matita/matita/lib/turing/mono.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "basics/vectors.ma".
  13 (* include "basics/relations.ma". *)
  14
  15 (*
  16 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝
  17 { left : list (option sig);
  18   right: list (option sig)
  19 }.
  20 *)
  21
  22 inductive tape (sig:FinSet) : Type[0] ≝
  23 | niltape : tape sig
  24 | leftof  : sig → list sig → tape sig
  25 | rightof : sig → list sig → tape sig
  26 | midtape : list sig → sig → list sig → tape sig.
  27
  28 definition left ≝
  29  λsig.λt:tape sig.match t with
  30  [ niltape ⇒ []
  31  | leftof _ _ ⇒ []
  32  | rightof s l ⇒ s::l
  33  | midtape l _ _ ⇒ l ].
  34
  35 definition right ≝
  36  λsig.λt:tape sig.match t with
  37  [ niltape ⇒ []
  38  | leftof s r ⇒ s::r
  39  | rightof _ _ ⇒ []
  40  | midtape _ _ r ⇒ r ].
  41
  42
  43 definition current ≝
  44  λsig.λt:tape sig.match t with
  45  [ midtape _ c _ ⇒ Some ? c
  46  | _ ⇒ None ? ].
  47
  48 definition mk_tape :
  49   ∀sig:FinSet.list sig → option sig → list sig → tape sig ≝
  50   λsig,lt,c,rt.match c with
  51   [ Some c' ⇒ midtape sig lt c' rt
  52   | None ⇒ match lt with
  53     [ nil ⇒ match rt with
  54       [ nil ⇒ niltape ?
  55       | cons r0 rs0 ⇒ leftof ? r0 rs0 ]
  56     | cons l0 ls0 ⇒ rightof ? l0 ls0 ] ].
  57
  58 inductive move : Type[0] ≝
  59 | L : move
  60 | R : move
  61 | N : move
  62 .
  63
  64 (* We do not distinuish an input tape *)
  65
  66 record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
  67 { states : FinSet;
  68   trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
  69   start: states;
  70   halt : states → bool
  71 }.
  72
  73 record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
  74 { cstate : states;
  75   ctape: tape sig
  76 }.
  77
  78 (* definition option_hd ≝ λA.λl:list (option A).
  79   match l with
  80   [nil ⇒ None ?
  81   |cons a _ ⇒ a
  82   ].
  83   *)
  84
  85 (*definition tape_write ≝ λsig.λt:tape sig.λs:sig.
  86   <left ? t) s (right ? t).
  87   [ None ⇒ t
  88   | Some s' ⇒ midtape ? (left ? t) s' (right ? t) ].*)
  89
  90 definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
  91   match lt with
  92   [ nil ⇒ leftof sig c rt
  93   | cons c0 lt0 ⇒ midtape sig lt0 c0 (c::rt) ].
  94
  95 definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
  96   match rt with
  97   [ nil ⇒ rightof sig c lt
  98   | cons c0 rt0 ⇒ midtape sig (c::lt) c0 rt0 ].
  99
 100 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
 101   match m with
 102   [ None ⇒ t
 103   | Some m' ⇒
 104     let 〈s,m1〉 ≝ m' in
 105     match m1 with
 106       [ R ⇒ tape_move_right ? (left ? t) s (right ? t)
 107       | L ⇒ tape_move_left ? (left ? t) s (right ? t)
 108       | N ⇒ midtape ? (left ? t) s (right ? t)
 109       ] ].
 110 (*
 111   (None,[]) → □
 112   (None,a::[]) → □
 113   (None,a::b::rs) → None::b::rs
 114   (Some a,[]) → [Some a]
 115   (Some a,b::rs) → Some a::rs
 116   *)
 117 (*
 118 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 119   match a with
 120   [ None ⇒ match l with
 121     [ nil ⇒ []
 122     | cons _ _ ⇒ a::l ]
 123   | Some _ ⇒ a::l ].
 124
 125 (* definition tape_update := λsig.λt: tape sig.λs:option sig.
