matita/matita/lib/re/reb.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "basics/lists/list.ma".
  17
  18 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  19
  20 record Alpha : Type[1] ≝ { carr :> Type[0];
  21    eqb: carr → carr → bool;
  22    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) ↔ (x = y)
  23 }.
  24
  25 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
  26 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
  27
  28 definition word ≝ λS:Alpha.list S.
  29
  30 let rec eqbw S (x,y:word S) on x ≝
  31   match x with
  32   [ nil ⇒ match y with [nil ⇒ true | _ ⇒ false]
  33   | cons a xtl ⇒ match y with
  34     [nil ⇒ false | cons b ytl ⇒ a == b ∧ eqbw S xtl ytl ]
  35   ]
  36 .
  37
  38 inductive re (S: Alpha) : Type[0] ≝
  39    z: re S
  40  | e: re S
  41  | s: S → re S
  42  | c: re S → re S → re S
  43  | o: re S → re S → re S
  44  | k: re S → re S.
  45
  46 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  47 notation > "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  48 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  49 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  50
  51 notation "a · b" non associative with precedence 65 for @{ 'pc $a $b}.
  52 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
  53
  54 (* to get rid of \middot
  55 ncoercion c  : ∀S:Alpha.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
  56 *)
  57
  58 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  59 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
  60 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
  61
  62 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  63 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
  64
  65 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  66 interpretation "empty" 'empty = (z ?).
  67
  68 let rec flatten (S : Alpha) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  69 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  70
  71 let rec conjunct (S : Alpha) (l : list (word S)) (r : word S → bool) on l: bool ≝
  72 match l with [ nil ⇒ true | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  73
  74 definition empty_lang ≝ λS.λw:word S.false.
  75 notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}.
  76 interpretation "empty lang" 'empty_lang = (empty_lang ?).
  77
  78 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:word S.eqbw S x w.
  79 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.*)
  80 interpretation "sing lang" 'singl x = (sing_lang ? x).
  81
  82 definition union : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝ λS.λl1,l2.λw:word S.l1 w ∨ l2 w.
  83 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
  84
  85 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  86   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  87 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
  88
  89 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  90 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
  91
  92 let rec in_l (S : Alpha) (r : re S) on r : word S → Prop ≝
  93 match r with
  94 [ z ⇒ {}
  95 | e ⇒ { [ ] }
  96 | s x ⇒ { [x] }
  97 | c r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) · (in_l ? r2)
  98 | o r1 r2 ⇒ (in_l ? r1) ∪ (in_l ? r2)
  99 | k r1 ⇒ (in_l ? r1) ^*].
 100
 101 notation "\sem{E}" non associative with precedence 75 for @{'in_l $E}.
 102 interpretation "in_l" 'in_l E = (in_l ? E).
 103 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
 104
 105 notation "a || b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
 106 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
 107
 108 definition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
 109 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 110 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
 111 interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
 112
 113 inductive pitem (S: Alpha) : Type[0] ≝
 114    pz: pitem S
 115  | pe: pitem S
 116  | ps: S → pitem S
 117  | pp: S → pitem S
 118  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 119  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 120  | pk: pitem S → pitem S.
 121
 122 definition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 123
 124 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 125 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 126 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 127 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 128 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 129 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 130 (* to get rid of \middot
 131 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 132 *)
 133 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 134 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 135 interpretation "pempty" 'empty = (pz ?).
 136
 137 notation > "| e |" non associative with precedence 66 for @{forget ? $e}.
 138 let rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 139  match l with
 140   [ pz ⇒ ∅
 141   | pe ⇒ ϵ
 142   | ps x ⇒ `x
 143   | pp x ⇒ `x
 144   | pc E1 E2 ⇒ (forget ? E1) · (forget ? E2)
 145   | po E1 E2 ⇒ (forget ? E1) + (forget ? E2)
 146   | pk E ⇒ (forget ? E)^* ].
