matita/matita/lib/re/re.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "basics/lists/list.ma".
  17 include "basics/sets.ma".
  18
  19 definition word ≝ λS:DeqSet.list S.
  20
  21 inductive re (S: DeqSet) : Type[0] ≝
  22    z: re S
  23  | e: re S
  24  | s: S → re S
  25  | c: re S → re S → re S
  26  | o: re S → re S → re S
  27  | k: re S → re S.
  28
  29 (* notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.*)
  30 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  31 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  32 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  33
  34 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
  35 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  36
  37 (* to get rid of \middot
  38 ncoercion c  : ∀S:DeqSet.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
  39 *)
  40
  41 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  42 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  43 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
  44
  45 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  46 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
  47
  48 notation "`∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  49 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
  50
  51 let rec flatten (S : DeqSet) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  52 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  53
  54 let rec conjunct (S : DeqSet) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
  55 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  56
  57 (*
  58 definition empty_lang ≝ λS.λw:word S.False.
  59 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
  60 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
  61
  62 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.x=w.
  63 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.*)
  64 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
  65
  66 definition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
  67 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b). *)
  68
  69 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  70   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  71 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
  72
  73 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  74 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
  75
  76 let rec in_l (S : DeqSet) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
  77 match r with
  78 [ z ⇒ ∅
  79 | e ⇒ { [ ] }
  80 | s x ⇒ { [x] }
  81 | c r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) · (in_l ? r2)
  82 | o r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) ∪ (in_l ? r2)
  83 | k r1 ⇒ (in_l ? r1) ^*].
  84
  85 notation "\sem{term 19 E}" non associative with precedence 75 for @{'in_l $E}.
  86 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
  87 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
  88
  89 lemma rsem_star : ∀S.∀r: re S. \sem{r^*} = \sem{r}^*.
  90 // qed.
  91
  92 inductive pitem (S: DeqSet) : Type[0] ≝
  93    pz: pitem S
  94  | pe: pitem S
  95  | ps: S → pitem S
  96  | pp: S → pitem S
  97  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
  98  | po: pitem S → pitem S → pitem S
  99  | pk: pitem S → pitem S.
 100
 101 definition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 102
 103 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 104 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 105 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 106 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 107 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 108 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 109
 110 (* to get rid of \middot
 111 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 112 *)
 113
 114 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 115 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 116 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 117
 118 let rec forget (S: DeqSet) (l : pitem S) on l: re S ≝
 119  match l with
 120   [ pz ⇒ `∅
 121   | pe ⇒ ϵ
 122   | ps x ⇒ `x
 123   | pp x ⇒ `x
 124   | pc E1 E2 ⇒ (forget ? E1) · (forget ? E2)
 125   | po E1 E2 ⇒ (forget ? E1) + (forget ? E2)
 126   | pk E ⇒ (forget ? E)^* ].
 127
 128 (* notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.*)
 129 interpretation "forget" 'norm a = (forget ? a).
 130
 131 let rec in_pl (S : DeqSet) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 132 match r with
 133 [ pz ⇒ ∅
 134 | pe ⇒ ∅
 135 | ps _ ⇒ ∅
 136 | pp x ⇒ { [x] }
 137 | pc r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r2} ∪ (in_pl ? r2)
 138 | po r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) ∪ (in_pl ? r2)
 139 | pk r1 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r1}^*  ].
 140
 141 interpretation "in_pl" 'in_l E = (in_pl ? E).
 142 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 143
 144 (*
 145 definition epsilon : ∀S:DeqSet.bool → word S → Prop
 146 ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else ∅.
 147
 148 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 149 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 150 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b). *)
 151
 152 definition in_prl ≝ λS : DeqSet.λp:pre S.
 153   if (\snd p) then \sem{\fst p} ∪ { ([ ] : word S) } else \sem{\fst p}.
 154
 155 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 156 interpretation "in_prl" 'in_l E = (in_prl ? E).
 157
 158 lemma sem_pre_true : ∀S.∀i:pitem S.
 159   \sem{〈i,true〉} = \sem{i} ∪ { ([ ] : word S) }.
 160 // qed.
 161
 162 lemma sem_pre_false : ∀S.∀i:pitem S.
 163   \sem{〈i,false〉} = \sem{i}.
 164 // qed.
