matita/matita/lib/re/re.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "basics/lists/list.ma".
  17 include "basics/sets.ma".
  18
  19 definition word ≝ λS:DeqSet.list S.
  20
  21 inductive re (S: DeqSet) : Type[0] ≝
  22    z: re S
  23  | e: re S
  24  | s: S → re S
  25  | c: re S → re S → re S
  26  | o: re S → re S → re S
  27  | k: re S → re S.
  28
  29 (* notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.*)
  30 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  31 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  32 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  33
  34 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
  35 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  36
  37 (* to get rid of \middot
  38 ncoercion c  : ∀S:DeqSet.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
  39 *)
  40
  41 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  42 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  43 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
  44
  45 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  46 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
  47
  48 notation "`∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  49 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
  50
  51 let rec flatten (S : DeqSet) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  52 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  53
  54 let rec conjunct (S : DeqSet) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
  55 match l with [ nil ⇒ ? | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  56 // qed.
  57
  58 (*
  59 definition empty_lang ≝ λS.λw:word S.False.
  60 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
  61 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
  62
  63 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.x=w.
  64 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.*)
  65 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
  66
  67 definition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
  68 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b). *)
  69
  70 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  71   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  72 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
  73
  74 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  75 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
  76
  77 let rec in_l (S : DeqSet) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
  78 match r with
  79 [ z ⇒ ∅
  80 | e ⇒ { [ ] }
  81 | s x ⇒ { [x] }
  82 | c r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) · (in_l ? r2)
  83 | o r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) ∪ (in_l ? r2)
  84 | k r1 ⇒ (in_l ? r1) ^*].
  85
  86 notation "\sem{term 19 E}" non associative with precedence 75 for @{'in_l $E}.
  87 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
  88 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
  89
  90 lemma rsem_star : ∀S.∀r: re S. \sem{r^*} = \sem{r}^*.
  91 // qed.
  92
  93 inductive pitem (S: DeqSet) : Type[0] ≝
  94    pz: pitem S
  95  | pe: pitem S
  96  | ps: S → pitem S
  97  | pp: S → pitem S
  98  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
  99  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 100  | pk: pitem S → pitem S.
 101
 102 definition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 103
 104 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 105 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 106 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 107 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 108 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 109 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 110
 111 (* to get rid of \middot
 112 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 113 *)
 114
 115 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 116 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 117 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 118
 119 let rec forget (S: DeqSet) (l : pitem S) on l: re S ≝
 120  match l with
 121   [ pz ⇒ `∅
 122   | pe ⇒ ϵ
 123   | ps x ⇒ `x
 124   | pp x ⇒ `x
 125   | pc E1 E2 ⇒ (forget ? E1) · (forget ? E2)
 126   | po E1 E2 ⇒ (forget ? E1) + (forget ? E2)
 127   | pk E ⇒ (forget ? E)^* ].
 128
 129 (* notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.*)
 130 interpretation "forget" 'norm a = (forget ? a).
 131
 132 let rec in_pl (S : DeqSet) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 133 match r with
 134 [ pz ⇒ ∅
 135 | pe ⇒ ∅
 136 | ps _ ⇒ ∅
 137 | pp x ⇒ { [x] }
 138 | pc r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r2} ∪ (in_pl ? r2)
 139 | po r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) ∪ (in_pl ? r2)
 140 | pk r1 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r1}^*  ].
 141
 142 interpretation "in_pl" 'in_l E = (in_pl ? E).
 143 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 144
 145 (*
 146 definition epsilon : ∀S:DeqSet.bool → word S → Prop
 147 ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else ∅.
 148
 149 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 150 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 151 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b). *)
 152
 153 definition in_prl ≝ λS : DeqSet.λp:pre S.
 154   if (\snd p) then \sem{\fst p} ∪ { ([ ] : word S) } else \sem{\fst p}.
 155
 156 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 157 interpretation "in_prl" 'in_l E = (in_prl ? E).