 126   let newright ≝
 127     match right ? t with
 128     [ nil ⇒ match s with
 129       [ None ⇒ []
 130       | Some a ⇒ [Some ? a] ]
 131     | cons b rs ⇒ match s with
 132       [ None ⇒ match rs with
 133         [ nil ⇒ []
 134         | cons _ _ ⇒ None ?::rs ]
 135       | Some a ⇒ Some ? a::rs ] ]
 136   in mk_tape ? (left ? t) newright. *)
 137
 138 definition tape_move ≝ λsig.λt:tape sig.λm:option sig × move.
 139   let 〈s,m1〉 ≝ m in match m1 with
 140     [ R ⇒ mk_tape sig (option_cons ? s (left ? t)) (tail ? (right ? t))
 141     | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t))
 142            (option_cons ? (option_hd ? (left ? t))
 143              (option_cons ? s (tail ? (right ? t))))
 144     | N ⇒ mk_tape sig (left ? t) (option_cons ? s (tail ? (right ? t)))
 145     ].
 146 *)
 147
 148 definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
 149   let current_char ≝ current ? (ctape ?? c) in
 150   let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
 151   mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
 152
 153 let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
 154   match n with
 155   [ O ⇒ None ?
 156   | S m ⇒ if p a then (Some ? a) else loop A m f p (f a)
 157   ].
 158
 159 lemma loop_S_true :
 160   ∀A,n,f,p,a.  p a = true →
 161   loop A (S n) f p a = Some ? a.
 162 #A #n #f #p #a #pa normalize >pa //
 163 qed.
 164
 165 lemma loop_S_false :
 166   ∀A,n,f,p,a.  p a = false →
 167   loop A (S n) f p a = loop A n f p (f a).
 168 normalize #A #n #f #p #a #Hpa >Hpa %
 169 qed.
 170
 171 lemma loop_incr : ∀A,f,p,k1,k2,a1,a2.
 172   loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 173     loop A (k2+k1) f p a1 = Some ? a2.
 174 #A #f #p #k1 #k2 #a1 #a2 generalize in match a1; elim k1
 175 [normalize #a0 #Hfalse destruct
 176 |#k1' #IH #a0 <plus_n_Sm whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 177  cases (true_or_false (p a0)) #Hpa0 >Hpa0 whd in ⊢ (??%? → ??%?); // @IH
 178 ]
 179 qed.
 180
 181 lemma loop_merge : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 182  ∀k1,k2,a1,a2,a3,a4.
 183    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 184      f a2 = a3 → q a2 = false →
 185        loop A k2 f q a3 = Some ? a4 →
 186          loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a4.
 187 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 188   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 #H destruct
 189   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 normalize in ⊢ (%→?);
 190    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 191    [#eqa1a2 destruct #eqa2a3 #Hqa2 #H
 192     whd in ⊢ (??(??%???)?); >plus_n_Sm @loop_incr
 193     whd in ⊢ (??%?); >Hqa2 >eqa2a3 @H
 194    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 195     #H1 #H2 #H3 @(Hind … H2) //
 196    ]
 197  ]
 198 qed.
 199
 200 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. q b = true → p b = true) →
 201  ∀k,a1,a2.
 202    loop A k f q a1 = Some ? a2 →
 203    ∃k1,a3.
 204     loop A k1 f p a1 = Some ? a3 ∧
 205       loop A (S(k-k1)) f q a3 = Some ? a2.
 206 #A #f #p #q #Hpq #k elim k
 207   [#a1 #a2 normalize #Heq destruct
 208   |#i #Hind #a1 #a2 normalize
 209    cases (true_or_false (q a1)) #Hqa1 >Hqa1 normalize
 210     [ #Ha1a2 destruct
 211      @(ex_intro … 1) @(ex_intro … a2) %
 212        [normalize >(Hpq …Hqa1) // |>Hqa1 //]
 213     |#Hloop cases (true_or_false (p a1)) #Hpa1
 214        [@(ex_intro … 1) @(ex_intro … a1) %
 215          [normalize >Hpa1 // |>Hqa1 <Hloop normalize //]
 216        |cases (Hind …Hloop) #k2 * #a3 * #Hloop1 #Hloop2
 217         @(ex_intro … (S k2)) @(ex_intro … a3) %
 218          [normalize >Hpa1 normalize // | @Hloop2 ]
 219        ]
 220     ]
 221   ]
 222 qed.
