matita/matita/lib/re/re.ma

   1
   2
   3 (**************************************************************************)
   4 (*       ___                                                              *)
   5 (*      ||M||                                                             *)
   6 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   7 (*      ||T||                                                             *)
   8 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   9 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
  10 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
  11 (*      \   /                                                             *)
  12 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  13 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  14 (*                                                                        *)
  15 (**************************************************************************)
  16
  17 include "arithmetics/nat.ma".
  18 include "basics/list.ma".
  19
  20 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  21
  22 record Alpha : Type[1] ≝ { carr :> Type[0];
  23    eqb: carr → carr → bool;
  24    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) ↔ (x = y)
  25 }.
  26
  27 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
  28 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
  29
  30 definition word ≝ λS:Alpha.list S.
  31
  32 inductive re (S: Alpha) : Type[0] ≝
  33    z: re S
  34  | e: re S
  35  | s: S → re S
  36  | c: re S → re S → re S
  37  | o: re S → re S → re S
  38  | k: re S → re S.
  39
  40 (* notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.*)
  41 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  42 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  43 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  44
  45 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
  46 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  47
  48 (* to get rid of \middot
  49 ncoercion c  : ∀S:Alpha.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
  50 *)
  51
  52 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  53 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  54 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
  55
  56 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  57 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
  58
  59 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  60 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
  61
  62 let rec flatten (S : Alpha) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  63 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  64
  65 let rec conjunct (S : Alpha) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
  66 match l with [ nil ⇒ ? | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  67 // qed.
  68
  69 definition empty_lang ≝ λS.λw:word S.False.
  70 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
  71 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
  72
  73 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.x=w.
  74 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.*)
  75 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
  76
  77 definition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
  78 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
  79
  80 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  81   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  82 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
  83
  84 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  85 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
  86
  87 let rec in_l (S : Alpha) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
  88 match r with
  89 [ z ⇒ {}
  90 | e ⇒ { [ ] }
  91 | s x ⇒ { [x] }
  92 | c r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) · (in_l ? r2)
  93 | o r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) ∪ (in_l ? r2)
  94 | k r1 ⇒ (in_l ? r1) ^*].
  95
  96 notation "\sem{term 19 E}" non associative with precedence 75 for @{'in_l $E}.
  97 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
  98 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
  99
 100 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 101 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 102
 103 definition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
 104 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 105 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 106 interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
 107
 108 inductive pitem (S: Alpha) : Type[0] ≝
 109    pz: pitem S
 110  | pe: pitem S
 111  | ps: S → pitem S
 112  | pp: S → pitem S
 113  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 114  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 115  | pk: pitem S → pitem S.
 116
 117 definition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 118
 119 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 120 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 121 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 122 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 123 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 124 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 125 (* to get rid of \middot
 126 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 127 *)
 128 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 129 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 130 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 131
 132 let rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 133  match l with
 134   [ pz ⇒ ∅
 135   | pe ⇒ ϵ
 136   | ps x ⇒ `x
 137   | pp x ⇒ `x
 138   | pc E1 E2 ⇒ (forget ? E1) · (forget ? E2)
 139   | po E1 E2 ⇒ (forget ? E1) + (forget ? E2)
 140   | pk E ⇒ (forget ? E)^* ].
 141
 142 (* notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.*)
 143 interpretation "forget" 'norm a = (forget ? a).
 144
 145
 146 let rec in_pl (S : Alpha) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 147 match r with
 148 [ pz ⇒ {}
 149 | pe ⇒ {}
 150 | ps _ ⇒ {}
 151 | pp x ⇒ { [x] }
 152 | pc r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r2} ∪ (in_pl ? r2)
 153 | po r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) ∪ (in_pl ? r2)
 154 | pk r1 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r1}^*  ].
 155
 156 interpretation "in_pl" 'in_l E = (in_pl ? E).
 157 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 158
 159 definition epsilon ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else {}.
 160
 161 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 162 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 163 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 164
 165 definition in_prl ≝ λS : Alpha.λp:pre S.
