matita/matita/lib/re/re.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "basics/list.ma".
  17
  18 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  19
  20 record Alpha : Type[1] ≝ { carr :> Type[0];
  21    eqb: carr → carr → bool;
  22    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) ↔ (x = y)
  23 }.
  24
  25 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
  26 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
  27
  28 definition word ≝ λS:Alpha.list S.
  29
  30 inductive re (S: Alpha) : Type[0] ≝
  31    z: re S
  32  | e: re S
  33  | s: S → re S
  34  | c: re S → re S → re S
  35  | o: re S → re S → re S
  36  | k: re S → re S.
  37
  38 (* notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.*)
  39 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  40 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  41 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  42
  43 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'pc $a $b}.
  44 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  45
  46 (* to get rid of \middot
  47 ncoercion c  : ∀S:Alpha.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
  48 *)
  49
  50 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  51 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  52 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
  53
  54 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  55 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
  56
  57 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  58 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
  59
  60 let rec flatten (S : Alpha) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  61 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  62
  63 let rec conjunct (S : Alpha) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
  64 match l with [ nil ⇒ ? | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  65 // qed.
  66
  67 definition empty_lang ≝ λS.λw:word S.False.
  68 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
  69 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
  70
  71 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.x=w.
  72 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.*)
  73 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
  74
  75 definition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
  76 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
  77
  78 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  79   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  80 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
  81
  82 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  83 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
  84
  85 let rec in_l (S : Alpha) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
  86 match r with
  87 [ z ⇒ {}
  88 | e ⇒ { [ ] }
  89 | s x ⇒ { [x] }
  90 | c r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) · (in_l ? r2)
  91 | o r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) ∪ (in_l ? r2)
  92 | k r1 ⇒ (in_l ? r1) ^*].
  93
  94 notation "\sem{term 19 E}" non associative with precedence 75 for @{'in_l $E}.
  95 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
  96 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
  97
  98 lemma rsem_star : ∀S.∀r: re S. \sem{r^*} = \sem{r}^*.
  99 // qed.
 100
 101 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 102 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 103
 104 definition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
 105 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 106 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 107 interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
 108
 109 inductive pitem (S: Alpha) : Type[0] ≝
 110    pz: pitem S
 111  | pe: pitem S
 112  | ps: S → pitem S
 113  | pp: S → pitem S
 114  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 115  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 116  | pk: pitem S → pitem S.
 117
 118 definition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 119
 120 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 121 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 122 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 123 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 124 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 125 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 126
 127 (* to get rid of \middot
 128 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 129 *)
 130
 131 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 132 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 133 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 134
 135 let rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 136  match l with
 137   [ pz ⇒ ∅
 138   | pe ⇒ ϵ
 139   | ps x ⇒ `x
 140   | pp x ⇒ `x
 141   | pc E1 E2 ⇒ (forget ? E1) · (forget ? E2)
 142   | po E1 E2 ⇒ (forget ? E1) + (forget ? E2)
 143   | pk E ⇒ (forget ? E)^* ].
 144
 145 (* notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.*)
 146 interpretation "forget" 'norm a = (forget ? a).
 147
 148 let rec in_pl (S : Alpha) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 149 match r with
 150 [ pz ⇒ {}
 151 | pe ⇒ {}
 152 | ps _ ⇒ {}
 153 | pp x ⇒ { [x] }
 154 | pc r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r2} ∪ (in_pl ? r2)
 155 | po r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) ∪ (in_pl ? r2)
 156 | pk r1 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r1}^*  ].
 157
 158 interpretation "in_pl" 'in_l E = (in_pl ? E).
 159 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 160
 161 definition epsilon ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else {}.
 162
 163 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 164 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 165 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 166
 167 definition in_prl ≝ λS : Alpha.λp:pre S.
 168   if (\snd p) then \sem{\fst p} ∪ { ([ ] : word S) } else \sem{\fst p}.
 169
 170 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 171 interpretation "in_prl" 'in_l E = (in_prl ? E).
 172
 173 lemma sem_pre_true : ∀S.∀i:pitem S.
 174   \sem{〈i,true〉} = \sem{i} ∪ { ([ ] : word S) }.
 175 // qed.
 176
 177 lemma sem_pre_false : ∀S.∀i:pitem S.
