matita/matita/lib/turing/if_machine.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "turing/mono.ma".
  13
  14 (**************************** single final machine ****************************)
  15
  16 definition single_finalTM ≝
  17   λsig.λM:TM sig.seq ? M (nop ?).
  18
  19 lemma sem_single_final: ∀sig.∀M: TM sig.∀R.
  20   M ⊨ R → single_finalTM sig M ⊨ R.
  21 #sig #M #R #HR #intape
  22 cases (sem_seq ????? HR (sem_nop …) intape)
  23 #k * #outc * #Hloop * #ta * #Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc
  24 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %  [ @Hloop | >Houtc // ]
  25 qed.
  26
  27 lemma single_final: ∀sig.∀M: TM sig.∀q1,q2.
  28   halt ? (single_finalTM sig M) q1 = true
  29     →  halt ? (single_finalTM sig M) q2 = true → q1=q2.
  30 #sig #M *
  31   [#q1M #q2 whd in match (halt ???); #H destruct
  32   |#q1nop *
  33     [#q2M #_ whd in match (halt ???); #H destruct
  34     |#q2nop #_ #_ @eq_f normalize @nop_single_state
  35     ]
  36   ]
  37 qed.
  38
  39 (******************************** if machine **********************************)
  40
  41 definition if_trans ≝ λsig. λM1,M2,M3 : TM sig. λq:states sig M1.
  42 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
  43   match s with
  44   [ inl s1 ⇒
  45       if halt sig M1 s1 then
  46         if s1==q then 〈inr … (inl … (start sig M2)), None ?〉
  47         else 〈inr … (inr … (start sig M3)), None ?〉
  48       else let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
  49        〈inl … news1,m〉
  50   | inr s' ⇒
  51       match s' with
  52       [ inl s2 ⇒ let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
  53          〈inr … (inl … news2),m〉
  54       | inr s3 ⇒ let 〈news3,m〉 ≝ trans sig M3 〈s3,a〉 in
  55          〈inr … (inr … news3),m〉
  56       ]
  57   ].
  58
  59 definition ifTM ≝ λsig. λcondM,thenM,elseM : TM sig.
  60   λqacc: states sig condM.
  61   mk_TM sig
  62     (FinSum (states sig condM) (FinSum (states sig thenM) (states sig elseM)))
  63     (if_trans sig condM thenM elseM qacc)
  64     (inl … (start sig condM))
  65     (λs.match s with
  66       [ inl _ ⇒ false
  67       | inr s' ⇒ match s' with
  68         [ inl s2 ⇒ halt sig thenM s2
  69         | inr s3 ⇒ halt sig elseM s3 ]]).
  70
  71 (****************************** lifting lemmas ********************************)
  72 lemma trans_if_liftM1 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
  73   halt ? M1 s = false →
  74   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
  75   trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
  76 #sig * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #M3 #acc #s #a #news #move
  77 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
  78 qed.
  79
  80 lemma trans_if_liftM2 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
  81   halt ? M2 s = false →
  82   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
  83   trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inl … s),a〉 = 〈inr… (inl … news),move〉.
  84 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #move
  85 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
  86 qed.
  87
  88 lemma trans_if_liftM3 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a,news,move.
  89   halt ? M3 s = false →
  90   trans sig M3 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
  91   trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inr … (inr … s),a〉 = 〈inr… (inr … news),move〉.
  92 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #M3 #acc #s #a #news #move
  93 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
  94 qed.
  95
  96 lemma step_if_liftM1 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,c0.
  97  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
  98  step sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) (lift_confL sig (states ? M1) ? c0) =
  99  lift_confL sig (states ? M1) ? (step sig M1 c0).
 100 #sig #M1 #M2 #M3 #acc * #s #t
 101   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 102   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 103   #s0 #m0 cases t
 104   [ #Heq #Hhalt
 105   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 106   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 107   whd in ⊢ (???(????%)); >Heq whd in ⊢ (???%);
 108   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?); >(trans_if_liftM1 … Hhalt Heq) //
 109 qed.
 110
 111 lemma step_if_liftM2 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,c0.
 112  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 113  step sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) (lift_confR sig ?? (lift_confL sig ?? c0)) =
 114  lift_confR sig ?? (lift_confL sig ?? (step sig M2 c0)).