 158
 159 lemma sem_pre_true : ∀S.∀i:pitem S.
 160   \sem{〈i,true〉} = \sem{i} ∪ { ([ ] : word S) }.
 161 // qed.
 162
 163 lemma sem_pre_false : ∀S.∀i:pitem S.
 164   \sem{〈i,false〉} = \sem{i}.
 165 // qed.
 166
 167 lemma sem_cat: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 168   \sem{i1 · i2} = \sem{i1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 169 // qed.
 170
 171 lemma sem_cat_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 172   \sem{i1 · i2} w = ((\sem{i1} · \sem{|i2|}) w ∨ \sem{i2} w).
 173 // qed.
 174
 175 lemma sem_plus: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 176   \sem{i1 + i2} = \sem{i1} ∪ \sem{i2}.
 177 // qed.
 178
 179 lemma sem_plus_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 180   \sem{i1 + i2} w = (\sem{i1} w ∨ \sem{i2} w).
 181 // qed.
 182
 183 lemma sem_star : ∀S.∀i:pitem S.
 184   \sem{i^*} = \sem{i} · \sem{|i|}^*.
 185 // qed.
 186
 187 lemma sem_star_w : ∀S.∀i:pitem S.∀w.
 188   \sem{i^*} w = (∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ \sem{i} w1 ∧ \sem{|i|}^* w2).
 189 // qed.
 190
 191 lemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 192 #S #w1 #w2 cases w1 // #a #tl normalize #H destruct qed.
 193
 194 lemma not_epsilon_lp : ∀S:DeqSet.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ e).
 195 #S #e elim e normalize /2/
 196   [#r1 #r2 * #n1 #n2 % * /2/ * #w1 * #w2 * * #H
 197    >(append_eq_nil …H…) /2/
 198   |#r1 #r2 #n1 #n2 % * /2/
 199   |#r #n % * #w1 * #w2 * * #H >(append_eq_nil …H…) /2/
 200   ]
 201 qed.
 202
 203 (* lemma 12 *)
 204 lemma epsilon_to_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e → \snd e = true.
 205 #S * #i #b cases b // normalize #H @False_ind /2/
 206 qed.
 207
 208 lemma true_to_epsilon : ∀S.∀e:pre S. \snd e = true → [ ] ∈ e.
 209 #S * #i #b #btrue normalize in btrue; >btrue %2 //
 210 qed.
 211
 212 definition lo ≝ λS:DeqSet.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a ∨ \snd b〉.
 213 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 214 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 215
 216 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1∨b2〉.
 217 // qed.
 218
 219 definition pre_concat_r ≝ λS:DeqSet.λi:pitem S.λe:pre S.
 220   match e with [ pair i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
 221
 222 notation "i ◂ e" left associative with precedence 60 for @{'ltrif $i $e}.
 223 interpretation "pre_concat_r" 'ltrif i e = (pre_concat_r ? i e).
 224
 225 definition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 226 notation "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 227 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 228
 229 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:word S → Prop.
 230   A = B → A =1 B.
 231 #S #A #B #H >H /2/ qed.
 232
 233 (* lemma eqP_trans: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 234   A =1 B → B =1 C → A =1 C.
 235 #S #A #B #C #eqAB #eqBC #w cases (eqAB w) cases (eqBC w) /4/
 236 qed.
 237
 238 lemma union_assoc: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 239   A ∪ B ∪ C =1 A ∪ (B ∪ C).
 240 #S #A #B #C #w % [* [* /3/ | /3/] | * [/3/ | * /3/]
 241 qed.  *)
 242
 243 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:pre S.
 244   \sem{i ◂ e} =1 \sem{i} · \sem{|\fst e|} ∪ \sem{e}.
 245 #S #i * #i1 #b1 cases b1 /2/
 246 >sem_pre_true >sem_cat >sem_pre_true /2/
 247 qed.