 178   \sem{〈i,false〉} = \sem{i}.
 179 // qed.
 180
 181 lemma sem_cat: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 182   \sem{i1 · i2} = \sem{i1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 183 // qed.
 184
 185 lemma sem_cat_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 186   \sem{i1 · i2} w = ((\sem{i1} · \sem{|i2|}) w ∨ \sem{i2} w).
 187 // qed.
 188
 189 lemma sem_plus: ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 190   \sem{i1 + i2} = \sem{i1} ∪ \sem{i2}.
 191 // qed.
 192
 193 lemma sem_plus_w: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀w.
 194   \sem{i1 + i2} w = (\sem{i1} w ∨ \sem{i2} w).
 195 // qed.
 196
 197 lemma sem_star : ∀S.∀i:pitem S.
 198   \sem{i^*} = \sem{i} · \sem{|i|}^*.
 199 // qed.
 200
 201 lemma sem_star_w : ∀S.∀i:pitem S.∀w.
 202   \sem{i^*} w = (∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ \sem{i} w1 ∧ \sem{|i|}^* w2).
 203 // qed.
 204
 205 lemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 206 #S #w1 #w2 cases w1 // #a #tl normalize #H destruct qed.
 207
 208 lemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ e).
 209 #S #e elim e normalize /2/
 210   [#r1 #r2 * #n1 #n2 % * /2/ * #w1 * #w2 * * #H
 211    >(append_eq_nil …H…) /2/
 212   |#r1 #r2 #n1 #n2 % * /2/
 213   |#r #n % * #w1 * #w2 * * #H >(append_eq_nil …H…) /2/
 214   ]
 215 qed.
 216
 217 (* lemma 12 *)
 218 lemma epsilon_to_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e → \snd e = true.
 219 #S * #i #b cases b // normalize #H @False_ind /2/
 220 qed.
 221
 222 lemma true_to_epsilon : ∀S.∀e:pre S. \snd e = true → [ ] ∈ e.
 223 #S * #i #b #btrue normalize in btrue; >btrue %2 //
 224 qed.
 225
 226 definition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 227 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 228 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 229
 230 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1||b2〉.
 231 // qed.
 232
 233 definition pre_concat_r ≝ λS:Alpha.λi:pitem S.λe:pre S.
 234   match e with [ pair i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
 235
 236 notation "i ◂ e" left associative with precedence 60 for @{'ltrif $i $e}.
 237 interpretation "pre_concat_r" 'ltrif i e = (pre_concat_r ? i e).
 238
 239 definition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 240 notation "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 241 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 242
 243 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:word S → Prop.
 244   A = B → A =1 B.
 245 #S #A #B #H >H /2/ qed.
 246
 247 lemma ext_eq_trans: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 248   A =1 B → B =1 C → A =1 C.
 249 #S #A #B #C #eqAB #eqBC #w cases (eqAB w) cases (eqBC w) /4/
 250 qed.
 251
 252 lemma union_assoc: ∀S.∀A,B,C:word S → Prop.
 253   A ∪ B ∪ C =1 A ∪ (B ∪ C).
 254 #S #A #B #C #w % [* [* /3/ | /3/] | * [/3/ | * /3/]
 255 qed.
 256
 257 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:pre S.
 258   \sem{i ◂ e} =1 \sem{i} · \sem{|\fst e|} ∪ \sem{e}.
 259 #S #i * #i1 #b1 cases b1 /2/
 260 >sem_pre_true >sem_cat >sem_pre_true /2/
 261 qed.
 262
 263 definition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.pitem S → pre S.λe1:pre S.λi2:pitem S.
 264   match e1 with
 265   [ pair i1 b1 ⇒ match b1 with
 266     [ true ⇒ (i1 ◂ (bcast ? i2))
 267     | false ⇒ 〈i1 · i2,false〉
 268     ]
 269   ].
 270
 271 definition lift ≝ λS.λf:pitem S →pre S.λe:pre S.
 272   match e with
 273   [ pair i b ⇒ 〈\fst (f i), \snd (f i) || b〉].
 274
 275 notation "a ▸ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 276 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 277
 278 definition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λe:pre S.
 279   match e with
 280   [ pair i1 b1 ⇒
 281     match b1 with
 282     [true ⇒ 〈(\fst (bcast ? i1))^*, true〉
 283     |false ⇒ 〈i1^*,false〉
 284     ]
 285   ].