 147
 148 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 149 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 150
 151
 152 let rec in_pl (S : Alpha) (r : pitem S) on r : word S → Prop ≝
 153 match r with
 154 [ pz ⇒ {}
 155 | pe ⇒ {}
 156 | ps _ ⇒ {}
 157 | pp x ⇒ { [x] }
 158 | pc r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r2} ∪ (in_pl ? r2)
 159 | po r1 r2 ⇒ (in_pl ? r1) ∪ (in_pl ? r2)
 160 | pk r1 ⇒ (in_pl ? r1) · \sem{forget ? r1}^*  ].
 161
 162 interpretation "in_pl" 'in_l E = (in_pl ? E).
 163 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 164
 165 definition epsilon ≝ λS,b.if b then { ([ ] : word S) } else {}.
 166
 167 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 168 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 169 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 170
 171 definition in_prl ≝ λS : Alpha.λp:pre S. \sem{\fst p} ∪ ϵ (\snd p).
 172
 173 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 174 interpretation "in_prl" 'in_l E = (in_prl ? E).
 175
 176 lemma append_eq_nil : ∀S.∀w1,w2:word S. w1 @ w2 = [ ] → w1 = [ ].
 177 #S #w1 #w2 cases w1 // #a #tl normalize #H destruct qed.
 178
 179 lemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ e).
 180 #S #e elim e normalize /2/
 181   [#r1 #r2 * #n1 #n2 % * /2/ * #w1 * #w2 * * #H
 182    >(append_eq_nil …H…) /2/
 183   |#r1 #r2 #n1 #n2 % * /2/
 184   |#r #n % * #w1 * #w2 * * #H >(append_eq_nil …H…) /2/
 185   ]
 186 qed.
 187
 188 (* lemma 12 *)
 189 lemma epsilon_to_true : ∀S.∀e:pre S. [ ] ∈ e → \snd e = true.
 190 #S #r * [#H apply False_ind /2/ | cases (\snd r) normalize // * ;
 191 qed.
 192
 193 lemma true_to_epsilon : ∀S.∀e:pre S. \snd e = true → [ ] ∈ e.
 194 #S #e #H %2 >H //
 195 qed.
 196
 197 definition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 198 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 65 for @{'oplus $a $b}.
 199 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 200
 201 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1||b2〉.
 202 // qed.
 203
 204 definition item_concat ≝ λS:Alpha.λi:pitem S.λe:pre S.
 205   match e with [ pair i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
 206
 207 definition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.pre S → pre S.λe1.λe2:pre S.
 208   match e1 with
 209   [ pair i1 b1 ⇒ match b1 with
 210     [ true ⇒ item_concat ? i1 (bcast ? e2)
 211     | false ⇒ item_concat ? i1 e2
 212     ]
 213   ].
 214
 215 definition lift ≝ λf:∀S.pitem S →pre S.λS.λe:pre S.
 216   match e with
 217   [ pair i b ⇒ 〈\fst (f S i), \snd (f S i) || b〉].
 218
 219 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 65 for @{'lc $op $a $b}.
 220 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 221 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 65 for @{'lc (lift eclose) $a $b}.
 222
 223 definition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λe:pre S.
 224   match e with
 225   [ pair i1 b1 ⇒
 226     match b1 with
 227     [true ⇒ 〈(\fst (bcast ? i1))^*, true〉
 228     |false ⇒ 〈i1^*,true〉
 229     ]
 230   ].
 231
 232 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 233 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 234 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 235
 236
 237 notation > "•" non associative with precedence 65 for @{eclose ?}.
 238 let rec eclose (S: Alpha) (i: pitem S) on i : pre S ≝
 239  match i with
 240   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 241   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 242   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
 243   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 244   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 245   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈E2,false〉
 246   | pk E ⇒ 〈(\fst(•E))^*,true〉].
 247
 248 notation < "• x" non associative with precedence 65 for @{'eclose $x}.
 249 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 250 notation > "• x" non associative with precedence 65 for @{'eclose $x}.
 251
 252 definition reclose ≝ lift eclose.
 253 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 254
 255 definition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 256 notation "A ≐ B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 257 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 258
 259 (*
 260 lemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) ≐ ϵ b1 ∪ ϵ b2.
 261 ##[##2: napply S]
 262 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 263 nqed.