 223
 224 (*
 225 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 226  ∀k1,k2,a1,a2,a3.
 227    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 228      loop A k2 f q a2 = Some ? a3 →
 229        loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a3.
 230 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 231   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #H destruct
 232   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 normalize in ⊢ (%→?→?);
 233    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 234    [#eqa1a2 destruct #H @loop_incr //
 235    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 236     #H1 #H2 @(Hind … H2) //
 237    ]
 238  ]
 239 qed.
 240 *)
 241
 242 definition initc ≝ λsig.λM:TM sig.λt.
 243   mk_config sig (states sig M) (start sig M) t.
 244
 245 definition Realize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 246 ∀t.∃i.∃outc.
 247   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 248   R t (ctape ?? outc).
 249
 250 definition WRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 251 ∀t,i,outc.
 252   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc →
 253   R t (ctape ?? outc).
 254
 255 definition Terminate ≝ λsig.λM:TM sig.λt. ∃i,outc.
 256   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc.
 257
 258 lemma WRealize_to_Realize : ∀sig.∀M: TM sig.∀R.
 259   (∀t.Terminate sig M t) → WRealize sig M R → Realize sig M R.
 260 #sig #M #R #HT #HW #t cases (HT … t) #i * #outc #Hloop
 261 @(ex_intro … i) @(ex_intro … outc) % // @(HW … i) //
 262 qed.
 263
 264 lemma loop_eq : ∀sig,f,q,i,j,a,x,y.
 265   loop sig i f q a = Some ? x → loop sig j f q a = Some ? y → x = y.
 266 #sig #f #q #i #j @(nat_elim2 … i j)
 267 [ #n #a #x #y normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 268 | #n #a #x #y #H1 normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 269 | #n1 #n2 #IH #a #x #y normalize cases (q a) normalize
 270   [ #H1 #H2 destruct %
 271   | /2/ ]
 272 ]
 273 qed.
 274
 275 theorem Realize_to_WRealize : ∀sig,M,R.Realize sig M R → WRealize sig M R.
 276 #sig #M #R #H1 #inc #i #outc #Hloop
 277 cases (H1 inc) #k * #outc1 * #Hloop1 #HR
 278 >(loop_eq … Hloop Hloop1) //
 279 qed.
 280
 281 definition accRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λacc:states sig M.λRtrue,Rfalse:relation (tape sig).
 282 ∀t.∃i.∃outc.
 283   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 284   (cstate ?? outc = acc → Rtrue t (ctape ?? outc)) ∧
 285   (cstate ?? outc ≠ acc → Rfalse t (ctape ?? outc)).
 286
 287 (* NO OPERATION
 288
 289   t1 = t2
 290   *)
 291
 292 definition nop_states ≝ initN 1.
 293
 294 definition nop ≝
 295   λalpha:FinSet.mk_TM alpha nop_states
 296   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in 〈q,None ?〉)
 297   O (λ_.true).
 298
 299 definition R_nop ≝ λalpha.λt1,t2:tape alpha.t2 = t1.
 300
 301 lemma sem_nop :
 302   ∀alpha.Realize alpha (nop alpha) (R_nop alpha).
 303 #alpha #intape @(ex_intro ?? 1) @ex_intro [| % normalize % ]
 304 qed.
 305
 306 (* Compositions *)
 307
 308 definition seq_trans ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 309 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
 310   match s with
 311   [ inl s1 ⇒
 312       if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
 313       else
 314       let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
 315       〈inl … news1,m〉
 316   | inr s2 ⇒
 317       let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
 318       〈inr … news2,m〉
 319   ].