 165
 166 lemma sem_cat: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 167   \sem{i1 · i2} = \sem{i1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 168 // qed.
 169
 170 lemma sem_cat_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 171   \sem{i1 · i2} w = ((\sem{i1} · \sem{|i2|}) w ∨ \sem{i2} w).
 172 // qed.
 173
 174 lemma sem_plus: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 175   \sem{i1 + i2} = \sem{i1} ∪ \sem{i2}.
 176 // qed.
 177
 178 lemma sem_plus_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 179   \sem{i1 + i2} w = (\sem{i1} w ∨ \sem{i2} w).
 180 // qed.
 181
 182 lemma sem_star : ∀S.∀i:pitem S.
 183   \sem{i^*} = \sem{i} · \sem{|i|}^*.
 184 // qed.
 185
 186 lemma sem_star_w : ∀S.∀i:pitem S.∀w.
 187   \sem{i^*} w = (∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ \sem{i} w1 ∧ \sem{|i|}^* w2).
 188 // qed.
 189
 190 lemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 191 #S #w1 #w2 cases w1 // #a #tl normalize #H destruct qed.
 192
 193 lemma not_epsilon_lp : ∀S:DeqSet.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ e).
 194 #S #e elim e normalize /2/
 195   [#r1 #r2 * #n1 #n2 % * /2/ * #w1 * #w2 * * #H
 196    >(append_eq_nil …H…) /2/
 197   |#r1 #r2 #n1 #n2 % * /2/
 198   |#r #n % * #w1 * #w2 * * #H >(append_eq_nil …H…) /2/
 199   ]
 200 qed.
 201
 202 (* lemma 12 *)
 203 lemma epsilon_to_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e → \snd e = true.
 204 #S * #i #b cases b // normalize #H @False_ind /2/
 205 qed.
 206
 207 lemma true_to_epsilon : ∀S.∀e:pre S. \snd e = true → [ ] ∈ e.
 208 #S * #i #b #btrue normalize in btrue; >btrue %2 //
 209 qed.
 210
 211 definition lo ≝ λS:DeqSet.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a ∨ \snd b〉.
 212 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 213 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 214
 215 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1∨b2〉.
 216 // qed.
 217
 218 definition pre_concat_r ≝ λS:DeqSet.λi:pitem S.λe:pre S.
 219   match e with [ pair i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
 220
 221 notation "i ◂ e" left associative with precedence 60 for @{'ltrif $i $e}.
 222 interpretation "pre_concat_r" 'ltrif i e = (pre_concat_r ? i e).
 223
 224 definition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 225 notation "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 226 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 227
 228 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:word S → Prop.
 229   A = B → A =1 B.
 230 #S #A #B #H >H /2/ qed.
 231
 232 (* lemma eqP_trans: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 233   A =1 B → B =1 C → A =1 C.
 234 #S #A #B #C #eqAB #eqBC #w cases (eqAB w) cases (eqBC w) /4/
 235 qed.
 236
 237 lemma union_assoc: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 238   A ∪ B ∪ C =1 A ∪ (B ∪ C).
 239 #S #A #B #C #w % [* [* /3/ | /3/] | * [/3/ | * /3/]
 240 qed.  *)
 241
 242 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:pre S.
 243   \sem{i ◂ e} =1 \sem{i} · \sem{|\fst e|} ∪ \sem{e}.
 244 #S #i * #i1 #b1 cases b1 /2/
 245 >sem_pre_true >sem_cat >sem_pre_true /2/
 246 qed.
 247
 248 definition lc ≝ λS:DeqSet.λbcast:∀S:DeqSet.pitem S → pre S.λe1:pre S.λi2:pitem S.
 249   match e1 with
 250   [ pair i1 b1 ⇒ match b1 with
 251     [ true ⇒ (i1 ◂ (bcast ? i2))
 252     | false ⇒ 〈i1 · i2,false〉
 253     ]
 254   ].
 255
 256 definition lift ≝ λS.λf:pitem S →pre S.λe:pre S.
 257   match e with
 258   [ pair i b ⇒ 〈\fst (f i), \snd (f i) ∨ b〉].
 259
 260 notation "a ▸ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 261 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 262
 263 definition lk ≝ λS:DeqSet.λbcast:∀S:DeqSet.∀E:pitem S.pre S.λe:pre S.
