matita/matita/lib/turing/mono.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "basics/vectors.ma".
  13 (* include "basics/relations.ma". *)
  14
  15 (*
  16 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝
  17 { left : list (option sig);
  18   right: list (option sig)
  19 }.
  20 *)
  21
  22 inductive tape (sig:FinSet) : Type[0] ≝
  23 | niltape : tape sig
  24 | leftof  : sig → list sig → tape sig
  25 | rightof : sig → list sig → tape sig
  26 | midtape : list sig → sig → list sig → tape sig.
  27
  28 definition left ≝
  29  λsig.λt:tape sig.match t with
  30  [ niltape ⇒ []
  31  | leftof _ _ ⇒ []
  32  | rightof s l ⇒ s::l
  33  | midtape l _ _ ⇒ l ].
  34
  35 definition right ≝
  36  λsig.λt:tape sig.match t with
  37  [ niltape ⇒ []
  38  | leftof s r ⇒ s::r
  39  | rightof _ _ ⇒ []
  40  | midtape _ _ r ⇒ r ].
  41
  42
  43 definition current ≝
  44  λsig.λt:tape sig.match t with
  45  [ midtape _ c _ ⇒ Some ? c
  46  | _ ⇒ None ? ].
  47
  48 definition mk_tape :
  49   ∀sig:FinSet.list sig → option sig → list sig → tape sig ≝
  50   λsig,lt,c,rt.match c with
  51   [ Some c' ⇒ midtape sig lt c' rt
  52   | None ⇒ match lt with
  53     [ nil ⇒ match rt with
  54       [ nil ⇒ niltape ?
  55       | cons r0 rs0 ⇒ leftof ? r0 rs0 ]
  56     | cons l0 ls0 ⇒ rightof ? l0 ls0 ] ].
  57
  58 inductive move : Type[0] ≝
  59 | L : move
  60 | R : move
  61 | N : move
  62 .
  63
  64 (* We do not distinuish an input tape *)
  65
  66 record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
  67 { states : FinSet;
  68   trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
  69   start: states;
  70   halt : states → bool
  71 }.
  72
  73 record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
  74 { cstate : states;
  75   ctape: tape sig
  76 }.
  77
  78 (* definition option_hd ≝ λA.λl:list (option A).
  79   match l with
  80   [nil ⇒ None ?
  81   |cons a _ ⇒ a
  82   ].
  83   *)
  84
  85 (*definition tape_write ≝ λsig.λt:tape sig.λs:sig.
  86   <left ? t) s (right ? t).
  87   [ None ⇒ t
  88   | Some s' ⇒ midtape ? (left ? t) s' (right ? t) ].*)
  89
  90 definition tape_move_left ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
  91   match lt with
  92   [ nil ⇒ leftof sig c rt
  93   | cons c0 lt0 ⇒ midtape sig lt0 c0 (c::rt) ].
  94
  95 definition tape_move_right ≝ λsig:FinSet.λlt:list sig.λc:sig.λrt:list sig.
  96   match rt with
  97   [ nil ⇒ rightof sig c lt
  98   | cons c0 rt0 ⇒ midtape sig (c::lt) c0 rt0 ].
  99
 100 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
 101   match m with
 102   [ None ⇒ t
 103   | Some m' ⇒
 104     let 〈s,m1〉 ≝ m' in
 105     match m1 with
 106       [ R ⇒ tape_move_right ? (left ? t) s (right ? t)
 107       | L ⇒ tape_move_left ? (left ? t) s (right ? t)
 108       | N ⇒ midtape ? (left ? t) s (right ? t)
 109       ] ].
 110 (*
 111   (None,[]) → □
 112   (None,a::[]) → □
 113   (None,a::b::rs) → None::b::rs
 114   (Some a,[]) → [Some a]
 115   (Some a,b::rs) → Some a::rs
 116   *)
 117 (*
 118 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 119   match a with
 120   [ None ⇒ match l with
 121     [ nil ⇒ []
 122     | cons _ _ ⇒ a::l ]
 123   | Some _ ⇒ a::l ].
 124
 125 (* definition tape_update := λsig.λt: tape sig.λs:option sig.
 126   let newright ≝
 127     match right ? t with
 128     [ nil ⇒ match s with
 129       [ None ⇒ []
 130       | Some a ⇒ [Some ? a] ]
 131     | cons b rs ⇒ match s with
 132       [ None ⇒ match rs with
 133         [ nil ⇒ []
 134         | cons _ _ ⇒ None ?::rs ]
 135       | Some a ⇒ Some ? a::rs ] ]
 136   in mk_tape ? (left ? t) newright. *)
 137
 138 definition tape_move ≝ λsig.λt:tape sig.λm:option sig × move.