 286
 287 (*
 288 lemma oplus_tt : ∀S: Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 289   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 290 // qed.
 291
 292 lemma oplus_tf : ∀S: Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 293   〈i1,true〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 294 // qed.
 295
 296 lemma oplus_ft : ∀S: Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 297   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,true〉  = 〈i1 + i2,true〉.
 298 // qed.
 299
 300 lemma oplus_ff : ∀S: Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 301   〈i1,false〉 ⊕ 〈i2,false〉  = 〈i1 + i2,false〉.
 302 // qed. *)
 303
 304 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.*)
 305 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 306 notation "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 307
 308 notation "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 309
 310 let rec eclose (S: Alpha) (i: pitem S) on i : pre S ≝
 311  match i with
 312   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 313   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 314   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
 315   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 316   | po i1 i2 ⇒ •i1 ⊕ •i2
 317   | pc i1 i2 ⇒ •i1 ▸ i2
 318   | pk i ⇒ 〈(\fst (•i))^*,true〉].
 319
 320 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 321 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 322
 323 lemma eclose_plus: ∀S:Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 324   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
 325 // qed.
 326
 327 lemma eclose_dot: ∀S:Alpha.∀i1,i2:pitem S.
 328   •(i1 · i2) = •i1 ▸ i2.
 329 // qed.
 330
 331 lemma eclose_star: ∀S:Alpha.∀i:pitem S.
 332   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
 333 // qed.
 334
 335 definition reclose ≝ λS. lift S (eclose S).
 336 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 337
 338 lemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. epsilon S (b1 || b2) =1 ϵ b1 ∪ ϵ b2.
 339 #S #b1 #b2 #w % cases b1 cases b2 normalize /2/ * /2/ * ;
 340 qed.
 341
 342 (*
 343 lemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 344 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 345
 346 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 347 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.*)
 348
 349 (* theorem 16: 2 *)
 350 lemma sem_oplus: ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.
 351   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 352 #S * #i1 #b1 * #i2 #b2 #w %
 353   [cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 354   |cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 355   ]
 356 qed.
 357
 358 lemma odot_true :
 359   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 360   〈i1,true〉 ▸ i2 = i1 ◂ (•i2).
 361 // qed.
 362
 363 lemma odot_true_bis :
 364   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 365   〈i1,true〉 ▸ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
 366 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
 367
 368 lemma odot_false:
 369   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 370   〈i1,false〉 ▸ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
 371 // qed.
 372
 373 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
 374   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
 375 // qed.
 376
 377 (*
 378 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 379 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 380 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 381 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 382 nqed.
 383
 384 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 385 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.*)
 386
 387 lemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S. |e1 · e2| = c ? (|e1|) (|e2|).
 388 // qed.
 389
 390 lemma erase_plus : ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 391   |i1 + i2| = |i1| + |i2|.
 392 // qed.
 393
 394 lemma erase_star : ∀S.∀i:pitem S.|i^*| = |i|^*.
 395 // qed.
 396
 397 definition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 398 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 399
 400 (* nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 401 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 402
 403 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 404 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 405
 406 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 407 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 408
 409 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 410 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed. *)
 411
 412 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 413 #S #i elim i //
 414   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 415     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 416   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 417     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 418   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 419   ]
 420 qed.
 421
 422 axiom eq_ext_sym: ∀S.∀A,B:word S →Prop.
 423   A =1 B → B =1 A.
 424
 425 axiom union_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 426   A =1 C  → A ∪ B =1 C ∪ B.
 427
 428 axiom union_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 429   B =1 C → A ∪ B =1 A ∪ C.
 430
 431 axiom union_comm : ∀S.∀A,B:word S →Prop.
 432   A ∪ B =1 B ∪ A.
 433
 434 axiom union_idemp: ∀S.∀A:word S →Prop.
 435   A ∪ A =1 A.
 436
 437 axiom cat_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 438   A =1 C  → A · B =1 C · B.
 439
 440 axiom cat_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 441   B =1 C → A · B =1 A · C.
 442
 443 lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
 444   (A ∪ B) · C =1  A · C ∪ B · C.
 445 #S #A #B #C #w %
 446   [* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
 447 qed.