 264   match e with
 265   [ pair i1 b1 ⇒
 266     match b1 with
 267     [true ⇒ 〈(\fst (bcast ? i1))^*, true〉
 268     |false ⇒ 〈i1^*,false〉
 269     ]
 270   ].
 271
 272 (*
 273 lemma oplus_tt : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 274   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 275 // qed.
 276
 277 lemma oplus_tf : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 278   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 279 // qed.
 280
 281 lemma oplus_ft : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 282   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 283 // qed.
 284
 285 lemma oplus_ff : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 286   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,false〉.
 287 // qed. *)
 288
 289 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.*)
 290 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 291 notation "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 292
 293 notation "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 294
 295 let rec eclose (S: DeqSet) (i: pitem S) on i : pre S ≝
 296  match i with
 297   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
 298   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 299   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
 300   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 301   | po i1 i2 ⇒ •i1 ⊕ •i2
 302   | pc i1 i2 ⇒ •i1 ▸ i2
 303   | pk i ⇒ 〈(\fst (•i))^*,true〉].
 304
 305 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 306 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 307
 308 lemma eclose_plus: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 309   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
 310 // qed.
 311
 312 lemma eclose_dot: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 313   •(i1 · i2) = •i1 ▸ i2.
 314 // qed.
 315
 316 lemma eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 317   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
 318 // qed.
 319
 320 definition reclose ≝ λS. lift S (eclose S).
 321 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 322
 323 (*
 324 lemma epsilon_or : ∀S:DeqSet.∀b1,b2. epsilon S (b1 || b2) =1 ϵ b1 ∪ ϵ b2.
 325 #S #b1 #b2 #w % cases b1 cases b2 normalize /2/ * /2/ * ;
 326 qed. *)
 327
 328 (*
 329 lemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 330 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 331
 332 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 333 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.*)
 334
 335 (* theorem 16: 2 *)
 336 lemma sem_oplus: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S.
 337   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 338 #S * #i1 #b1 * #i2 #b2 #w %
 339   [cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 340   |cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 341   ]
 342 qed.
 343
 344 lemma odot_true :
 345   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 346   〈i1,true〉 ▸ i2 = i1 ◂ (•i2).
 347 // qed.
 348
 349 lemma odot_true_bis :
 350   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 351   〈i1,true〉 ▸ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
 352 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
 353
 354 lemma odot_false:
 355   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 356   〈i1,false〉 ▸ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
 357 // qed.
 358
 359 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
 360   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
 361 // qed.
 362
 363 (*
 364 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 365 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 366 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 367 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 368 nqed.
 369
 370 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 371 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.*)
 372
 373 lemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S. |e1 · e2| = c ? (|e1|) (|e2|).
 374 // qed.
 375
 376 lemma erase_plus : ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 377   |i1 + i2| = |i1| + |i2|.
 378 // qed.
 379
 380 lemma erase_star : ∀S.∀i:pitem S.|i^*| = |i|^*.
 381 // qed.
 382
 383 definition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 384 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 385
 386 (* nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 387 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 388
 389 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 390 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 391
 392 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 393 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 394
 395 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 396 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed. *)
 397
 398 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 399 #S #i elim i //
 400   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 401     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 402   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 403     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 404   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 405   ]
 406 qed.
 407
 408 lemma cat_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 409   A =1 C  → A · B =1 C · B.
 410 #S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
 411 cases (H w1) /6/
 412 qed.
 413
 414 lemma cat_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 415   B =1 C → A · B =1 A · C.
 416 #S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
 417 cases (H w2) /6/
 418 qed.
 419
 420 lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 421   (A ∪ B) · C =1  A · C ∪ B · C.
 422 #S #A #B #C #w %
 423   [* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
 424 qed.
 425
 426 (*
 427 lemma fix_star_aux: ∀S.∀A:word S → Prop.∀w1,w2.