 115 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 #M3 #acc * #s #t
 116   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 117   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 118   #s0 #m0 cases t
 119   [ #Heq #Hhalt
 120   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 121   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 122   whd in match (step ? M2 ?); >Heq whd in ⊢ (???%);
 123   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?); >(trans_if_liftM2 … Hhalt Heq) //
 124 qed.
 125
 126 lemma step_if_liftM3 : ∀sig,M1,M2,M3,acc,c0.
 127  halt ? M3 (cstate ?? c0) = false →
 128  step sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) (lift_confR sig ?? (lift_confR sig ?? c0)) =
 129  lift_confR sig ?? (lift_confR sig ?? (step sig M3 c0)).
 130 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 #M3 #acc * #s #t
 131   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 132   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 133   #s0 #m0 cases t
 134   [ #Heq #Hhalt
 135   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 136   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 137   whd in match (step ? M3 ?); >Heq whd in ⊢ (???%);
 138   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?); >(trans_if_liftM3 … Hhalt Heq) //
 139 qed.
 140
 141 lemma trans_if_M1true_acc : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a.
 142   halt ? M1 s = true → s==acc = true →
 143   trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inl … (start ? M2)),None ?〉.
 144 #sig #M1 #M2 #M3 #acc #s #a #Hhalt #Hacc whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Hacc %
 145 qed.
 146
 147 lemma trans_if_M1true_notacc : ∀sig,M1,M2,M3,acc,s,a.
 148   halt ? M1 s = true → s==acc = false →
 149   trans sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (inr … (start ? M3)),None ?〉.
 150 #sig #M1 #M2 #M3 #acc #s #a #Hhalt #Hacc whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Hacc %
 151 qed.
 152
 153 (******************************** semantics ***********************************)
 154 lemma sem_if: ∀sig.∀M1,M2,M3:TM sig.∀Rtrue,Rfalse,R2,R3,acc.
 155   M1 ⊨ [acc: Rtrue,Rfalse] → M2 ⊨ R2 → M3 ⊨ R3 →
 156     ifTM sig M1 M2 M3 acc ⊨ (Rtrue ∘ R2) ∪ (Rfalse ∘ R3).
 157 #sig #M1 #M2 #M3 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #acc #HaccR #HR2 #HR3 #t
 158 cases (HaccR t) #k1 * #outc1 * * #Hloop1 #HMtrue #HMfalse
 159 cases (true_or_false (cstate ?? outc1 == acc)) #Hacc
 160   [cases (HR2 (ctape sig ? outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 161    @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confL … outc2))) %
 162     [@(loop_merge ?????????
 163      (mk_config ? (FinSum (states sig M1) (FinSum (states sig M2) (states sig M3)))
 164       (inr (states sig M1) ? (inl (states sig M2) (states sig M3) (start sig M2))) (ctape ?? outc1) )
 165      ?
 166      (loop_lift ???
 167        (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? M2) (states ? M3)))
 168        (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc))
 169        (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 170        (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 171        … Hloop1))
 172       [* *
 173         [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 174         | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 175       |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 176       |#x <p_halt_liftL %
 177       |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 178        whd in match (lift_confL ????);
 179        >(trans_if_M1true_acc … Hacc)
 180         [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 181       |cases outc1 #s1 #t1 %
 182       |@(loop_lift ???
 183          (λc.(lift_confR … (lift_confL sig (states ? M2) (states ? M3) c)))
 184          … Hloop2)
 185         [ * #s2 #t2 %
 186         | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM2 … Hhalt) // ]
 187       ]
 188     |%1 @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 189       [@HMtrue @(\P Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM2 ]
 190     ]
 191   |cases (HR3 (ctape sig ? outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM3
 192    @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confR … outc2))) %
 193     [@(loop_merge ?????????
 194      (mk_config ? (FinSum (states sig M1) (FinSum (states sig M2) (states sig M3)))
 195       (inr (states sig M1) ? (inr (states sig M2) (states sig M3) (start sig M3))) (ctape ?? outc1) )
 196      ?
 197      (loop_lift ???
 198        (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? M2) (states ? M3)))
 199        (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 M2 M3 acc))
 200        (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 201        (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 202        … Hloop1))
 203       [* *
 204         [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 205         | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 206       |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 207       |#x <p_halt_liftL %
 208       |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 209        whd in match (lift_confL ????);
 210        >(trans_if_M1true_notacc … Hacc)
 211         [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 212       |cases outc1 #s1 #t1 %
 213       |@(loop_lift ???