 264
 265 lemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 266 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 267
 268 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 269 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.*)
 270
 271 (* theorem 16: 2 *)
 272 lemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.\sem{e1 ⊕ e2} ≐ \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 273 #S * #i1 #b1  * #i2 #b2 >lo_def normalize in ⊢ (?%?);
 274
 275 #w cases b1 cases b2 normalize % #w r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 276 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 277 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 278 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 279 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 280 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 281 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 282 nqed.
 283
 284 nlemma odotEt :
 285   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 286 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 287
 288 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 289
 290 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 291 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 292 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 293 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 294 nqed.
 295
 296 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 297 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 298
 299 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 300 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 301 nqed.
 302
 303 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 304 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 305
 306 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 307
 308 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 309 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 310
 311 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 312 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 313
 314 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 315 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 316
 317 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 318 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 319
 320 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 321 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 322
 323 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. |\fst (•a)| = |a|.
 324 #S a; nelim a; // by {};
 325 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (|e1| · |e2|);
 326     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 327     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 328     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 329     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 330 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (|e1| + |e2|);
 331     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 332     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 333     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 334 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (|e|^* ); nrewrite < IH;
 335     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 336 nqed.
 337
 338 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 339 #S p; ncases p; //; nqed.
 340
 341 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 342 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 343 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 344 napply Hw2; nqed.
 345
 346 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 347 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 348       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 |\fst e2| →
 349          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 350 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 351 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 352     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 353     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 354     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 355     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 356     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 357     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 358     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 |e2'|); ##[##2:
 359       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 |e2'|);
 360       ngeneralize in match th1;
 361       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 362     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 363     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 364     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 365     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 366     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 367 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 368     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 369     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 370     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 371     nrewrite > (cup0…);
 372     nrewrite > (cupA…); //;##]
 373 nqed.
 374
 375 nlemma sub_dot_star :
 376   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 377 #S X b; napply extP; #w; @;
 378 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 379     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 380     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 381     @; //; napply (subW … sube);
 382 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 383     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 384     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 385         @; ncases b in H1; #H1;
 386         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 387                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 388                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 389            ##| ncases w' in Pw';
 390                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 391                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 392                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 393                    @wl'; @; //; ##] ##]
 394         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 395             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 396             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 397                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 398                 @[]; @; //;
 399             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 400                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 401 nqed.
 402
 403 (* theorem 16: 1 *)
 404 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 405 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 406 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 407 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 408 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 |e|.
 409 #S e; nelim e; //;
 410   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 411   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 412   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 413       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 414       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 415       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 416       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 417       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 418       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 419   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 420       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 421       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 422       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 423       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 424       nrewrite < (erase_plus …); //.
 425   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 426       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 427       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 428       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 429       nrewrite > (erase_bull…e);
 430       nrewrite > (erase_star …);
 431       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b')); ##[##2:
 432         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 433         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 434             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 435         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 436       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 437       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 |e^*|)); //;
 438       nchange in match (𝐋 |e^*|) with ((𝐋 |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 439  nqed.
 440
 441 (* theorem 16: 3 *)
 442 nlemma odot_dot:
 443   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 444 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 445
 446 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 447 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 448 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 449     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 450     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 451 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 452     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 453     @; /2/; @xs; /2/;##]
 454  nqed.
 455
 456 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 457 #S e; @[]; /2/; nqed.
 458
 459 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 460 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 461
 462 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 463 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 464
 465 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 466   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 467 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 468 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 469 nqed.
 470
 471 (* theorem 16: 4 *)
 472 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 |\fst e|)^*.
 473 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 474 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 475     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 476     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 477     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 478     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b' )); ##[##2:
 479       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 480       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 481       nchange in match b' in bc with b';
 482       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 483       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 484     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 485     nrewrite > (sub_dot_star…);
 486     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 487     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 488 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 489     nrewrite > (cup0…);
 490     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 |e|^* );
 491     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 492 nqed.
 493
 494 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 495   match e with
 496   [ z ⇒ pz ?
 497   | e ⇒ pe ?
 498   | s x ⇒ ps ? x
 499   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 500   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 501   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 502
 503 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 504
 505 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 506 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 507 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 508
 509 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 510 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 511 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 512     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 513 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 514     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 515 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 516     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 517 nqed.