 139   let 〈s,m1〉 ≝ m in match m1 with
 140     [ R ⇒ mk_tape sig (option_cons ? s (left ? t)) (tail ? (right ? t))
 141     | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t))
 142            (option_cons ? (option_hd ? (left ? t))
 143              (option_cons ? s (tail ? (right ? t))))
 144     | N ⇒ mk_tape sig (left ? t) (option_cons ? s (tail ? (right ? t)))
 145     ].
 146 *)
 147
 148 definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
 149   let current_char ≝ current ? (ctape ?? c) in
 150   let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
 151   mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
 152
 153 let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
 154   match n with
 155   [ O ⇒ None ?
 156   | S m ⇒ if p a then (Some ? a) else loop A m f p (f a)
 157   ].
 158
 159 lemma loop_incr : ∀A,f,p,k1,k2,a1,a2.
 160   loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 161     loop A (k2+k1) f p a1 = Some ? a2.
 162 #A #f #p #k1 #k2 #a1 #a2 generalize in match a1; elim k1
 163 [normalize #a0 #Hfalse destruct
 164 |#k1' #IH #a0 <plus_n_Sm whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 165  cases (true_or_false (p a0)) #Hpa0 >Hpa0 whd in ⊢ (??%? → ??%?); // @IH
 166 ]
 167 qed.
 168
 169 lemma loop_merge : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 170  ∀k1,k2,a1,a2,a3,a4.
 171    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 172      f a2 = a3 → q a2 = false →
 173        loop A k2 f q a3 = Some ? a4 →
 174          loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a4.
 175 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 176   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 #H destruct
 177   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 normalize in ⊢ (%→?);
 178    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 179    [#eqa1a2 destruct #eqa2a3 #Hqa2 #H
 180     whd in ⊢ (??(??%???)?); >plus_n_Sm @loop_incr
 181     whd in ⊢ (??%?); >Hqa2 >eqa2a3 @H
 182    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 183     #H1 #H2 #H3 @(Hind … H2) //
 184    ]
 185  ]
 186 qed.
 187
 188 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. q b = true → p b = true) →
 189  ∀k,a1,a2.
 190    loop A k f q a1 = Some ? a2 →
 191    ∃k1,a3.
 192     loop A k1 f p a1 = Some ? a3 ∧
 193       loop A (S(k-k1)) f q a3 = Some ? a2.
 194 #A #f #p #q #Hpq #k elim k
 195   [#a1 #a2 normalize #Heq destruct
 196   |#i #Hind #a1 #a2 normalize
 197    cases (true_or_false (q a1)) #Hqa1 >Hqa1 normalize
 198     [ #Ha1a2 destruct
 199      @(ex_intro … 1) @(ex_intro … a2) %
 200        [normalize >(Hpq …Hqa1) // |>Hqa1 //]
 201     |#Hloop cases (true_or_false (p a1)) #Hpa1
 202        [@(ex_intro … 1) @(ex_intro … a1) %
 203          [normalize >Hpa1 // |>Hqa1 <Hloop normalize //]
 204        |cases (Hind …Hloop) #k2 * #a3 * #Hloop1 #Hloop2
 205         @(ex_intro … (S k2)) @(ex_intro … a3) %
 206          [normalize >Hpa1 normalize // | @Hloop2 ]
 207        ]
 208     ]
 209   ]
 210 qed.
 211
 212 (*
 213 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 214  ∀k1,k2,a1,a2,a3.
 215    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 216      loop A k2 f q a2 = Some ? a3 →
 217        loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a3.
 218 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 219   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #H destruct
 220   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 normalize in ⊢ (%→?→?);
 221    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 222    [#eqa1a2 destruct #H @loop_incr //
 223    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 224     #H1 #H2 @(Hind … H2) //
 225    ]
 226  ]
 227 qed.
 228 *)
 229
 230 definition initc ≝ λsig.λM:TM sig.λt.
 231   mk_config sig (states sig M) (start sig M) t.
 232
 233 definition Realize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 234 ∀t.∃i.∃outc.
 235   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 236   R t (ctape ?? outc).
 237
 238 definition WRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 239 ∀t,i,outc.
 240   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc →
 241   R t (ctape ?? outc).
 242
 243 definition Terminate ≝ λsig.λM:TM sig.λt. ∃i,outc.
 244   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc.
 245
 246 lemma WRealize_to_Realize : ∀sig.∀M: TM sig.∀R.
 247   (∀t.Terminate sig M t) → WRealize sig M R → Realize sig M R.
 248 #sig #M #R #HT #HW #t cases (HT … t) #i * #outc #Hloop
 249 @(ex_intro … i) @(ex_intro … outc) % // @(HW … i) //
 250 qed.
 251
 252 lemma loop_eq : ∀sig,f,q,i,j,a,x,y.
 253   loop sig i f q a = Some ? x → loop sig j f q a = Some ? y → x = y.
