 223       [#ltin >(subst_rel1 … ltin) >(subst_rel1 … ltin) //
 224       |#eqin >eqin >subst_rel2 >subst_rel2 @R_to_star /2/
 225       ]
 226     |#lefalse (cut (n < i)) [@not_le_to_lt /2/] #ltni
 227      >(subst_rel3 … ltni) >(subst_rel3 … ltni) //
 228     ]
 229   |#P #Q #Hind1 #Hind2 #M1 #N1 #i #r1 normalize @star_app /2/
 230   |#P #Q #Hind1 #Hind2 #M1 #N1 #i #r1 normalize @star_lam /2/
 231   |#P #Q #Hind1 #Hind2 #M1 #N1 #i #r1 normalize @star_prod /2/
 232   |#P #Q #Hind1 #Hind2 #M1 #N1 #i #r1 normalize @star_d /2/
 233   ]
 234 qed.
 235
 236 lemma SN_d : ∀M. SN M → ∀N. SN N → SN (D M N).
 237 #M #snM (elim snM) #b #H #Hind
 238 #N #snN (elim snN) #c #H1 #Hind1 % #a #redd
 239 (cases (red_d … redd))
 240   [* #Q * #eqa #redbQ >eqa @Hind // % /2/
 241   |* #Q * #eqa #redbQ >eqa @Hind1 //
 242   ]
 243 qed.
 244
 245 lemma SN_step: ∀N. SN N → ∀M. reduct M N → SN M.
 246 #N * #b #H #M #red @H //.
 247 qed.
 248
 249 lemma SN_star: ∀M,N. (star … red) N M → SN N → SN M.
 250 #M #N #rstar (elim rstar) //
 251 #Q #P #HbQ  #redQP #snNQ #snN @(SN_step …redQP) /2/
 252 qed.
 253
 254 lemma sub_red: ∀M,N.subterm N M → ∀N1.red N N1 →
 255 ∃M1.subterm N1 M1 ∧ red M M1.
 256 #M #N #subN (elim subN) /4/
 257 (* trsansitive case *)
 258 #P #Q #S #subPQ #subQS #H1 #H2 #A #redP (cases (H1 ? redP))
 259 #B * #subA #redQ (cases (H2 ? redQ)) #C * #subBC #redSC
 260 @(ex_intro … C) /3/
 261 qed.
 262
 263 axiom sub_star_red: ∀M,N.(star … subterm) N M → ∀N1.red N N1 →
 264 ∃M1.subterm N1 M1 ∧ red M M1.
 265
 266 lemma SN_subterm: ∀M. SN M → ∀N.subterm N M → SN N.
 267 #M #snM (elim snM) #M #snM #HindM #N #subNM % #N1 #redN
 268 (cases (sub_red … subNM ? redN)) #M1 *
 269 #subN1M1 #redMM1 @(HindM … redMM1) //
 270 qed.
 271
 272 lemma SN_subterm_star: ∀M. SN M → ∀N.(star … subterm N M) → SN N.
 273 #M #snM #N #Hstar (cases (star_inv T subterm M N)) #_ #H
 274 lapply (H Hstar) #Hstari (elim Hstari) //
 275 #M #N #_ #subNM #snM @(SN_subterm …subNM) //
 276 qed.
 277
 278 definition shrink ≝ λN,M. reduct N M ∨ (TC … subterm) N M.
 279
 280 definition SH ≝ WF ? shrink.
 281
 282 lemma SH_subterm: ∀M. SH M → ∀N.(star … subterm) N M → SH N.
 283 #M #snM (elim snM) #M
 284 #snM #HindM #N #subNM (cases (star_case ???? subNM))
 285   [#eqNM >eqNM % /2/
 286   |#subsNM % #N1 *
 287     [#redN (cases (sub_star_red … subNM ? redN)) #M1 *
 288      #subN1M1 #redMM1 @(HindM M1) /2/
 289     |#subN1 @(HindM N) /2/
 290     ]
 291   ]
 292 qed.
 293
 294 theorem SN_to_SH: ∀N. SN N → SH N.