 518
 519 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 520 #S A; nelim A; //;
 521 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 522     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 523 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 524     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 525 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 526     nrewrite < H1; //]
 527 nqed.
 528
 529 (* corollary 17 *)
 530 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 531 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 532 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 533 nqed.
 534
 535 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 536 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 537
 538 (* corollary 18 *)
 539 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 540 #S e; @;
 541 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 542     nrewrite > defsnde; #H;
 543     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 544
 545 STOP
 546
 547 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 548 non associative with precedence 65 for @{move ? $x $E}.
 549 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 550  match E with
 551   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 552   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 553   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 554   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 555   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 556   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 557   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 558 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 65 for @{'move $x $E}.
 559 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 65 for @{'move $x $E}.
 560 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 561
 562 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 563 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 564
 565 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w ∈ ∅ → False.
 566 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 567 nqed.
 568
 569
 570 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 571 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 572 nqed.
 573
 574 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 575 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 576 nqed.
 577
 578
 579 naxiom in_move_cat:
 580  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 581    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 582 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 583 ncases e1 in H; ncases e2;
 584 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 585    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 586    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 587 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 588    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 589    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 590 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 591    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 592    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 593    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 594 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 595    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 596    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 597 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 598     ...
 599 nqed.
 600
 601 ntheorem move_ok:
 602  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 603 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 604 ##[##1,2: #a w; @;
 605    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 606       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 607    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 608        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 609 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 610    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 611 ##|#a c w; @; nnormalize;
 612    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 613        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 614    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 615               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 616 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 617    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 618       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 619           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 620           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 621       ##|
 622       ...
 623 ##|
 624 ##|
 625 ##]
 626 nqed.
 627
 628
 629 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 65 for @{move_star ? $x $E}.
 630 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 631  match w with
 632   [ nil ⇒ E
 633   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 634
 635 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 636
 637 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 638  mk_equiv:
 639   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 640    \fst E1  = \fst E2 →
 641     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 642      equiv S E1 E2.
 643
 644 ndefinition NAT: decidable.
 645  @ nat eqb; /2/.
 646 nqed.
 647
 648 include "hints_declaration.ma".
 649
 650 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 651 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 652
 653 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 654
 655 nlet corec foo_nop (b: bool):
 656  equiv ?
 657   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 658   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 659  @; //; #x; ncases x
 660   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 661   | #y; ncases y
 662      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 663      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 664 nqed.
 665
 666 (*
 667 nlet corec foo (a: unit):
 668  equiv NAT
 669   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 670   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 671 ≝ ?.
 672  @;
 673   ##[ nnormalize; //
 674   ##| #x; ncases x
 675        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 676          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 677          @; //; #y; ncases y
 678            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 679            | #y; ncases y
 680               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 681
 682             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 683      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 684   ##]
 685 nqed.
 686 *)
 687
 688 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 689 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 690 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 691
 692
 693 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 694  nnormalize in match test3;
 695  nnormalize;
 696 //;
 697 nqed.
 698
 699 (**********************************************************)
 700
 701 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 702    der_z: der S a (z S) (z S)
 703  | der_e: der S a (e S) (z S)
 704  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 705  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 706  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 707             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 708  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 709             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 710  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 711     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 712
 713 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 714  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 715  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 716 nqed.
 717
 718 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 719
 720 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 721 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 722   [ #K; ninversion K
 723   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 724   | (* tutti casi assurdi *) *)
 725
 726 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 727    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 728  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 729
 730 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 731    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 732     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 733     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 734     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 735       eq_re S E1 E2.
 736
 737 (* serve il lemma dopo? *)
 738 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 739  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 740   [ #r; #K (* ok *)
 741   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 742
 743 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 744 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 745 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 746   [ //
 747   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 748   ]
 749 nqed. *)
 750
 751 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 752  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 753   [##1,2: #H1; ninversion H1
 754      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 755      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 756      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 757      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 758      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 759      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 760      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 761 ##| #H1; ninversion H1
 762      [ //
 763      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 764      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 765      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 766      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 767      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 768      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 769 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 770      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 771      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 772      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 773      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 774      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 775      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 776      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 777 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
 778