 320
 321 definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 322   mk_TM sig
 323     (FinSum (states sig M1) (states sig M2))
 324     (seq_trans sig M1 M2)
 325     (inl … (start sig M1))
 326     (λs.match s with
 327       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig M2 s2]).
 328
 329 definition Rcomp ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa1,a2.
 330   ∃am.R1 a1 am ∧ R2 am a2.
 331
 332 (*
 333 definition injectRl ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 334    λc1,c2. ∃c11,c12.
 335      inl … (cstate sig M1 c11) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 336      inl … (cstate sig M1 c12) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 337      ctape sig M1 c11 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 338      ctape sig M1 c12 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 339      R c11 c12.
 340
 341 definition injectRr ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 342    λc1,c2. ∃c21,c22.
 343      inr … (cstate sig M2 c21) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 344      inr … (cstate sig M2 c22) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 345      ctape sig M2 c21 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 346      ctape sig M2 c22 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 347      R c21 c22.
 348
 349 definition Rlink ≝ λsig.λM1,M2.λc1,c2.
 350   ctape sig (seq sig M1 M2) c1 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 351   cstate sig (seq sig M1 M2) c1 = inl … (halt sig M1) ∧
 352   cstate sig (seq sig M1 M2) c2 = inr … (start sig M2). *)
 353
 354 interpretation "relation composition" 'compose R1 R2 = (Rcomp ? R1 R2).
 355
 356 definition lift_confL ≝
 357   λsig,S1,S2,c.match c with
 358   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inl … s) t ].
 359
 360 definition lift_confR ≝
 361   λsig,S1,S2,c.match c with
 362   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inr … s) t ].
 363
 364 definition halt_liftL ≝
 365   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 366   match s with
 367   [ inl s1 ⇒ halt s1
 368   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
 369
 370 definition halt_liftR ≝
 371   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 372   match s with
 373   [ inl _ ⇒ false
 374   | inr s2 ⇒ halt s2 ].
 375
 376 lemma p_halt_liftL : ∀sig,S1,S2,halt,c.
 377   halt (cstate sig S1 c) =
 378      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
 379 #sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
 380 qed.
 381
 382 lemma trans_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 383   halt ? M1 s = false →
 384   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 385   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
 386 #sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
 387 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 388 qed.
 389
 390 lemma trans_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 391   halt ? M2 s = false →
 392   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 393   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
 394 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
 395 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 396 qed.
 397
 398 lemma config_eq :
 399   ∀sig,M,c1,c2.
 400   cstate sig M c1 = cstate sig M c2 →
 401   ctape sig M c1 = ctape sig M c2 →  c1 = c2.
 402 #sig #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
 403 qed.
 404
 405 lemma step_lift_confR : ∀sig,M1,M2,c0.
 406  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 407  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 408  lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) (step sig M2 c0).
 409 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
 410   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 411   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 412   #s0 #m0 cases t
 413   [ #Heq #Hhalt
 414   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 415   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 416   whd in ⊢ (???(????%)); >Heq
 417   whd in ⊢ (???%);
 418   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 419   >(trans_liftR … Heq) //
 420 qed.
 421
 422 lemma step_lift_confL : ∀sig,M1,M2,c0.
 423  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
 424  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confL sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 425  lift_confL sig ?? (step sig M1 c0).
 426 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
 427   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 428   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 429   #s0 #m0 cases t
 430   [ #Heq #Hhalt
 431   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 432   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 433   whd in ⊢ (???(????%)); >Heq
 434   whd in ⊢ (???%);
 435   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 436   >(trans_liftL … Heq) //
 437 qed.
 438
 439 lemma loop_lift : ∀A,B,k,lift,f,g,h,hlift,c1,c2.
 440   (∀x.hlift (lift x) = h x) →
 441   (∀x.h x = false → lift (f x) = g (lift x)) →
 442   loop A k f h c1 = Some ? c2 →
 443   loop B k g hlift (lift c1) = Some ? (lift … c2).