 166   if (\snd p) then \sem{\fst p} ∪ { ([ ] : word S) } else \sem{\fst p}.
 167
 168 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 169 interpretation "in_prl" 'in_l E = (in_prl ? E).
 170
 171 lemma sem_pre_true : ∀S.∀i:pitem S.
 172   \sem{〈i,true〉} = \sem{i} ∪ { ([ ] : word S) }.
 173 // qed.
 174
 175 lemma sem_pre_false : ∀S.∀i:pitem S.
 176   \sem{〈i,false〉} = \sem{i}.
 177 // qed.
 178
 179 lemma sem_cat: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 180   \sem{i1 · i2} = \sem{i1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 181 // qed.
 182
 183 lemma sem_plus: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 184   \sem{i1 + i2} = \sem{i1} ∪ \sem{i2}.
 185 // qed.
 186
 187 lemma sem_star : ∀S.∀i:pitem S.
 188   \sem{i^*} = \sem{i} · \sem{|i|}^*.
 189 // qed.
 190
 191 lemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 192 #S #w1 #w2 cases w1 // #a #tl normalize #H destruct qed.
 193
 194 lemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ e).
 195 #S #e elim e normalize /2/
 196   [#r1 #r2 * #n1 #n2 % * /2/ * #w1 * #w2 * * #H
 197    >(append_eq_nil …H…) /2/
 198   |#r1 #r2 #n1 #n2 % * /2/
 199   |#r #n % * #w1 * #w2 * * #H >(append_eq_nil …H…) /2/
 200   ]
 201 qed.
 202
 203 (* lemma 12 *)
 204 lemma epsilon_to_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e → \snd e = true.
 205 #S * #i #b cases b // normalize #H @False_ind /2/
 206 qed.
 207
 208 lemma true_to_epsilon : ∀S.∀e:pre S. \snd e = true → [ ] ∈ e.
 209 #S * #i #b #btrue normalize in btrue >btrue %2 //
 210 qed.
 211
 212 definition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 213 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 214 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 215
 216 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1||b2〉.
 217 // qed.
 218
 219 definition pre_concat_r ≝ λS:Alpha.λi:pitem S.λe:pre S.
 220   match e with [ pair i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
 221
 222 notation "i ▸ e" left associative with precedence 60 for @{'trir $i $e}.
 223 interpretation "pre_concat_r" 'trir i e = (pre_concat_r ? i e).
 224
 225 definition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 226 notation "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 227 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 228
 229 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:word S → Prop.
 230   A = B → A =1 B.
 231 #S #A #B #H >H /2/ qed.
 232
 233 lemma ext_eq_trans: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 234   A =1 B → B =1 C → A =1 C.
 235 #S #A #B #C #eqAB #eqBC #w cases (eqAB w) cases (eqBC w) /4/
 236 qed.
 237
 238 lemma union_assoc: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 239   A ∪ B ∪ C =1 A ∪ (B ∪ C).
 240 #S #A #B #C #w % [* [* /3/ | /3/] | * [/3/ | * /3/]
 241 qed.
 242
 243 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:pre S.
 244   \sem{i ▸ e} =1 \sem{i} · \sem{|\fst e|} ∪ \sem{e}.
 245 #S #i * #i1 #b1 cases b1 /2/
 246 >sem_pre_true >sem_cat >sem_pre_true /2/
 247 qed.
 248
 249 definition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.pitem S → pre S.λe1:pre S.λi2:pitem S.
 250   match e1 with
 251   [ pair i1 b1 ⇒ match b1 with
 252     [ true ⇒ (i1 ▸ (bcast ? i2))
 253     | false ⇒ 〈i1 · i2,false〉
 254     ]
 255   ].
 256
 257 definition lift ≝ λf:∀S.pitem S →pre S.λS.λe:pre S.
 258   match e with
 259   [ pair i b ⇒ 〈\fst (f S i), \snd (f S i) || b〉].
 260
 261 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 262 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 263 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 264
 265 definition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λe:pre S.