 214          (λc.(lift_confR … (lift_confR sig (states ? M2) (states ? M3) c)))
 215          … Hloop2)
 216         [ * #s2 #t2 %
 217         | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM3 … Hhalt) // ]
 218       ]
 219     |%2 @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 220       [@HMfalse @(\Pf Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM3 ]
 221     ]
 222   ]
 223 qed.
 224
 225 lemma sem_if_app: ∀sig,M1,M2,M3,Rtrue,Rfalse,R2,R3,R4,acc.
 226   accRealize sig M1 acc Rtrue Rfalse  → M2 ⊨ R2  → M3 ⊨ R3 →
 227     (∀t1,t2,t3. (Rtrue t1 t3 → R2 t3 t2) ∨ (Rfalse t1 t3 → R3 t3 t2) → R4 t1 t2) →
 228     ifTM sig M1 M2 M3 acc ⊨ R4.
 229 #sig #M1 #M2 #M3 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #R4 #acc
 230 #HRacc #HRtrue #HRfalse #Hsub
 231 #t cases (sem_if … HRacc HRtrue HRfalse t)
 232 #k * #outc * #Hloop #Houtc @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
 233 % [@Hloop] cases Houtc
 234   [* #t3 * #Hleft #Hright @(Hsub … t3) %1 /2/
 235   |* #t3 * #Hleft #Hright @(Hsub … t3) %2 /2/ ]
 236 qed.
 237
 238 (* we can probably use acc_sem_if to prove sem_if *)
 239 (* for sure we can use acc_sem_if_guarded to prove acc_sem_if *)
 240 lemma acc_sem_if: ∀sig,M1,M2,M3,Rtrue,Rfalse,R2,R3,acc.
 241   M1 ⊨ [acc: Rtrue, Rfalse]  → M2 ⊨ R2 → M3 ⊨ R3 →
 242   ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc ⊨
 243      [inr … (inl … (inr … start_nop)): Rtrue ∘ R2, Rfalse ∘ R3].
 244 #sig #M1 #M2 #M3 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #acc #HaccR #HR2 #HR3 #t
 245 cases (HaccR t) #k1 * #outc1 * * #Hloop1 #HMtrue #HMfalse
 246 cases (true_or_false (cstate ?? outc1 == acc)) #Hacc
 247   [lapply (sem_single_final … HR2) -HR2 #HR2
 248    cases (HR2 (ctape sig ? outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 249    @(ex_intro … (k1+k2))
 250    @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confL … outc2))) %
 251     [%
 252       [@(loop_merge ?????????
 253          (mk_config ? (states sig (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc))
 254           (inr (states sig M1) ? (inl ? (states sig M3) (start sig (single_finalTM sig M2)))) (ctape ?? outc1) )
 255          ?
 256          (loop_lift ???
 257           (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? (single_finalTM … M2)) (states ? M3)))
 258           (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 (single_finalTM ? M2) M3 acc))
 259           (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 260           (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 261           … Hloop1))
 262         [* *
 263           [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 264           | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 265         |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 266         |#x <p_halt_liftL %
 267         |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 268          whd in match (lift_confL ????);
 269          >(trans_if_M1true_acc … Hacc)
 270           [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 271         |cases outc1 #s1 #t1 %
 272         |@(loop_lift ???
 273            (λc.(lift_confR … (lift_confL sig (states ? (single_finalTM ? M2)) (states ? M3) c)))
 274            … Hloop2)
 275           [ * #s2 #t2 %
 276           | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM2 … Hhalt) // ]
 277         ]
 278       |#_ @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 279         [@HMtrue @(\P Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM2 ]
 280       ]
 281     |>(config_expand ?? outc2) whd in match (lift_confR ????);
 282      * #H @False_ind @H @eq_f @eq_f >(config_expand ?? outc2)
 283      @single_final // @(loop_Some ?????? Hloop2)
 284     ]
 285   |cases (HR3 (ctape sig ? outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM3
 286    @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confR … outc2))) %
 287     [%
 288       [@(loop_merge ?????????
 289          (mk_config ? (states sig (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc))
 290           (inr (states sig M1) ? (inr (states sig (single_finalTM ? M2)) ? (start sig M3))) (ctape ?? outc1) )
 291          ?
 292          (loop_lift ???