 428   A w1 → A^* w2 → A^* (w1@w2).
 429 #S #A #w1 #w2 #Aw1 * #l * #H #H1
 430 @(ex_intro *)
 431
 432 lemma fix_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
 433   A^* =1 A · A^* ∪ { [ ] }.
 434 #S #A #w %
 435   [* #l generalize in match w; -w cases l [normalize #w * /2/]
 436    #w1 #tl #w * whd in ⊢ ((??%?)→?); #eqw whd in ⊢ (%→?); *
 437    #w1A #cw1 %1 @(ex_intro … w1) @(ex_intro … (flatten S tl))
 438    % /2/ whd @(ex_intro … tl) /2/
 439   |* [2: normalize #eqw <eqw @(ex_intro … (nil ?)) /2/]
 440    (* caso interessante *)
 441    cut (∀w1,w2.w=w1@w2 → cat S A A^* w2 → A^* w2)
 442      [2:#H @(H … (nil ?)) //]
 443    elim w
 444      [#w1 #w2 #H cases (nil_to_nil … (sym_eq … H)) #_ #H >H #_
 445       @(ex_intro … (nil ?)) /2/
 446      |#a #w1 #Hind *
 447        [#w2 whd in ⊢ ((???%)→?); #eqw2 <eqw2 *
 448         #w3 * #w4 cases w3
 449          [* * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H <H //
 450          |#b #w5 * * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
 451           #H1 * #l * #H2 #H3 @(ex_intro … ((a::w5)::l)) %
 452           normalize // /2/
 453          ]
 454        |#b #w2 #w3 whd in ⊢ ((???%)→?); #H destruct #H1
 455         @(Hind … w2) //
 456        ]
 457      ]
 458    ]
 459 qed.
 460
 461 axiom star_epsilon: ∀S:DeqSet.∀A:word S → Prop.
 462   A^* ∪ { [ ] } =1 A^*.
 463
 464 lemma sem_eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 465   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,false〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 466 /2/ qed.
 467
 468 (*
 469 lemma sem_eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 470   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,true〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 471 /2/ qed.
 472
 473 #S #i #b cases b
 474   [>sem_pre_true >sem_star
 475   |/2/
 476   ] *)
 477
 478 (* this kind of results are pretty bad for automation;
 479    better not index them *)
 480 lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 481    A · { [ ] } =1  A.
 482 #S #A #w %
 483   [* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
 484   |#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
 485   ]
 486 qed-.
 487
 488 lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 489    { [ ] } · A =1  A.
 490 #S #A #w %
 491   [* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
 492   |#inA @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … w) /3/
 493   ]
 494 qed-.
 495
 496
 497 lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
 498   (A ∪ { [ ] }) · C =1  A · C ∪ C.
 499 #S #A #C @eqP_trans [|@distr_cat_r |@eqP_union_l @epsilon_cat_l]
 500 qed.
 501
 502 (* axiom eplison_cut_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 503    { [ ] } · A =1  A.
 504
 505  axiom eplison_cut_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 506    A · { [ ] } =1  A. *)
 507
 508 (*
 509 lemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 510 #S p; ncases p; //; nqed.
 511
 512 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 513 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 514 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 515 napply Hw2; nqed.*)
 516
 517 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 518 lemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 519    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 520    \sem{e1 ▸ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 521 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 522   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 523   |#H >odot_true >sem_pre_true @(eqP_trans … (sem_pre_concat_r …))
 524    >erase_bull @eqP_trans [|@(eqP_union_l … H)]
 525     @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@union_comm ]]
 526     @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc ] /3/
 527   ]
 528 qed.
 529
 530 axiom star_fix :
 531   ∀S.∀X:word S → Prop.(X - {[ ]}) · X^* ∪ {[ ]} =1 X^*.
 532
 533 axiom sem_fst: ∀S.∀e:pre S. \sem{\fst e} =1 \sem{e}-{[ ]}.
 534
 535 axiom sem_fst_aux: ∀S.∀e:pre S.∀i:pitem S.∀A.
 536  \sem{e} =1 \sem{i} ∪ A → \sem{\fst e} =1 \sem{i} ∪ (A - {[ ]}).
 537
 538 (* theorem 16: 1 *)
 539 theorem sem_bull: ∀S:DeqSet. ∀e:pitem S.  \sem{•e} =1 \sem{e} ∪ \sem{|e|}.