 266   match e with
 267   [ pair i1 b1 ⇒
 268     match b1 with
 269     [true ⇒ 〈(\fst (bcast ? i1))^*, true〉
 270     |false ⇒ 〈i1^*,true〉
 271     ]
 272   ].
 273
 274 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.*)
 275 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 276 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 277
 278 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 279
 280 let rec eclose (S: Alpha) (i: pitem S) on i : pre S ≝
 281  match i with
 282   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 283   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 284   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
 285   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 286   | po i1 i2 ⇒ •i1 ⊕ •i2
 287   | pc i1 i2 ⇒ •i1 ⊙ i2
 288   | pk i ⇒ 〈(\fst(•i))^*,true〉].
 289
 290
 291 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 292 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 293
 294 lemma eclose_plus: ∀S:Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 295   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
 296 // qed.
 297
 298 lemma eclose_dot: ∀S:Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 299   •(i1 · i2) = •i1 ⊙ i2.
 300 // qed.
 301
 302 lemma eclose_star: ∀S:Alpha.∀i:pitem S.
 303   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
 304 // qed.
 305
 306 definition reclose ≝ lift eclose.
 307 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 308
 309 lemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. epsilon S (b1 || b2) =1 ϵ b1 ∪ ϵ b2.
 310 #S #b1 #b2 #w % cases b1 cases b2 normalize /2/ * /2/ * ;
 311 qed.
 312
 313 (*
 314 lemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 315 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 316
 317 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 318 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.*)
 319
 320 (* theorem 16: 2 *)
 321 (*
 322 lemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.
 323   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 324 #S * #i1 #b1  * #i2 #b2 #w %
 325 [normalize * [* /3/ | cases b1 cases b2 normalize /3/ ]
 326 |normalize * * /3/ cases b1 cases b2 normalize /3/ *]
 327 qed. *)
 328
 329 lemma odot_true :
 330   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 331   〈i1,true〉 ⊙ i2 = i1 ▸ (•i2).
 332 // qed.
 333
 334 lemma odot_true_bis :
 335   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 336   〈i1,true〉 ⊙ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
 337 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
 338
 339 lemma odot_false:
 340   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 341   〈i1,false〉 ⊙ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
 342 // qed.
 343
 344 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
 345   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
 346 // qed.
 347
 348 (*
 349 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 350 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 351 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 352 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 353 nqed.
 354
 355 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 356 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.*)
 357
 358 lemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S. |e1 · e2| = c ? (|e1|) (|e2|).
 359 // qed.
 360
 361 lemma erase_plus : ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 362   |i1 + i2| = |i1| + |i2|.
 363 // qed.
 364
 365 lemma erase_star : ∀S.∀i:pitem S.|i^*| = |i|^*.
 366 // qed.
 367
 368 (*
 369 definition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 370 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 371
 372 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 373 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 374
 375 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 376 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 377
 378 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 379 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 380
 381 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 382 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed. *)
 383
 384 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 385 #S #i elim i //
 386   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 387     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 388   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 389     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 390   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 391   ]
 392 qed.
 393
 394 axiom eq_ext_sym: ∀S.∀A,B:word S →Prop.
 395   A =1 B → B =1 A.
 396
 397 axiom union_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 398   A =1 C  → A ∪ B =1 C ∪ B.
 399
 400 axiom union_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 401   B =1 C → A ∪ B =1 A ∪ C.
 402
 403 axiom union_comm : ∀S.∀A,B:word S →Prop.
 404   A ∪ B =1 B ∪ A.
 405
 406 lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 407   (A ∪ B) · C =1  A · C ∪ B · C.
 408 #S #A #B #C #w %
 409   [* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
 410 qed.
 411
 412 (* this kind of results are pretty bad for automation;
 413    better not index them *)
 414 lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 415    A · { [ ] } =1  A.
 416 #S #A #w %
 417   [* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
 418   |#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
 419   ]
 420 qed-.
 421
 422 lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 423    { [ ] } · A =1  A.