 293           (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? (single_finalTM … M2)) (states ? M3)))
 294           (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 (single_finalTM ? M2) M3 acc))
 295           (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 296           (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 297           … Hloop1))
 298         [* *
 299           [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 300           | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 301         |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 302         |#x <p_halt_liftL %
 303         |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 304          whd in match (lift_confL ????);
 305          >(trans_if_M1true_notacc … Hacc)
 306           [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 307         |cases outc1 #s1 #t1 %
 308         |@(loop_lift ???
 309            (λc.(lift_confR … (lift_confR sig (states ? (single_finalTM ? M2)) (states ? M3) c)))
 310            … Hloop2)
 311           [ * #s2 #t2 %
 312           | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM3 … Hhalt) // ]
 313         ]
 314       |>(config_expand ?? outc2) whd in match (lift_confR ????);
 315        #H destruct (H)
 316       ]
 317     |#_ @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 318       [@HMfalse @(\Pf Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM3 ]
 319     ]
 320   ]
 321 qed.
 322
 323 lemma acc_sem_if_app: ∀sig,M1,M2,M3,Rtrue,Rfalse,R2,R3,R4,R5,acc.
 324   M1 ⊨ [acc: Rtrue, Rfalse] → M2 ⊨ R2 → M3 ⊨ R3 →
 325     (∀t1,t2,t3. Rtrue t1 t3 → R2 t3 t2 → R4 t1 t2) →
 326     (∀t1,t2,t3. Rfalse t1 t3 → R3 t3 t2 → R5 t1 t2) →
 327      ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc ⊨
 328        [inr … (inl … (inr … start_nop)): R4, R5].
 329 #sig #M1 #M2 #M3 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #R4 #R5 #acc
 330 #HRacc #HRtrue #HRfalse #Hsub1 #Hsub2
 331 #t cases (acc_sem_if … HRacc HRtrue HRfalse t)
 332 #k * #outc * * #Hloop #Houtc1 #Houtc2 @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
 333 % [% [@Hloop
 334      |#H cases (Houtc1 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub1 // ]
 335   |#H cases (Houtc2 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub2 // ]
 336 qed.
 337
 338 lemma sem_single_final_guarded: ∀sig.∀M: TM sig.∀Pre,R.
 339   GRealize sig M Pre R → GRealize sig (single_finalTM sig M) Pre R.
 340 #sig #M #Pre #R #HR #intape #HPre
 341 cases (sem_seq_guarded ??????? HR (Realize_to_GRealize ?? (λt.True) ? (sem_nop …)) ?? HPre) //
 342 #k * #outc * #Hloop * #ta * #Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 343 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %  [ @Hloop | >Houtc // ]
 344 qed.
 345
 346 lemma acc_sem_if_guarded: ∀sig,M1,M2,M3,P,P2,Rtrue,Rfalse,R2,R3,acc.
 347   M1 ⊨ [acc: Rtrue, Rfalse]  →
 348   (GRealize ? M2 P2 R2) → (∀t,t0.P t → Rtrue t t0 → P2 t0) →
 349   M3 ⊨ R3 →
 350   accGRealize ? (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc)
 351     (inr … (inl … (inr … start_nop))) P (Rtrue ∘ R2) (Rfalse ∘ R3).
 352 #sig #M1 #M2 #M3 #P #P2 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #acc #HaccR #HR2 #HP2 #HR3 #t #HPt
 353 cases (HaccR t) #k1 * #outc1 * * #Hloop1 #HMtrue #HMfalse
 354 cases (true_or_false (cstate ?? outc1 == acc)) #Hacc
 355   [lapply (sem_single_final_guarded … HR2) -HR2 #HR2
 356    cases (HR2 (ctape sig ? outc1) ?)
 357    [|@HP2 [||@HMtrue @(\P Hacc)] // ]
 358    #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 359    @(ex_intro … (k1+k2))
 360    @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confL … outc2))) %
 361     [%
 362       [@(loop_merge ?????????
 363          (mk_config ? (states sig (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc))
 364           (inr (states sig M1) ? (inl ? (states sig M3) (start sig (single_finalTM sig M2)))) (ctape ?? outc1) )
 365          ?
 366          (loop_lift ???
