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[helm.git] / matita / matita / lib / pts_dummy / rc_eval.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
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15 include "pts_dummy/rc_hsat.ma".
16 (*
17 (* THE EVALUATION *************************************************************)
18
19 (* The arity of a term t in an environment E *)
20 let rec aa E t on t ≝ match t with
21    [ Sort _     ⇒ SORT
22    | Rel i      ⇒ nth i … E SORT
23    | App M N    ⇒ pred (aa E M)
24    | Lambda N M ⇒ let Q ≝ aa E N in ABST Q (aa (Q::E) M)
25    | Prod N M   ⇒ aa ((aa E N)::E) M
26    | D M        ⇒ aa E M
27    ].
28
29 interpretation "arity assignment (term)" 'Eval1 t E = (aa E t).
30
31 (* The arity of a type context *)
32 let rec caa E G on G ≝ match G with
33    [ nil      ⇒ E
34    | cons t F ⇒ let D ≝ caa E F in 〚t〛_[D] :: D
35    ].
36
37 interpretation "arity assignment (type context)" 'Eval1 G E = (caa E G).
38
39 lemma aa_app: ∀M,N,E. 〚App M N〛_[E] = pred (〚M〛_[E]).
40 // qed.
41
42 lemma aa_lambda: ∀M,N,E. 〚Lambda N M〛_[E] = ABST (〚N〛_[E]) (〚M〛_[〚N〛_[E]::E]).
43 // qed.
44
45 lemma aa_prod: ∀M,N,E. 〚Prod N M〛_[E] = 〚M〛_[〚N〛_[E]::E].
46 // qed.
47
48 lemma aa_rel_lt: ∀D,E,i. (S i) ≤ |E| → 〚Rel i〛_[E @ D] = 〚Rel i〛_[E].
49 #D #E (elim E) -E [1: #i #Hie (elim (not_le_Sn_O i)) #Hi (elim (Hi Hie)) ]
50 #C #F #IHE #i (elim i) -i // #i #_ #Hie @IHE @le_S_S_to_le @Hie
51 qed.
52
53 lemma aa_rel_ge: ∀D,E,i. (S i) ≰ |E| →
54                    〚Rel i〛_[E @ D] = 〚Rel (i-|E|)〛_[D].
55 #D #E (elim E) -E [ normalize // ]
56 #C #F #IHE #i (elim i) -i [1: -IHE #Hie (elim Hie) -Hie #Hie (elim (Hie ?)) /2/ ]
57 normalize #i #_ #Hie @IHE /2/
58 qed.
59
60 (* weakeing and thinning lemma arity assignment *)
61 (* NOTE: >commutative_plus comes from |a::b| ↦ S |b| rather than |b| + 1 *)
62 lemma aa_lift: ∀E,Ep,t,Ek.
63                  〚lift t (|Ek|) (|Ep|)〛_[Ek @ Ep @ E] = 〚t〛_[Ek @ E].
64 #E #Ep #t (elim t) -t
65    [ #n //
66    | #i #Ek @(leb_elim (S i) (|Ek|)) #Hik
67      [ >(lift_rel_lt … Hik) >(aa_rel_lt … Hik) >(aa_rel_lt … Hik) //
68      | >(lift_rel_ge … Hik) >(aa_rel_ge … Hik) <associative_append
69        >(aa_rel_ge …) (>length_append)
70        [ >arith2 // @not_lt_to_le /2/ | @(arith3 … Hik) ]
71      ]
72    | /4/
73    | #N #M #IHN #IHM #Ek >lift_lambda >aa_lambda
74      >commutative_plus >(IHM (? :: ?)) /3/
75    | #N #M #IHN #IHM #Ek >lift_prod >aa_prod
76      >commutative_plus >(IHM (? :: ?)) /3/
77    | #M #IHM #Ek @IHM
78    ]
79 qed.
80
81 (* substitution lemma arity assignment *)
82 (* NOTE: >commutative_plus comes from |a::b| ↦ S |b| rather than |b| + 1 *)
83 lemma aa_subst: ∀v,E,t,Ek. 〚t[|Ek|≝v]〛_[Ek @ E] = 〚t〛_[Ek @ 〚v〛_[E]::E].
84 #v #E #t (elim t) -t
85    [ //
86    | #i #Ek @(leb_elim (S i) (|Ek|)) #H1ik
87      [ >(aa_rel_lt … H1ik) >(subst_rel1 … H1ik) >(aa_rel_lt … H1ik) //
88      | @(eqb_elim i (|Ek|)) #H2ik
89        [ >(aa_rel_ge … H1ik) >H2ik -H2ik H1ik >subst_rel2
90          >(aa_lift ? ? ? ([])) <minus_n_n /2/
91        | (lapply (arith4 … H1ik H2ik)) -H1ik H2ik #Hik
92          (>(subst_rel3 … Hik)) (>aa_rel_ge) [2: /2/ ] 
93           <(associative_append ? ? ([?]) ?) 
94            >aa_rel_ge >length_append (>commutative_plus)
95            [ <minus_plus // | @not_le_to_not_le_S_S /2/ ]
96        ]
97      ]
98    | //
99    | #N #M #IHN #IHM #Ek >subst_lambda > aa_lambda
100      >commutative_plus >(IHM (? :: ?)) /3/
101    | #N #M #IHN #IHM #Ek >subst_prod > aa_prod
102      >commutative_plus >(IHM (? :: ?)) /4/
103    | #M #IHM #Ek @IHM
104 qed.
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108
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121
122
123
124
125 (*
126 (* extensional equality of the interpretations *)
127 definition eveq: T → T → Prop ≝ λt1,t2. ∀E,K. 〚t1〛_[E, K] ≅ 〚t2〛_[E, K].
128
129 interpretation 
130    "extensional equality of the type interpretations"
131    'napart t1 t2 = (eveq t1 t2).
132 *)
133
134 axiom ev_lift_0_S: ∀t,p,C,E,K. 〚lift t 0 (S p)〛_[C::E, K] ≅ 〚lift t 0 p〛_[E, K].
135
136 theorem tj_ev: ∀G,t,u. G ⊢t:u → ∀E,l. l ∈ 〚G〛_[E] → t[l] ∈ 〚u[l]〛_[[], []].
137 #G #t #u #tjtu (elim tjtu) -G t u tjtu
138    [ #i #j #_ #E #l #_ >tsubst_sort >tsubst_sort /2 by SAT0_sort/
139    | #G #u #n #tju #IHu #E #l (elim l) -l (normalize)
140      [ #_ /2 by SAT1_rel/
141      | #hd #tl #_ #H (elim H) -H #Hhd #Htl
142        >lift_0 >delift // >lift_0
143        
144        
145        
146        (@mem_rceq_trans) [3: @symmetric_rceq @ev_lift_0_S | skip ] 
147
148 *)
149 (* 
150 theorem tj_sn: ∀G,A,B. G ⊢A:B → SN A.
151 #G #A #B #tjAB lapply (tj_trc … tjAB (nil ?) (nil ?)) -tjAB (normalize) /3/
152 qed.
153 *)
154
155 (*
156 theorem tev_rel_S: ∀i,R,H. 〚Rel (S i)〛_(R::H) = 〚Rel i〛_(H).
157 // qed.
158 *)
159 (*
160 theorem append_cons: ∀(A:Type[0]). ∀(l1,l2:list A). ∀a.
161                      (a :: l1) @ l2 = a :: (l1 @ l2).
162 // qed.
163 *)
164