 424 #S #A #w %
 425   [* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
 426   |#inA @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … w) /3/
 427   ]
 428 qed-.
 429
 430
 431 lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
 432   (A ∪ { [ ] }) · C =1  A · C ∪ C.
 433 #S #A #C @ext_eq_trans [|@distr_cat_r |@union_ext_r @epsilon_cat_l]
 434 qed.
 435
 436 (* axiom eplison_cut_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 437    { [ ] } · A =1  A.
 438
 439  axiom eplison_cut_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 440    A · { [ ] } =1  A. *)
 441
 442 (*
 443 lemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 444 #S p; ncases p; //; nqed.
 445
 446 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 447 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 448 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 449 napply Hw2; nqed.*)
 450
 451 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 452 lemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 453    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 454    \sem{e1 ⊙ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 455 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 456   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 457   |#H >odot_true >sem_pre_true @(ext_eq_trans … (sem_pre_concat_r …))
 458    >erase_bull
 459    @ext_eq_trans
 460      [|@(union_ext_r … H)
 461      |@ext_eq_trans
 462        [|@union_ext_r [|@union_comm ]
 463        |@ext_eq_trans (* /3 by eq_ext_sym, union_ext_l/; *)
 464          [|@eq_ext_sym @union_assoc
 465          |/3/
 466           (*
 467            by eq_ext_sym, union_ext_l;  @union_ext_l /3
 468           /3/ ext_eq_trans /2/
 469             /3 width=5 by eq_ext_sym, union_ext_r/ *)
 470          ]
 471        ]
 472      ]
 473    ]
 474 qed.
 475
 476 (* nlemma sub_dot_star :
 477   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 478 #S X b; napply extP; #w; @;
 479 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 480     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 481     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 482     @; //; napply (subW … sube);
 483 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 484     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 485     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 486         @; ncases b in H1; #H1;
 487         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 488                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 489                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 490            ##| ncases w' in Pw';
 491                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 492                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 493                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 494                    @wl'; @; //; ##] ##]
 495         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 496             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 497             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 498                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 499                 @[]; @; //;
 500             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 501                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 502 nqed. *)
 503
 504 (* theorem 16: 1 *)
 505 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 506 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 507 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 508 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 509 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 |e|.
 510 #S e; nelim e; //;
 511   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 512   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 513   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 514       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 515       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 516       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 517       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 518       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 519       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 520   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 521       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 522       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 523       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 524       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 525       nrewrite < (erase_plus …); //.
 526   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 527       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 528       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 529       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 530       nrewrite > (erase_bull…e);
 531       nrewrite > (erase_star …);
 532       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b')); ##[##2:
 533         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 534         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 535             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 536         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 537       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 538       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 |e^*|)); //;
 539       nchange in match (𝐋 |e^*|) with ((𝐋 |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 540  nqed.
 541
 542 (* theorem 16: 3 *)
 543 nlemma odot_dot:
 544   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 545 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 546
 547 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 548 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 549 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 550     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 551     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 552 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 553     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 554     @; /2/; @xs; /2/;##]
 555  nqed.
 556
 557 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 558 #S e; @[]; /2/; nqed.
 559
 560 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 561 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 562
 563 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 564 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 565
 566 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 567   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 568 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 569 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 570 nqed.
 571
 572 (* theorem 16: 4 *)
 573 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 |\fst e|)^*.
 574 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 575 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 576     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 577     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 578     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 579     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b' )); ##[##2:
 580       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 581       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 582       nchange in match b' in bc with b';
 583       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 584       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 585     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 586     nrewrite > (sub_dot_star…);
 587     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 588     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 589 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 590     nrewrite > (cup0…);
 591     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 |e|^* );
 592     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 593 nqed.
 594
 595 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 596   match e with
 597   [ z ⇒ pz ?
 598   | e ⇒ pe ?
 599   | s x ⇒ ps ? x
 600   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 601   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 602   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 603
 604 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 605
 606 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 607 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 608 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 609
 610 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 611 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 612 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 613     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 614 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 615     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 616 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 617     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 618 nqed.