 248
 249 definition lc ≝ λS:DeqSet.λbcast:∀S:DeqSet.pitem S → pre S.λe1:pre S.λi2:pitem S.
 250   match e1 with
 251   [ pair i1 b1 ⇒ match b1 with
 252     [ true ⇒ (i1 ◂ (bcast ? i2))
 253     | false ⇒ 〈i1 · i2,false〉
 254     ]
 255   ].
 256
 257 definition lift ≝ λS.λf:pitem S →pre S.λe:pre S.
 258   match e with
 259   [ pair i b ⇒ 〈\fst (f i), \snd (f i) ∨ b〉].
 260
 261 notation "a ▸ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 262 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 263
 264 definition lk ≝ λS:DeqSet.λbcast:∀S:DeqSet.∀E:pitem S.pre S.λe:pre S.
 265   match e with
 266   [ pair i1 b1 ⇒
 267     match b1 with
 268     [true ⇒ 〈(\fst (bcast ? i1))^*, true〉
 269     |false ⇒ 〈i1^*,false〉
 270     ]
 271   ].
 272
 273 (*
 274 lemma oplus_tt : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 275   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 276 // qed.
 277
 278 lemma oplus_tf : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 279   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 280 // qed.
 281
 282 lemma oplus_ft : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 283   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 284 // qed.
 285
 286 lemma oplus_ff : ∀S: DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 287   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,false〉.
 288 // qed. *)
 289
 290 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.*)
 291 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 292 notation "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 293
 294 notation "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 295
 296 let rec eclose (S: DeqSet) (i: pitem S) on i : pre S ≝
 297  match i with
 298   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
 299   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 300   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
 301   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 302   | po i1 i2 ⇒ •i1 ⊕ •i2
 303   | pc i1 i2 ⇒ •i1 ▸ i2
 304   | pk i ⇒ 〈(\fst (•i))^*,true〉].
 305
 306 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 307 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 308
 309 lemma eclose_plus: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 310   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
 311 // qed.
 312
 313 lemma eclose_dot: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 314   •(i1 · i2) = •i1 ▸ i2.
 315 // qed.
 316
 317 lemma eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 318   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
 319 // qed.
 320
 321 definition reclose ≝ λS. lift S (eclose S).
 322 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 323
 324 (*
 325 lemma epsilon_or : ∀S:DeqSet.∀b1,b2. epsilon S (b1 || b2) =1 ϵ b1 ∪ ϵ b2.
 326 #S #b1 #b2 #w % cases b1 cases b2 normalize /2/ * /2/ * ;
 327 qed. *)
 328
 329 (*
 330 lemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 331 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 332
 333 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 334 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.*)
 335
 336 (* theorem 16: 2 *)
 337 lemma sem_oplus: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S.
 338   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 339 #S * #i1 #b1 * #i2 #b2 #w %
 340   [cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 341   |cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 342   ]
 343 qed.
 344
 345 lemma odot_true :
 346   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 347   〈i1,true〉 ▸ i2 = i1 ◂ (•i2).
 348 // qed.
 349
 350 lemma odot_true_bis :
 351   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 352   〈i1,true〉 ▸ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
 353 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
 354
 355 lemma odot_false:
 356   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 357   〈i1,false〉 ▸ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
 358 // qed.
 359
 360 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
 361   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
 362 // qed.
 363
 364 (*
 365 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 366 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 367 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 368 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 369 nqed.
 370
 371 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 372 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.*)
 373
 374 lemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S. |e1 · e2| = c ? (|e1|) (|e2|).
 375 // qed.
 376
 377 lemma erase_plus : ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 378   |i1 + i2| = |i1| + |i2|.
 379 // qed.
 380
 381 lemma erase_star : ∀S.∀i:pitem S.|i^*| = |i|^*.
 382 // qed.