 254 #sig #f #q #i #j @(nat_elim2 … i j)
 255 [ #n #a #x #y normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 256 | #n #a #x #y #H1 normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 257 | #n1 #n2 #IH #a #x #y normalize cases (q a) normalize
 258   [ #H1 #H2 destruct %
 259   | /2/ ]
 260 ]
 261 qed.
 262
 263 theorem Realize_to_WRealize : ∀sig,M,R.Realize sig M R → WRealize sig M R.
 264 #sig #M #R #H1 #inc #i #outc #Hloop
 265 cases (H1 inc) #k * #outc1 * #Hloop1 #HR
 266 >(loop_eq … Hloop Hloop1) //
 267 qed.
 268
 269 definition accRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λacc:states sig M.λRtrue,Rfalse:relation (tape sig).
 270 ∀t.∃i.∃outc.
 271   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 272   (cstate ?? outc = acc → Rtrue t (ctape ?? outc)) ∧
 273   (cstate ?? outc ≠ acc → Rfalse t (ctape ?? outc)).
 274
 275 (* Compositions *)
 276
 277 definition seq_trans ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 278 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
 279   match s with
 280   [ inl s1 ⇒
 281       if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
 282       else
 283       let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
 284       〈inl … news1,m〉
 285   | inr s2 ⇒
 286       let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
 287       〈inr … news2,m〉
 288   ].
 289
 290 definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 291   mk_TM sig
 292     (FinSum (states sig M1) (states sig M2))
 293     (seq_trans sig M1 M2)
 294     (inl … (start sig M1))
 295     (λs.match s with
 296       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig M2 s2]).
 297
 298 definition Rcomp ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa1,a2.
 299   ∃am.R1 a1 am ∧ R2 am a2.
 300
 301 (*
 302 definition injectRl ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 303    λc1,c2. ∃c11,c12.
 304      inl … (cstate sig M1 c11) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 305      inl … (cstate sig M1 c12) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 306      ctape sig M1 c11 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 307      ctape sig M1 c12 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 308      R c11 c12.
 309
 310 definition injectRr ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 311    λc1,c2. ∃c21,c22.
 312      inr … (cstate sig M2 c21) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 313      inr … (cstate sig M2 c22) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 314      ctape sig M2 c21 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 315      ctape sig M2 c22 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 316      R c21 c22.
 317
 318 definition Rlink ≝ λsig.λM1,M2.λc1,c2.
 319   ctape sig (seq sig M1 M2) c1 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 320   cstate sig (seq sig M1 M2) c1 = inl … (halt sig M1) ∧
 321   cstate sig (seq sig M1 M2) c2 = inr … (start sig M2). *)
 322
 323 interpretation "relation composition" 'compose R1 R2 = (Rcomp ? R1 R2).
 324
 325 definition lift_confL ≝
 326   λsig,S1,S2,c.match c with
 327   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inl … s) t ].
 328
 329 definition lift_confR ≝
 330   λsig,S1,S2,c.match c with
 331   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inr … s) t ].
 332
 333 definition halt_liftL ≝
 334   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 335   match s with
 336   [ inl s1 ⇒ halt s1
 337   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
 338
 339 definition halt_liftR ≝
 340   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 341   match s with
 342   [ inl _ ⇒ false
 343   | inr s2 ⇒ halt s2 ].
 344
 345 lemma p_halt_liftL : ∀sig,S1,S2,halt,c.
 346   halt (cstate sig S1 c) =
 347      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
 348 #sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
 349 qed.
 350
 351 lemma trans_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 352   halt ? M1 s = false →
 353   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 354   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
 355 #sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
 356 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 357 qed.
 358
 359 lemma trans_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 360   halt ? M2 s = false →
 361   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 362   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
 363 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
 364 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 365 qed.
 366
 367 lemma config_eq :
 368   ∀sig,M,c1,c2.
 369   cstate sig M c1 = cstate sig M c2 →
 370   ctape sig M c1 = ctape sig M c2 →  c1 = c2.
 371 #sig #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
 372 qed.
 373
 374 lemma step_lift_confR : ∀sig,M1,M2,c0.
 375  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 376  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 377  lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) (step sig M2 c0).
 378 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
 379   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 380   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 381   #s0 #m0 cases t
 382   [ #Heq #Hhalt
 383   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 384   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 385   whd in ⊢ (???(????%)); >Heq
 386   whd in ⊢ (???%);
 387   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 388   >(trans_liftR … Heq) //
 389 qed.
 390
 391 lemma step_lift_confL : ∀sig,M1,M2,c0.
 392  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
 393  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confL sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 394  lift_confL sig ?? (step sig M1 c0).