 540 #S #e elim e
 541   [#w normalize % [/2/ | * //]
 542   |/2/
 543   |#x normalize #w % [ /2/ | * [@False_ind | //]]
 544   |#x normalize #w % [ /2/ | * // ]
 545   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_dot
 546    @eqP_trans [|@odot_dot_aux //] >sem_cat
 547    @eqP_trans
 548      [|@eqP_union_r
 549        [|@eqP_trans [|@(cat_ext_l … IH1)] @distr_cat_r]]
 550    @eqP_trans [|@union_assoc]
 551    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 552    @eqP_union_l //
 553   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus
 554    @eqP_trans [|@sem_oplus] >sem_plus >erase_plus
 555    @eqP_trans [|@(eqP_union_l … IH2)]
 556    @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc]
 557    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r
 558    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 559    @eqP_trans [||@eqP_union_l [|@union_comm]]
 560    @eqP_trans [||@union_assoc] /3/
 561   |#i #H >sem_pre_true >sem_star >erase_bull >sem_star
 562    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 563    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 564    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l >erase_star @star_fix
 565   ]
 566 qed.
 567
 568 definition lifted_cat ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 569   lift S (lc S eclose e).
 570
 571 notation "e1 ⊙ e2" left associative with precedence 70 for @{'odot $e1 $e2}.
 572
 573 interpretation "lifted cat" 'odot e1 e2 = (lifted_cat ? e1 e2).
 574
 575 lemma sem_odot_true: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 576   \sem{e1 ⊙ 〈i,true〉} =1 \sem{e1 ▸ i} ∪ { [ ] }.
 577 #S #e1 #i
 578 cut (e1 ⊙ 〈i,true〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) ∨ true〉) [//]
 579 #H >H cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1
 580   [>sem_pre_true @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 581    @eqP_union_l /2/
 582   |/2/
 583   ]
 584 qed.
 585
 586 lemma eq_odot_false: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 587   e1 ⊙ 〈i,false〉 = e1 ▸ i.
 588 #S #e1 #i
 589 cut (e1 ⊙ 〈i,false〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) ∨ false〉) [//]
 590 cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1 #H @H
 591 qed.
 592
 593 lemma sem_odot:
 594   ∀S.∀e1,e2: pre S. \sem{e1 ⊙ e2} =1 \sem{e1}· \sem{|\fst e2|} ∪ \sem{e2}.
 595 #S #e1 * #i2 *
 596   [>sem_pre_true
 597    @eqP_trans [|@sem_odot_true]
 598    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r @odot_dot_aux //
 599   |>sem_pre_false >eq_odot_false @odot_dot_aux //
 600   ]
 601 qed.
 602
 603 (*
 604 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 605 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 606 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 607     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 608     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 609 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 610     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 611     @; /2/; @xs; /2/;##]
 612  nqed.
 613
 614 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 615 #S e; @[]; /2/; nqed.
 616
 617 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 618 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 619
 620 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 621 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 622
 623 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 624   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 625 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 626 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 627 nqed.
 628 *)
 629
 630 (* theorem 16: 4 *)
 631 theorem sem_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 632   \sem{e^⊛} =1  \sem{e} · \sem{|\fst e|}^*.
 633 #S * #i #b cases b
 634   [>sem_pre_true >sem_pre_true >sem_star >erase_bull
 635    @eqP_trans [|@eqP_union_r[|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 636    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 637    @eqP_trans [||@eqP_sym @distr_cat_r]
 638    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l
 639    @eqP_trans [||@eqP_sym @epsilon_cat_l] @star_fix
 640   |>sem_pre_false >sem_pre_false >sem_star /2/
 641   ]
 642 qed.
 643
 644 (*
 645 nlet rec pre_of_re (S : DeqSet) (e : re S) on e : pitem S ≝
 646   match e with
 647   [ z ⇒ pz ?
 648   | e ⇒ pe ?
 649   | s x ⇒ ps ? x
 650   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 651   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 652   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 653
 654 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 655
 656 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 657 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 658 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 659
 660 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 661 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 662 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 663     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 664 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 665     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 666 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 667     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 668 nqed.
 669
 670 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 671 #S A; nelim A; //;
 672 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 673     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 674 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 675     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 676 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 677     nrewrite < H1; //]
 678 nqed.
 679
 680 (* corollary 17 *)
 681 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 682 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 683 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 684 nqed.
 685
 686 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 687 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 688
 689 (* corollary 18 *)
 690 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 691 #S e; @;
 692 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 693     nrewrite > defsnde; #H;
 694     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 695
 696 *)
 697
 698