 619
 620 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 621 #S A; nelim A; //;
 622 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 623     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 624 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 625     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 626 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 627     nrewrite < H1; //]
 628 nqed.
 629
 630 (* corollary 17 *)
 631 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 632 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 633 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 634 nqed.
 635
 636 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 637 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 638
 639 (* corollary 18 *)
 640 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 641 #S e; @;
 642 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 643     nrewrite > defsnde; #H;
 644     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 645
 646 STOP
 647
 648 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 649 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 650 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 651  match E with
 652   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 653   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 654   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 655   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 656   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 657   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 658   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 659 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 660 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 661 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 662
 663 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 664 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 665
 666 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w ∈ ∅ → False.
 667 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 668 nqed.
 669
 670
 671 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 672 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 673 nqed.
 674
 675 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 676 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 677 nqed.
 678
 679
 680 naxiom in_move_cat:
 681  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 682    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 683 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 684 ncases e1 in H; ncases e2;
 685 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 686    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 687    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 688 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 689    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 690    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 691 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 692    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 693    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 694    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 695 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 696    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 697    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 698 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 699     ...
 700 nqed.
 701
 702 ntheorem move_ok:
 703  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 704 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 705 ##[##1,2: #a w; @;
 706    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 707       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 708    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 709        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 710 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 711    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 712 ##|#a c w; @; nnormalize;
 713    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 714        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 715    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 716               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 717 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 718    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 719       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 720           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 721           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 722       ##|
 723       ...
 724 ##|
 725 ##|
 726 ##]
 727 nqed.
 728
 729
 730 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 731 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 732  match w with
 733   [ nil ⇒ E
 734   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 735
 736 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 737
 738 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 739  mk_equiv:
 740   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 741    \fst E1  = \fst E2 →
 742     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 743      equiv S E1 E2.
 744
 745 ndefinition NAT: decidable.
 746  @ nat eqb; /2/.
 747 nqed.
 748
 749 include "hints_declaration.ma".
 750
 751 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 752 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 753
 754 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 755
 756 nlet corec foo_nop (b: bool):
 757  equiv ?
 758   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 759   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 760  @; //; #x; ncases x
 761   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 762   | #y; ncases y
 763      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 764      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 765 nqed.
 766
 767 (*
 768 nlet corec foo (a: unit):
 769  equiv NAT
 770   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 771   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 772 ≝ ?.
 773  @;
 774   ##[ nnormalize; //
 775   ##| #x; ncases x
 776        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 777          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 778          @; //; #y; ncases y
 779            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 780            | #y; ncases y
 781               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 782
 783             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 784      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 785   ##]
 786 nqed.
 787 *)
 788
 789 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 790 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 791 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 792
 793
 794 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 795  nnormalize in match test3;
 796  nnormalize;
 797 //;
 798 nqed.
 799
 800 (**********************************************************)
 801
 802 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 803    der_z: der S a (z S) (z S)
 804  | der_e: der S a (e S) (z S)
 805  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 806  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 807  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 808             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 809  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 810             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 811  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 812     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 813
 814 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 815  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 816  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 817 nqed.
 818
 819 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 820
 821 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 822 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 823   [ #K; ninversion K
 824   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 825   | (* tutti casi assurdi *) *)
 826
 827 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 828    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 829  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 830
 831 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 832    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 833     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 834     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 835     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 836       eq_re S E1 E2.
 837
 838 (* serve il lemma dopo? *)
 839 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 840  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 841   [ #r; #K (* ok *)
 842   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 843
 844 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 845 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 846 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 847   [ //
 848   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 849   ]
 850 nqed. *)
 851
 852 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 853  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 854   [##1,2: #H1; ninversion H1
 855      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 856      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 857      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 858      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 859      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 860      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 861      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 862 ##| #H1; ninversion H1
 863      [ //
 864      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 865      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 866      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 867      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 868      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 869      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 870 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 871      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 872      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 873      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 874      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 875      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 876      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 877      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 878 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 879
 880 lemma