 395 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s #t
 396   lapply (refl ? (trans ?? 〈s,current sig t〉))
 397   cases (trans ?? 〈s,current sig t〉) in ⊢ (???% → %);
 398   #s0 #m0 cases t
 399   [ #Heq #Hhalt
 400   | 2,3: #s1 #l1 #Heq #Hhalt
 401   |#ls #s1 #rs #Heq #Hhalt ]
 402   whd in ⊢ (???(????%)); >Heq
 403   whd in ⊢ (???%);
 404   whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 405   >(trans_liftL … Heq) //
 406 qed.
 407
 408 lemma loop_lift : ∀A,B,k,lift,f,g,h,hlift,c1,c2.
 409   (∀x.hlift (lift x) = h x) →
 410   (∀x.h x = false → lift (f x) = g (lift x)) →
 411   loop A k f h c1 = Some ? c2 →
 412   loop B k g hlift (lift c1) = Some ? (lift … c2).
 413 #A #B #k #lift #f #g #h #hlift #c1 #c2 #Hfg #Hhlift
 414 generalize in match c1; elim k
 415 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 416 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 417  cases (true_or_false (h c0)) #Hc0 >Hfg >Hc0
 418  [ normalize #Heq destruct (Heq) %
 419  | normalize <Hhlift // @IH ]
 420 qed.
 421
 422 (*
 423 lemma loop_liftL : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 424   loop ? k (step sig M1) (λc.halt sig M1 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 425     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 426       (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? c)) (lift_confL … c1) =
 427     Some ? (lift_confL … c2).
 428 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 429 elim k
 430 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 431 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 432  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig (states ? M1) c0))) #Hc0 >Hc0
 433  [ >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate sig ? (lift_confL … c0)) = true)
 434    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 435    | <Hc0 cases c0 // ]
 436  | >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? (lift_confL … c0)) = false)
 437    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 438     @step_lift_confL //
 439    | <Hc0 cases c0 // ]
 440 qed.
 441
 442 lemma loop_liftR : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 443   loop ? k (step sig M2) (λc.halt sig M2 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 444     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 445       (λc.halt sig (seq sig M1 M2) (cstate ?? c)) (lift_confR … c1) =
 446     Some ? (lift_confR … c2).
 447 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 448 elim k
 449 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 450 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 451  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig ? c0))) #Hc0 >Hc0
 452  [ >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = true)
 453    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 454    | <Hc0 cases c0 // ]
 455  | >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = false)
 456    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 457     @step_lift_confR //
 458    | <Hc0 cases c0 // ]
 459  ]
 460 qed.
 461
 462 *)
 463
 464 lemma loop_Some :
 465   ∀A,k,f,p,a,b.loop A k f p a = Some ? b → p b = true.
 466 #A #k #f #p elim k
 467 [#a #b normalize #Hfalse destruct
 468 |#k0 #IH #a #b whd in ⊢ (??%? → ?); cases (true_or_false (p a)) #Hpa
 469  [ >Hpa normalize #H1 destruct //
 470  | >Hpa normalize @IH
 471  ]
 472 ]
 473 qed.
 474
 475 lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
 476   halt ? M1 s = true →
 477   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
 478 #sig #M1 #M2 #s #a
 479 #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 480 qed.
 481
 482 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,S1,S2,outc.
 483   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confL … outc) = ctape … outc.
 484 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 485 qed.
 486
 487 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,S1,S2,outc.
 488   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confR … outc) = ctape … outc.
 489 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 490 qed.
 491
 492 theorem sem_seq: ∀sig,M1,M2,R1,R2.
 493   Realize sig M1 R1 → Realize sig M2 R2 →
 494     Realize sig (seq sig M1 M2) (R1 ∘ R2).
 495 #sig #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t
 496 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
 497 cases (HR2 (ctape sig (states ? M1) outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 498 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
 499 %
 500 [@(loop_merge ???????????
 501    (loop_lift ??? (lift_confL sig (states sig M1) (states sig M2))
 502    (step sig M1) (step sig (seq sig M1 M2))
 503    (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 504    (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c)) … Hloop1))
 505   [ * *
 506    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 507    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 508   || #c0 #Hhalt <step_lift_confL //
 509   | #x <p_halt_liftL %
 510   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
 511   |7:@(loop_lift … (initc ?? (ctape … outc1)) … Hloop2)
 512     [ * #s2 #t2 %
 513     | #c0 #Hhalt <step_lift_confR // ]
 514   |whd in ⊢ (??(???%)?);whd in ⊢ (??%?);
 515    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10
 516    >(trans_liftL_true sig M1 M2 ??)
 517     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
 518       @config_eq whd in ⊢ (???%); //
 519     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
 520  ]
 521 | @(ex_intro … (ctape ? (FinSum (states ? M1) (states ? M2)) (lift_confL … outc1)))
 522   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
 523 ]
 524 qed.
 525