 295 #N #snN (elim snN) (@Telim_size)
 296 #b #Hsize #snb #Hind % #a * /2/ #subab @Hsize;
 297   [(elim subab)
 298     [#c #subac @size_subterm //
 299     |#b #c #subab #subbc #sab @(transitive_lt … sab) @size_subterm //
 300     ]
 301   |@SN_step @(SN_subterm_star b);
 302     [% /2/ |@TC_to_star @subab] % @snb
 303   |#a1 #reda1 cases(sub_star_red b a ?? reda1);
 304     [#a2 * #suba1 #redba2 @(SH_subterm a2) /2/ |/2/ ]
 305   ]
 306 qed.
 307
 308 lemma SH_to_SN: ∀N. SH N → SN N.
 309 @WF_antimonotonic /2/ qed.
 310
 311 lemma SN_Lambda: ∀N.SN N → ∀M.SN M → SN (Lambda N M).
 312 #N #snN (elim snN) #P #shP #HindP #M #snM
 313 (* for M we proceed by induction on SH *)
 314 (lapply (SN_to_SH ? snM)) #shM (elim shM)
 315 #Q #shQ #HindQ % #a #redH (cases (red_lambda … redH))
 316   [* #S * #eqa #redPS >eqa @(HindP S ? Q ?) //
 317    @SH_to_SN % /2/
 318   |* #S * #eqa #redQS >eqa @(HindQ S) /2/
 319   ]
 320 qed.
 321
 322 lemma SN_Prod: ∀N.SN N → ∀M.SN M → SN (Prod N M).
 323 #N #snN (elim snN) #P #shP #HindP #M #snM (elim snM)
 324 #Q #snQ #HindQ % #a #redH (cases (red_prod … redH))
 325   [* #S * #eqa #redPS >eqa @(HindP S ? Q ?) //
 326    % /2/
 327   |* #S * #eqa #redQS >eqa @(HindQ S) /2/
 328   ]
 329 qed.
 330
 331 lemma SN_subst: ∀i,N,M.SN M[i ≝ N] → SN M.
 332 #i #N (cut (∀P.SN P → ∀M.P=M[i ≝ N] → SN M));
 333   [#P #H (elim H) #Q #snQ #Hind #M #eqM % #M1 #redM
 334    @(Hind M1[i:=N]) // >eqM /2/
 335   |#Hcut #M #snM @(Hcut … snM) //
 336 qed.
 337
 338 (*
 339 lemma SN_DAPP: ∀N,M. SN (App M N) → SN (App (D M) N).
 340 cut (∀P. SN P → ∀M,N. P = App M N → SN (App (D M) N)); [|/2/]
 341 #P #snP (elim snP) #Q #snQ #Hind
 342 #M #N #eqQ % #A #rA (cases (red_app … rA))
 343   [*
 344     [*
 345       [* #M1 * #N1 * #eqH destruct
 346       |* #M1 * #eqH destruct #eqA >eqA @SN_d % @snQ
 347       ]
 348     |* #M1 * #eqA #red1 (cases (red_d …red1))
 349      #M2 * #eqM1 #r2 >eqA >eqM1 @(Hind (App M2 N)) /2/
 350     ]
 351   |* #M2 * #eqA >eqA #r2 @(Hind (App M M2)) /2/
 352   ]
 353 qed. *)
 354
 355 lemma  SN_APP: ∀P.SN P → ∀N. SN N → ∀M.
 356   SN M[0:=N] → SN (App (Lambda P M) N).
 357 #P #snP (elim snP) #A #snA #HindA
 358 #N #snN (elim snN) #B #snB #HindB
 359 #M #snM1 (cut (SH M)) [@SN_to_SH @(SN_subst … snM1)] #shM
 360 (generalize in match snM1) (elim shM)
 361 #C #shC #HindC #snC1 % #Q #redQ (cases (red_app … redQ))
 362   [*
 363     [* #M2 * #N2 * #eqlam destruct #eqQ //
 364     |* #M2 * #eqQ #redlam >eqQ (cases (red_lambda …redlam))
 365       [* #M3 * #eqM2 #r2 >eqM2 @HindA // % /2/
 366       |* #M3 * #eqM2 #r2 >eqM2 @HindC;
 367         [%1 // |@(SN_step … snC1) /2/]
 368       ]
 369     ]
 370   |* #M2 * #eqQ #r2 >eqQ @HindB // @(SN_star … snC1)
 371    @red_subst1 //
 372   ]
 373 qed.
 374
 375
 376
 377