 383
 384 definition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 385 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 386
 387 (* nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 388 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 389
 390 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 391 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 392
 393 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 394 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 395
 396 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 397 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed. *)
 398
 399 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 400 #S #i elim i //
 401   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 402     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 403   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 404     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 405   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 406   ]
 407 qed.
 408
 409 axiom cat_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 410   A =1 C  → A · B =1 C · B.
 411
 412 axiom cat_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 413   B =1 C → A · B =1 A · C.
 414
 415 lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 416   (A ∪ B) · C =1  A · C ∪ B · C.
 417 #S #A #B #C #w %
 418   [* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
 419 qed.
 420
 421 axiom fix_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
 422   A^* =1 A · A^* ∪ { [ ] }.
 423
 424 axiom star_epsilon: ∀S:DeqSet.∀A:word S → Prop.
 425   A^* ∪ { [ ] } =1 A^*.
 426
 427 lemma sem_eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 428   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,false〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 429 /2/ qed.
 430
 431 (*
 432 lemma sem_eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 433   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,true〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 434 /2/ qed.
 435
 436 #S #i #b cases b
 437   [>sem_pre_true >sem_star
 438   |/2/
 439   ] *)
 440
 441 (* this kind of results are pretty bad for automation;
 442    better not index them *)
 443 lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 444    A · { [ ] } =1  A.
 445 #S #A #w %
 446   [* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
 447   |#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
 448   ]
 449 qed-.
 450
 451 lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 452    { [ ] } · A =1  A.
 453 #S #A #w %
 454   [* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
 455   |#inA @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … w) /3/
 456   ]
 457 qed-.
 458
 459
 460 lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
 461   (A ∪ { [ ] }) · C =1  A · C ∪ C.
 462 #S #A #C @eqP_trans [|@distr_cat_r |@eqP_union_l @epsilon_cat_l]
 463 qed.
 464
 465 (* axiom eplison_cut_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 466    { [ ] } · A =1  A.
 467
 468  axiom eplison_cut_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 469    A · { [ ] } =1  A. *)
 470
 471 (*
 472 lemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 473 #S p; ncases p; //; nqed.
 474
 475 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 476 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 477 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 478 napply Hw2; nqed.*)
 479
 480 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 481 lemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 482    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 483    \sem{e1 ▸ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 484 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 485   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 486   |#H >odot_true >sem_pre_true @(eqP_trans … (sem_pre_concat_r …))
 487    >erase_bull @eqP_trans [|@(eqP_union_l … H)]
 488     @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@union_comm ]]
 489     @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc ] /3/
 490   ]
 491 qed.
 492
 493 axiom star_fix :
 494   ∀S.∀X:word S → Prop.(X - {[ ]}) · X^* ∪ {[ ]} =1 X^*.
 495
 496 axiom sem_fst: ∀S.∀e:pre S. \sem{\fst e} =1 \sem{e}-{[ ]}.
 497
 498 axiom sem_fst_aux: ∀S.∀e:pre S.∀i:pitem S.∀A.
 499  \sem{e} =1 \sem{i} ∪ A → \sem{\fst e} =1 \sem{i} ∪ (A - {[ ]}).
 500
 501 (* theorem 16: 1 *)
 502 theorem sem_bull: ∀S:DeqSet. ∀e:pitem S.  \sem{•e} =1 \sem{e} ∪ \sem{|e|}.
 503 #S #e elim e
 504   [#w normalize % [/2/ | * //]
 505   |/2/
 506   |#x normalize #w % [ /2/ | * [@False_ind | //]]
 507   |#x normalize #w % [ /2/ | * // ]
 508   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_dot
 509    @eqP_trans [|@odot_dot_aux //] >sem_cat
 510    @eqP_trans
 511      [|@eqP_union_r
 512        [|@eqP_trans [|@(cat_ext_l … IH1)] @distr_cat_r]]
 513    @eqP_trans [|@union_assoc]
 514    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 515    @eqP_union_l //
 516   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus
 517    @eqP_trans [|@sem_oplus] >sem_plus >erase_plus
 518    @eqP_trans [|@(eqP_union_l … IH2)]
 519    @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc]
 520    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r
 521    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 522    @eqP_trans [||@eqP_union_l [|@union_comm]]
 523    @eqP_trans [||@union_assoc] /3/
 524   |#i #H >sem_pre_true >sem_star >erase_bull >sem_star
 525    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 526    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 527    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l >erase_star @star_fix
 528   ]
 529 qed.