 448
 449 axiom fix_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
 450   A^* =1 A · A^* ∪ { [ ] }.
 451
 452 axiom star_epsilon: ∀S:Alpha.∀A:word S → Prop.
 453   A^* ∪ { [ ] } =1 A^*.
 454
 455 lemma sem_eclose_star: ∀S:Alpha.∀i:pitem S.
 456   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,false〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 457 /2/ qed.
 458
 459 (*
 460 lemma sem_eclose_star: ∀S:Alpha.∀i:pitem S.
 461   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,true〉}·\sem{|i|}^* ∪ { [ ] }.
 462 /2/ qed.
 463
 464 #S #i #b cases b
 465   [>sem_pre_true >sem_star
 466   |/2/
 467   ] *)
 468
 469 (* this kind of results are pretty bad for automation;
 470    better not index them *)
 471 lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 472    A · { [ ] } =1  A.
 473 #S #A #w %
 474   [* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
 475   |#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
 476   ]
 477 qed-.
 478
 479 lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 480    { [ ] } · A =1  A.
 481 #S #A #w %
 482   [* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
 483   |#inA @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … w) /3/
 484   ]
 485 qed-.
 486
 487
 488 lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
 489   (A ∪ { [ ] }) · C =1  A · C ∪ C.
 490 #S #A #C @ext_eq_trans [|@distr_cat_r |@union_ext_r @epsilon_cat_l]
 491 qed.
 492
 493 (* axiom eplison_cut_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 494    { [ ] } · A =1  A.
 495
 496  axiom eplison_cut_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 497    A · { [ ] } =1  A. *)
 498
 499 (*
 500 lemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 501 #S p; ncases p; //; nqed.
 502
 503 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 504 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 505 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 506 napply Hw2; nqed.*)
 507
 508 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 509 lemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 510    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 511    \sem{e1 ▸ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 512 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 513   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 514   |#H >odot_true >sem_pre_true @(ext_eq_trans … (sem_pre_concat_r …))
 515    >erase_bull @ext_eq_trans [|@(union_ext_r … H)]
 516     @ext_eq_trans [|@union_ext_r [|@union_comm ]]
 517     @ext_eq_trans [|@eq_ext_sym @union_assoc ] /3/
 518   ]
 519 qed.
 520
 521 axiom star_fix :
 522   ∀S.∀X:word S → Prop.(X - {[ ]}) · X^* ∪ {[ ]} =1 X^*.
 523
 524 axiom sem_fst: ∀S.∀e:pre S. \sem{\fst e} =1 \sem{e}-{[ ]}.
 525
 526 axiom sem_fst_aux: ∀S.∀e:pre S.∀i:pitem S.∀A.
 527  \sem{e} =1 \sem{i} ∪ A → \sem{\fst e} =1 \sem{i} ∪ (A - {[ ]}).
 528
 529 (* theorem 16: 1 *)
 530 theorem sem_bull: ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  \sem{•e} =1 \sem{e} ∪ \sem{|e|}.
 531 #S #e elim e
 532   [#w normalize % [/2/ | * //]
 533   |/2/
 534   |#x normalize #w % [ /2/ | * [@False_ind | //]]
 535   |#x normalize #w % [ /2/ | * // ]
 536   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_dot
 537    @ext_eq_trans [|@odot_dot_aux //] >sem_cat
 538    @ext_eq_trans
 539      [|@union_ext_l
 540        [|@ext_eq_trans [|@(cat_ext_l … IH1)] @distr_cat_r]]
 541    @ext_eq_trans [|@union_assoc]
 542    @ext_eq_trans [||@eq_ext_sym @union_assoc]
 543    @union_ext_r //
 544   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus
 545    @ext_eq_trans [|@sem_oplus] >sem_plus >erase_plus
 546    @ext_eq_trans [|@(union_ext_r … IH2)]
 547    @ext_eq_trans [|@eq_ext_sym @union_assoc]
 548    @ext_eq_trans [||@union_assoc] @union_ext_l
 549    @ext_eq_trans [||@eq_ext_sym @union_assoc]
 550    @ext_eq_trans [||@union_ext_r [|@union_comm]]
 551    @ext_eq_trans [||@union_assoc] /3/
 552   |#i #H >sem_pre_true >sem_star >erase_bull >sem_star
 553    @ext_eq_trans [|@union_ext_l [|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 554    @ext_eq_trans [|@union_ext_l [|@distr_cat_r]]
 555    @ext_eq_trans [|@union_assoc] @union_ext_r >erase_star @star_fix
 556   ]
 557 qed.