 367           (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? (single_finalTM … M2)) (states ? M3)))
 368           (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 (single_finalTM ? M2) M3 acc))
 369           (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 370           (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 371           … Hloop1))
 372         [* *
 373           [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 374           | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 375         |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 376         |#x <p_halt_liftL %
 377         |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 378          whd in match (lift_confL ????);
 379          >(trans_if_M1true_acc … Hacc)
 380           [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 381         |cases outc1 #s1 #t1 %
 382         |@(loop_lift ???
 383            (λc.(lift_confR … (lift_confL sig (states ? (single_finalTM ? M2)) (states ? M3) c)))
 384            … Hloop2)
 385           [ * #s2 #t2 %
 386           | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM2 … Hhalt) // ]
 387         ]
 388       |#_ @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 389         [@HMtrue @(\P Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM2 ]
 390       ]
 391     |>(config_expand ?? outc2) whd in match (lift_confR ????);
 392      * #H @False_ind @H @eq_f @eq_f >(config_expand ?? outc2)
 393      @single_final // @(loop_Some ?????? Hloop2)
 394     ]
 395   |cases (HR3 (ctape sig ? outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM3
 396    @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … (lift_confR … outc2))) %
 397     [%
 398       [@(loop_merge ?????????
 399          (mk_config ? (states sig (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc))
 400           (inr (states sig M1) ? (inr (states sig (single_finalTM ? M2)) ? (start sig M3))) (ctape ?? outc1) )
 401          ?
 402          (loop_lift ???
 403           (lift_confL sig (states ? M1) (FinSum (states ? (single_finalTM … M2)) (states ? M3)))
 404           (step sig M1) (step sig (ifTM sig M1 (single_finalTM ? M2) M3 acc))
 405           (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 406           (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c))
 407           … Hloop1))
 408         [* *
 409           [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 410           | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 411         |#c0 #Hhalt >(step_if_liftM1 … Hhalt) //
 412         |#x <p_halt_liftL %
 413         |whd in ⊢ (??%?); >(config_expand ?? outc1);
 414          whd in match (lift_confL ????);
 415          >(trans_if_M1true_notacc … Hacc)
 416           [% | @(loop_Some ?????? Hloop1)]
 417         |cases outc1 #s1 #t1 %
 418         |@(loop_lift ???
 419            (λc.(lift_confR … (lift_confR sig (states ? (single_finalTM ? M2)) (states ? M3) c)))
 420            … Hloop2)
 421           [ * #s2 #t2 %
 422           | #c0 #Hhalt >(step_if_liftM3 … Hhalt) // ]
 423         ]
 424       |>(config_expand ?? outc2) whd in match (lift_confR ????);
 425        #H destruct (H)
 426       ]
 427     |#_ @(ex_intro … (ctape ?? outc1)) %
 428       [@HMfalse @(\Pf Hacc) | >(config_expand ?? outc2) @HM3 ]
 429     ]
 430   ]
 431 qed.
 432
 433 lemma acc_sem_if_app_guarded: ∀sig,M1,M2,M3,P,P2,Rtrue,Rfalse,R2,R3,R4,R5,acc.
 434   M1 ⊨ [acc: Rtrue, Rfalse] →
 435   (GRealize ? M2 P2 R2) → (∀t,t0.P t → Rtrue t t0 → P2 t0) →
 436   M3 ⊨ R3 →
 437   (∀t1,t2,t3. Rtrue t1 t3 → R2 t3 t2 → R4 t1 t2) →
 438   (∀t1,t2,t3. Rfalse t1 t3 → R3 t3 t2 → R5 t1 t2) →
 439   accGRealize ? (ifTM sig M1 (single_finalTM … M2) M3 acc)
 440     (inr … (inl … (inr … start_nop))) P R4 R5 .
 441 #sig #M1 #M2 #M3 #P #P2 #Rtrue #Rfalse #R2 #R3 #R4 #R5 #acc
 442 #HRacc #HRtrue #Hinv #HRfalse #Hsub1 #Hsub2
 443 #t #HPt cases (acc_sem_if_guarded … HRacc HRtrue Hinv HRfalse t HPt)
 444 #k * #outc * * #Hloop #Houtc1 #Houtc2 @(ex_intro … k) @(ex_intro … outc)
 445 % [% [@Hloop
 446      |#H cases (Houtc1 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub1 // ]
 447   |#H cases (Houtc2 H) #t3 * #Hleft #Hright @Hsub2 // ]
 448 qed.
 449
 450