 530
 531 definition lifted_cat ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 532   lift S (lc S eclose e).
 533
 534 notation "e1 ⊙ e2" left associative with precedence 70 for @{'odot $e1 $e2}.
 535
 536 interpretation "lifted cat" 'odot e1 e2 = (lifted_cat ? e1 e2).
 537
 538 lemma sem_odot_true: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 539   \sem{e1 ⊙ 〈i,true〉} =1 \sem{e1 ▸ i} ∪ { [ ] }.
 540 #S #e1 #i
 541 cut (e1 ⊙ 〈i,true〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) ∨ true〉) [//]
 542 #H >H cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1
 543   [>sem_pre_true @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 544    @eqP_union_l /2/
 545   |/2/
 546   ]
 547 qed.
 548
 549 lemma eq_odot_false: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 550   e1 ⊙ 〈i,false〉 = e1 ▸ i.
 551 #S #e1 #i
 552 cut (e1 ⊙ 〈i,false〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) ∨ false〉) [//]
 553 cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1 #H @H
 554 qed.
 555
 556 lemma sem_odot:
 557   ∀S.∀e1,e2: pre S. \sem{e1 ⊙ e2} =1 \sem{e1}· \sem{|\fst e2|} ∪ \sem{e2}.
 558 #S #e1 * #i2 *
 559   [>sem_pre_true
 560    @eqP_trans [|@sem_odot_true]
 561    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r @odot_dot_aux //
 562   |>sem_pre_false >eq_odot_false @odot_dot_aux //
 563   ]
 564 qed.
 565
 566 (*
 567 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 568 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 569 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 570     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 571     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 572 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 573     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 574     @; /2/; @xs; /2/;##]
 575  nqed.
 576
 577 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 578 #S e; @[]; /2/; nqed.
 579
 580 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 581 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 582
 583 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 584 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 585
 586 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 587   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 588 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 589 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 590 nqed.
 591 *)
 592
 593 (* theorem 16: 4 *)
 594 theorem sem_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 595   \sem{e^⊛} =1  \sem{e} · \sem{|\fst e|}^*.
 596 #S * #i #b cases b
 597   [>sem_pre_true >sem_pre_true >sem_star >erase_bull
 598    @eqP_trans [|@eqP_union_r[|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 599    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 600    @eqP_trans [||@eqP_sym @distr_cat_r]
 601    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l
 602    @eqP_trans [||@eqP_sym @epsilon_cat_l] @star_fix
 603   |>sem_pre_false >sem_pre_false >sem_star /2/
 604   ]
 605 qed.
 606
 607 (*
 608 nlet rec pre_of_re (S : DeqSet) (e : re S) on e : pitem S ≝
 609   match e with
 610   [ z ⇒ pz ?
 611   | e ⇒ pe ?
 612   | s x ⇒ ps ? x
 613   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 614   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 615   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 616
 617 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 618
 619 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 620 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 621 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 622
 623 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 624 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 625 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 626     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 627 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 628     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 629 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 630     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 631 nqed.
 632
 633 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 634 #S A; nelim A; //;
 635 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 636     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 637 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 638     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 639 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 640     nrewrite < H1; //]
 641 nqed.
 642
 643 (* corollary 17 *)
 644 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 645 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 646 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 647 nqed.
 648
 649 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 650 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 651
 652 (* corollary 18 *)
 653 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 654 #S e; @;
 655 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 656     nrewrite > defsnde; #H;
 657     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 658
 659 *)
 660
 661