 558
 559 definition lifted_cat ≝ λS:Alpha.λe:pre S.
 560   lift S (lc S eclose e).
 561
 562 notation "e1 ⊙ e2" left associative with precedence 70 for @{'odot $e1 $e2}.
 563
 564 interpretation "lifted cat" 'odot e1 e2 = (lifted_cat ? e1 e2).
 565
 566 lemma sem_odot_true: ∀S:Alpha.∀e1:pre S.∀i.
 567   \sem{e1 ⊙ 〈i,true〉} =1 \sem{e1 ▸ i} ∪ { [ ] }.
 568 #S #e1 #i
 569 cut (e1 ⊙ 〈i,true〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) || true〉) [//]
 570 #H >H cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1
 571   [>sem_pre_true @ext_eq_trans [||@eq_ext_sym @union_assoc]
 572    @union_ext_r /2/
 573   |/2/
 574   ]
 575 qed.
 576
 577 lemma eq_odot_false: ∀S:Alpha.∀e1:pre S.∀i.
 578   e1 ⊙ 〈i,false〉 = e1 ▸ i.
 579 #S #e1 #i
 580 cut (e1 ⊙ 〈i,false〉 = 〈\fst (e1 ▸ i), \snd(e1 ▸ i) || false〉) [//]
 581 cases (e1 ▸ i) #i1 #b1 cases b1 #H @H
 582 qed.
 583
 584 lemma sem_odot:
 585   ∀S.∀e1,e2: pre S. \sem{e1 ⊙ e2} =1 \sem{e1}· \sem{|\fst e2|} ∪ \sem{e2}.
 586 #S #e1 * #i2 *
 587   [>sem_pre_true
 588    @ext_eq_trans [|@sem_odot_true]
 589    @ext_eq_trans [||@union_assoc] @union_ext_l @odot_dot_aux //
 590   |>sem_pre_false >eq_odot_false @odot_dot_aux //
 591   ]
 592 qed.
 593
 594 (*
 595 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 596 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 597 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 598     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 599     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 600 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 601     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 602     @; /2/; @xs; /2/;##]
 603  nqed.
 604
 605 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 606 #S e; @[]; /2/; nqed.
 607
 608 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 609 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 610
 611 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 612 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 613
 614 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 615   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 616 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 617 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 618 nqed.
 619 *)
 620
 621 (* theorem 16: 4 *)
 622 theorem sem_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 623   \sem{e^⊛} =1  \sem{e} · \sem{|\fst e|}^*.
 624 #S * #i #b cases b
 625   [>sem_pre_true >sem_pre_true >sem_star >erase_bull
 626    @ext_eq_trans [|@union_ext_l [|@cat_ext_l [|@sem_fst_aux //]]]
 627    @ext_eq_trans [|@union_ext_l [|@distr_cat_r]]
 628    @ext_eq_trans [||@eq_ext_sym @distr_cat_r]
 629    @ext_eq_trans [|@union_assoc] @union_ext_r
 630    @ext_eq_trans [||@eq_ext_sym @epsilon_cat_l] @star_fix
 631   |>sem_pre_false >sem_pre_false >sem_star /2/
 632   ]
 633 qed.
 634
 635 (*
 636 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 637   match e with
 638   [ z ⇒ pz ?
 639   | e ⇒ pe ?
 640   | s x ⇒ ps ? x
 641   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 642   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 643   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 644
 645 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 646
 647 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 648 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 649 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 650
 651 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 652 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 653 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 654     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 655 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 656     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 657 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 658     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 659 nqed.
 660
 661 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 662 #S A; nelim A; //;
 663 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 664     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 665 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 666     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 667 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 668     nrewrite < H1; //]
 669 nqed.
 670
 671 (* corollary 17 *)
 672 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 673 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 674 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 675 nqed.
 676
 677 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 678 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 679
 680 (* corollary 18 *)
 681 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 682 #S e; @;
 683 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 684     nrewrite > defsnde; #H;
 685     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 686
 687 *)
 688
 689