 444 #A #B #k #lift #f #g #h #hlift #c1 #c2 #Hfg #Hhlift
 445 generalize in match c1; elim k
 446 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 447 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 448  cases (true_or_false (h c0)) #Hc0 >Hfg >Hc0
 449  [ normalize #Heq destruct (Heq) %
 450  | normalize <Hhlift // @IH ]
 451 qed.
 452
 453 (*
 454 lemma loop_liftL : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 455   loop ? k (step sig M1) (λc.halt sig M1 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 456     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 457       (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? c)) (lift_confL … c1) =
 458     Some ? (lift_confL … c2).
 459 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 460 elim k
 461 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 462 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 463  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig (states ? M1) c0))) #Hc0 >Hc0
 464  [ >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate sig ? (lift_confL … c0)) = true)
 465    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 466    | <Hc0 cases c0 // ]
 467  | >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? (lift_confL … c0)) = false)
 468    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 469     @step_lift_confL //
 470    | <Hc0 cases c0 // ]
 471 qed.
 472
 473 lemma loop_liftR : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 474   loop ? k (step sig M2) (λc.halt sig M2 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 475     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 476       (λc.halt sig (seq sig M1 M2) (cstate ?? c)) (lift_confR … c1) =
 477     Some ? (lift_confR … c2).
 478 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 479 elim k
 480 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 481 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 482  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig ? c0))) #Hc0 >Hc0
 483  [ >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = true)
 484    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 485    | <Hc0 cases c0 // ]
 486  | >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = false)
 487    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 488     @step_lift_confR //
 489    | <Hc0 cases c0 // ]
 490  ]
 491 qed.
 492
 493 *)
 494
 495 lemma loop_Some :
 496   ∀A,k,f,p,a,b.loop A k f p a = Some ? b → p b = true.
 497 #A #k #f #p elim k
 498 [#a #b normalize #Hfalse destruct
 499 |#k0 #IH #a #b whd in ⊢ (??%? → ?); cases (true_or_false (p a)) #Hpa
 500  [ >Hpa normalize #H1 destruct //
 501  | >Hpa normalize @IH
 502  ]
 503 ]
 504 qed.
 505
 506 lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
 507   halt ? M1 s = true →
 508   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
 509 #sig #M1 #M2 #s #a
 510 #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 511 qed.
 512
 513 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,S1,S2,outc.
 514   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confL … outc) = ctape … outc.
 515 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 516 qed.
 517
 518 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,S1,S2,outc.
 519   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confR … outc) = ctape … outc.
 520 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 521 qed.
 522
 523 theorem sem_seq: ∀sig,M1,M2,R1,R2.
 524   Realize sig M1 R1 → Realize sig M2 R2 →
 525     Realize sig (seq sig M1 M2) (R1 ∘ R2).
 526 #sig #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t
 527 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
 528 cases (HR2 (ctape sig (states ? M1) outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 529 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
 530 %
 531 [@(loop_merge ???????????
 532    (loop_lift ??? (lift_confL sig (states sig M1) (states sig M2))
 533    (step sig M1) (step sig (seq sig M1 M2))
 534    (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 535    (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c)) … Hloop1))
 536   [ * *
 537    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 538    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 539   || #c0 #Hhalt <step_lift_confL //
 540   | #x <p_halt_liftL %
 541   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
 542   |7:@(loop_lift … (initc ?? (ctape … outc1)) … Hloop2)
 543     [ * #s2 #t2 %
 544     | #c0 #Hhalt <step_lift_confR // ]
 545   |whd in ⊢ (??(???%)?);whd in ⊢ (??%?);
 546    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10
 547    >(trans_liftL_true sig M1 M2 ??)
 548     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
 549       @config_eq whd in ⊢ (???%); //
 550     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
 551  ]
 552 | @(ex_intro … (ctape ? (FinSum (states ? M1) (states ? M2)) (lift_confL … outc1)))
 553   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
 554 ]
 555 qed.
 556